基于分形理論的隧道地表沉降分析及預(yù)測

左昌群,劉代國,丁少林,李林森

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 工程學(xué)院， 武漢　430074)

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基于分形理論的隧道地表沉降分析及預(yù)測

左昌群,劉代國,丁少林,李林森

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 工程學(xué)院， 武漢430074)

摘要：隧道地表沉降變形時(shí)間序列是具有分形特征的非線性體系，以獅子山隧道地表沉降監(jiān)測為研究對(duì)象，基于分形理論，使用R/S分析法和V/S分析法計(jì)算了累計(jì)沉降和沉降速率時(shí)間序列的Hurst指數(shù)，并評(píng)價(jià)了地表沉降的穩(wěn)定性，結(jié)合V統(tǒng)計(jì)量評(píng)價(jià)了這2種分析方法的有效性和地表變形的非循環(huán)周期；最后，使用分形插值函數(shù)與回歸函數(shù)對(duì)地表沉降值進(jìn)行了預(yù)測評(píng)價(jià)。結(jié)果表明，R/S分析法和V/S分析法對(duì)分析地表沉降時(shí)間序列具有較好的有效性，R/S分析法受短期記憶影響大，計(jì)算結(jié)果偏于安全，而 V/S分析法評(píng)價(jià)地表變形穩(wěn)定性更加保守，3個(gè)監(jiān)測點(diǎn)將長期處于穩(wěn)定狀態(tài)，且其時(shí)間序列的非循環(huán)周期約為20 d。使用分形插值得到的預(yù)測值與實(shí)測值間誤差較小，且能正確反映變形演化趨勢(shì)，較傳統(tǒng)的回歸分析優(yōu)越，可以為地表沉降預(yù)測提供一種參考。

關(guān)鍵詞：地表沉降；變形時(shí)間序列；分形理論；Hurst指數(shù)；分形插值

1研究背景

隧道進(jìn)出口段常屬于圍巖風(fēng)化破碎的淺埋地段，進(jìn)出口圍巖變形的控制是隧道開挖的關(guān)鍵技術(shù)之一，對(duì)隧道進(jìn)出口段地表沉降監(jiān)測及穩(wěn)定性評(píng)價(jià)尤為重要，然而由于隧道所處地質(zhì)環(huán)境及變形誘發(fā)因素的復(fù)雜性，導(dǎo)致地面沉降時(shí)程曲線呈現(xiàn)上下波動(dòng)狀態(tài)，具有很強(qiáng)的非線性特征。目前對(duì)于變形監(jiān)測分析方法有很多種，靳曉光等[1]考慮到不可預(yù)測模糊因素采用灰色模型預(yù)測隧道變形，喬志超等[2]采用回歸分析模型對(duì)隧道圍巖變形進(jìn)行了分析等。然而灰色模型是在光滑離散函數(shù)的基礎(chǔ)上建立的，在數(shù)據(jù)較多的情況下會(huì)產(chǎn)生較大偏差，回歸分析中恰當(dāng)?shù)幕貧w模型較難確定，造成評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)具有片面性。

實(shí)測隧道地表沉降數(shù)據(jù)具有突變性、不連續(xù)性、時(shí)間相關(guān)性等特點(diǎn)，分形分析法為隧道地表沉降分析預(yù)測提供一種有效途徑。基于分形理論的R/S和V/S時(shí)間序列分析法[3-4]，對(duì)于分析長程相關(guān)性的非線性時(shí)間序列非常有效。分形理論由法國數(shù)學(xué)家Mandelbrot等[5]創(chuàng)立，是用來描述一類混亂、復(fù)雜而又具有某種規(guī)律的自相似性體系。Mandelbrot認(rèn)為符合于布朗運(yùn)動(dòng)的序列即分形時(shí)間序列，以長期記憶性為顯著特征，具有自相似性。近年來，分形理論已得到廣泛應(yīng)用，Davidson等[6]對(duì)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)參數(shù)的無偏性進(jìn)行了比較和實(shí)證，進(jìn)一步發(fā)展了R/S分析理論。李遠(yuǎn)耀等[7]、賀可強(qiáng)等[8]運(yùn)用分形理論R/S分析法，確定位移時(shí)序分形Hurst 指數(shù)，評(píng)價(jià)邊坡的穩(wěn)定性。陳學(xué)習(xí)等[9]、喬美英等[10]分別采用R/S和V/S分析法描述了瓦斯涌出量時(shí)間序列的非線性行為。

