一種分?jǐn)?shù)域二分法LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法

孫　樂(lè)，魏　軍，張衡陽(yáng)，劉　立，王建翔

(1.空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安 710077；2.空軍95801部隊(duì)，北京 100076)

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一種分?jǐn)?shù)域二分法LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法

孫樂(lè)1，魏軍1，張衡陽(yáng)1，劉立1，王建翔2

(1.空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安 710077；2.空軍95801部隊(duì)，北京 100076)

摘要：針對(duì)傳統(tǒng)基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(fractional Fourier transform，F(xiàn)RFT)的線性調(diào)頻(linear frequency modulated，LFM)信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法中估計(jì)精度和計(jì)算量難以同時(shí)滿足實(shí)際要求的問(wèn)題，提出一種分?jǐn)?shù)域二分法的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法。該方法分析量化了變換階次誤差對(duì)參數(shù)估計(jì)誤差的影響，利用單分量LFM信號(hào)變換階次和分?jǐn)?shù)域展寬的關(guān)系，通過(guò)迭代不斷縮小變換階次的取值范圍，獲得滿足初設(shè)閾值的最優(yōu)階次，并利用最優(yōu)階次和峰值位置對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。采用逐次重構(gòu)消除的方法，可以對(duì)強(qiáng)弱混合的多分量LFM信