本文結(jié)合分形分析方法與非線性變形參數(shù)Hurst指數(shù)，并運(yùn)用分形插值法對(duì)隧道地表沉降變形規(guī)律進(jìn)行預(yù)測評(píng)價(jià)，并與傳統(tǒng)回歸分析法進(jìn)行對(duì)比，對(duì)不同分析法的適用性進(jìn)行了評(píng)價(jià)。

2基本理論

2.1R/S和V/S分析方法

(1)

樣本方差為

(2)

由Hurst定義，R/S統(tǒng)計(jì)量與V統(tǒng)計(jì)量為：

(3)

(4)

Giraitis等[4]采用重標(biāo)方差V/S代替重標(biāo)極差R/S，定義的V/S統(tǒng)計(jì)量與V統(tǒng)計(jì)量為：

(5)

(6)

采用R/S和V/S分析法估計(jì)樣本時(shí)間序列的Hurst指數(shù)從而檢驗(yàn)其分形特征，并用V統(tǒng)計(jì)量驗(yàn)證分形分析法自身的穩(wěn)定性和時(shí)間序列的非循環(huán)周期，對(duì)于lg(n)，將V統(tǒng)計(jì)量逐一標(biāo)繪于坐標(biāo)圖中，得到V統(tǒng)計(jì)量圖，曲線圖上V統(tǒng)計(jì)量由上升趨勢(shì)轉(zhuǎn)為下降或者轉(zhuǎn)為趨于平穩(wěn)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)著的n便是時(shí)間序列的非循環(huán)性周期天數(shù)。

2.2Hurst指數(shù)

時(shí)間序列的R/S值、V/S值與Hurst指數(shù)H存在如下關(guān)系：

(7)

(8)

式中K,K′分別為R/S和V/S統(tǒng)計(jì)量相關(guān)的擬合參數(shù)。

由上述原理將時(shí)間序列分為無重疊的m組子序列，計(jì)算每一組的R/S統(tǒng)計(jì)量值和V/S統(tǒng)計(jì)量值，再計(jì)算其平均值得到不同時(shí)間間隔n的平均(R/S)n值和(V/S)n值，以lg(n)為自變量，lg(R/S)n和lg(V/S)n為因變量作對(duì)數(shù)坐標(biāo)散點(diǎn)圖，然后采用最小二乘法擬合直線，依據(jù)直線斜率得到相應(yīng)的Hurst指數(shù)H。

Hurst指數(shù)[11-12]取值范圍是(0,1)，當(dāng)H=0.5時(shí)，時(shí)間序列是獨(dú)立、隨機(jī)時(shí)間序列；當(dāng)0.5

2.3分形插值

分形插值函數(shù)通過迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)[13]來實(shí)現(xiàn)，要想找一個(gè)IFS，就必須在給定的集合中找到一組仿射變換，使得仿射變換后的集合通過拼貼能與原集合在Hausdorff距離下盡可能地接近。對(duì)于數(shù)集{(xi,yi)|i=0,1,…,N}，有N個(gè)仿射變換，第N個(gè)仿射變換的分形插值函數(shù)為

(9)

(10)

當(dāng)選定了dn而且給定了插值點(diǎn)的集合，便能利用上式求得IFS的各個(gè)參數(shù)，接著再利用分形迭代算法求取吸引子，該吸引子則是所求的函數(shù)圖像。

3地表沉降分形分析

3.1工程概況及沉降監(jiān)測

獅子山隧道為一座分離式隧道。左幅隧道起訖里程樁號(hào)為ZK1+830至ZK3+035，長1 205 m，最大埋深120 m；右幅隧道起訖里程樁號(hào)為YK1+824至YK3+024，長1 200 m，最大埋深129 m。隧道進(jìn)出洞口均有巖溶洼地發(fā)育。隧道區(qū)巖層產(chǎn)狀為170°∠3°，隧址區(qū)表層下覆蓋第四系殘坡積粉質(zhì)黏土(Q4dl+el)，下伏基巖為三疊系下統(tǒng)嘉陵江組(T1j)中厚層狀灰?guī)r。

在洞口淺埋段按5 m間距布置監(jiān)測橫斷面，對(duì)特殊地段可適當(dāng)增加觀測斷面，沿襯砌中線，每2～3 m一個(gè)測點(diǎn)。選取左洞出口段一監(jiān)測斷面上JC1,JC2,JC3作為研究對(duì)象，其觀測布置如圖1所示，對(duì)監(jiān)測點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)50 d監(jiān)測，結(jié)果如圖2、圖3。

圖1　隧道地表沉降測點(diǎn)布置

圖2　累計(jì)沉降曲線

圖3　沉降速率曲線

3.2時(shí)序分形評(píng)價(jià)

對(duì)監(jiān)測點(diǎn)JC1,JC2,JC3時(shí)程曲線圖進(jìn)行分段處理，選取時(shí)間間隔n的初始值為2，依次增加至25。采集不同時(shí)間間隔的累計(jì)沉降s與沉降速率v時(shí)程序列的(R/S)n和(V/S)n值，繪制對(duì)應(yīng)的雙對(duì)數(shù)曲線圖并得到時(shí)程序列的Hurst值。本文給出了點(diǎn)JC1的雙對(duì)數(shù)曲線圖(圖4)。各監(jiān)測點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果見表1。

圖4　JC1累計(jì)沉降值與沉降速率R/S和V/S分析

由分析結(jié)果可知，采用最小二乘法進(jìn)行直線擬合，各時(shí)間序列雙對(duì)數(shù)圖具有較好的線性關(guān)系，相關(guān)度R最小為0.818，隧道地表變形具有很好的分形特性。由R/S分析法計(jì)算各監(jiān)測點(diǎn)時(shí)程序列Hurst指數(shù)均大于V/S分析方法得到的結(jié)果，使用R/S分析法受序列短期記憶的影響程度更大而高估Hurst指數(shù)。累計(jì)沉降值的Hurst指數(shù)滿足0.5

表1　分形分析結(jié)果Table 1　Result of fractal analysis

由R/S分析方法計(jì)算沉降速率時(shí)程序列Hurst指數(shù)位于區(qū)間[0.516 1,0.592]之中，相對(duì)累計(jì)沉降值的Hurst指數(shù)要小得多，表明沉降速率時(shí)程序列受時(shí)間記憶影響的敏感度較低，具有較高的隨機(jī)性，表現(xiàn)出時(shí)間序列曲線上下波動(dòng)幅度大。而由V/S分析方法得到的Hurst指數(shù)均<0.5，表明未來的變化趨勢(shì)與過去相反，具有反持久性，現(xiàn)在處于正增長狀態(tài)，下個(gè)階段將處于負(fù)增長階段，從而，沉降速率序列曲線還將處于波動(dòng)階段。綜合對(duì)比累計(jì)沉降值與沉降速率的Hurst指數(shù)，根據(jù)Hurst指數(shù)偏離0.5的程度大小，得到累計(jì)沉降值具有很強(qiáng)的規(guī)律性，而沉降速率存在較高的隨機(jī)性。

3.3V統(tǒng)計(jì)量與非循環(huán)周期

長期記憶性是分形結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要特征，而非線性系統(tǒng)中這種長期記憶性也是有界限的，超出了某一界限時(shí)間序列對(duì)初始值的依賴性降低，系統(tǒng)將表現(xiàn)出相互獨(dú)立特性。采用V統(tǒng)計(jì)量來推斷分形分析方法的穩(wěn)定性和時(shí)間序列的非循環(huán)周期結(jié)果如圖5和圖6。

圖5　累計(jì)沉降V統(tǒng)計(jì)量

圖6　沉降速率V統(tǒng)計(jì)量

由圖5可以看出，2種方法的V統(tǒng)計(jì)量曲線總體上呈現(xiàn)向上傾斜的趨勢(shì)，符合Peters關(guān)于Hurst指數(shù)在0.5

如圖6所示，由R/S分析法得到的Hurst指數(shù)接近0.5，其V統(tǒng)計(jì)量曲線向上增長的趨勢(shì)不明顯，趨于水平方向上下波動(dòng)，找不到明顯的拐點(diǎn)，說明沉降速率非循環(huán)周期將更長。由V/S分析法得到的Hurst指數(shù)<0.5，其V統(tǒng)計(jì)量曲線向下傾斜，在lgn=1.3附近，3個(gè)監(jiān)測點(diǎn)曲線圖出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，初步判斷其非循環(huán)周期為20 d。

4沉降值預(yù)測

4.1分形插值

分形插值根據(jù)分形幾何的自相似性原理和迭代函數(shù)系統(tǒng)理論，將數(shù)據(jù)插值成具有自相似性結(jié)構(gòu)的曲線。傳統(tǒng)的插值擬合方法在相鄰的2節(jié)點(diǎn)之間通過光滑的曲線相連接，然而測得的地面沉降數(shù)據(jù)存在一定的波動(dòng)性，采用傳統(tǒng)的插值擬合方法將忽略相鄰兩點(diǎn)之間的變化特征，根據(jù)分形插值原理，可以將插值數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化特征映射到微小的局部區(qū)域，得到的數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)具有自相似性的插值特征，從而更能反映真實(shí)變化情況。

仿射變換中的4個(gè)參數(shù)都由縱向尺度因子決定，因此縱向尺度因子對(duì)插值函數(shù)的性質(zhì)起著決定性的影響，經(jīng)過數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，縱向尺度因子越大，插值函數(shù)波動(dòng)越大，為了使得插值擬合函數(shù)更加逼近原始函數(shù)，本文取縱向尺度因子dn=0.04，選取曲線上的拐點(diǎn)或極值點(diǎn)作為插值點(diǎn)，共取插值點(diǎn)19個(gè)，進(jìn)行一次迭代，共生成插值點(diǎn)數(shù)325個(gè)，圖7給出了中點(diǎn)JC2的分形插值結(jié)果。

圖7　JC2累計(jì)沉降值對(duì)比

迭代次數(shù)與生成的插值點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系為

(11)

式中：m為生成的插值點(diǎn)數(shù)；n為插值點(diǎn)數(shù)；k為迭代次數(shù)。采用均方根誤差對(duì)插值結(jié)果進(jìn)行了評(píng)價(jià)，其公式為

(12)

式中：X為實(shí)測值；Xi為預(yù)測值；n為樣本點(diǎn)數(shù)。

根據(jù)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)得到監(jiān)測點(diǎn)JC1，JC2，JC3實(shí)測值與預(yù)測值之間的誤差分別為3.825 8%，3.621 1%，4.102 1%。經(jīng)過分形插值得到的曲線圖與原數(shù)據(jù)圖擬合程度高，并且反映了時(shí)程曲線的自相似性，表明用分形插值法來預(yù)測地面沉降是可行的。

4.2回歸分析

為對(duì)比分形結(jié)果的有效性，采用回歸分析法對(duì)JC2點(diǎn)沉降值進(jìn)行預(yù)測分析，結(jié)果如圖8和表2。

圖8　JC2累計(jì)沉降值回歸曲線

回歸函數(shù)回歸方程相關(guān)度誤差/%一次函數(shù)y=-0.115x-2.50.91177.478二次函數(shù)y=0.0032x2-0.2806x-1.0650.97034.404指數(shù)函數(shù)y=-2.7058e0.0248x0.86209.650

通過一次、二次和指數(shù)函數(shù)分別對(duì)JC2沉降值進(jìn)行回歸分析，得到以二次函數(shù)的結(jié)果最為接近實(shí)際值，并與沉降演化趨勢(shì)一致，而無常數(shù)的指數(shù)函數(shù)背離原值較明顯。另外，與分形插值得到的結(jié)果相比，回歸函數(shù)得到的誤差偏大。在采用回歸分析對(duì)變形進(jìn)行預(yù)測時(shí)，需要選擇合適的回歸函數(shù)，而對(duì)于監(jiān)測數(shù)據(jù)較多且變形不規(guī)律時(shí)，難找出合適的回歸函數(shù)。

5結(jié)論

(1) 隧道累計(jì)沉降時(shí)間序列是一個(gè)復(fù)雜的非線性體系，具有記憶性和自相似性，通過R/S分析法和V/S分析法證明了其具有良好的分形特征。

(2) 使用R/S分析法得到的累計(jì)沉降和變形速率時(shí)間序列的Hurst指數(shù)均大于V/S分析法得到的Hurst指數(shù)，表明R/S分析法受短期記憶性影響程度大，使用V/S分析法得到的參數(shù)更加保守。通過這2種方法預(yù)測地表沉降的穩(wěn)定性得到，3個(gè)監(jiān)測點(diǎn)都將處于穩(wěn)定狀態(tài)，且JC3穩(wěn)定性更高，使用V統(tǒng)計(jì)量初步判斷累計(jì)沉降時(shí)間序列的非循環(huán)周期為20 d，而沉降速率時(shí)間序列的非循環(huán)周期可能更久。沉降速率的Hurst指數(shù)接近0.5，甚至<0.5，其隨機(jī)性較大。

(3) 分形插值法可以反映相鄰兩點(diǎn)間測值變化情況，使用較少的數(shù)據(jù)得到更多的數(shù)據(jù)信息，得到的數(shù)據(jù)之間誤差較傳統(tǒng)回歸分析法小，并能正確反映變形規(guī)律，具有一定的參考意義。

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(編輯：曾小漢)

收稿日期：2015-01-19；修回日期：2015-03-10

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41202201,41102196,51379194)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(CUGL110215)；國土資源部公益性行業(yè)科研專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目(201211039)

作者簡介：左昌群(1981-)，女，湖北荊州人，講師，博士，主要從事巖土工程研究，(電話)13554111141(電子信箱)helenzz@126.com。

doi:10.11988/ckyyb.20150074

中圖分類號(hào)：TU94

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-5485(2016)04-0051-06

Analysis and Prediction of Tunnel Surface SubsidenceBased on Fractal Theory

ZUO Chang-qun, LIU Dai-guo, DING Shao-lin, LI Lin-sen

(Faculty of Engineering, China University of Geosciences, Wuhan430074, China)

Abstract:The time series of tunnel surface deformation is a nonlinear system with fractal characteristics. According to the surface subsidence monitoring of lion rock tunnel, we calculated the Hurst index of time series of accumulated subsidence and subsidence rate by using the R/S and V/S analysis based on fractal theory. Moreover, we evaluated the stability of surface subsidence, and analyzed the effectiveness of R/S and V/S analysis methods and the non-cyclic period of surface deformation in association with V statistic. We also predicted the surface subsidence values by fractal interpolation function and regression function. Results show that both R/S and V/S analysis methods has good validity for the analysis of time series of surface subsidence. R/S analysis method is prone to be influenced by short-term memory, which makes the result safe; whereas V/S analysis method is more conservative. Three monitoring points will be in stable state for a long time, and the time series of non-cyclic period is about 20 days. Compared with measured value, the error of the predicted value obtained by fractal interpolation is small. The method in this paper could reflect the deformation evolution trend correctly, and is superior to traditional regression analysis.

Key words:ground surface subsidence; deformation time series; fractal theory; Hurst index; fractal interpolation

2016,33(04):51-56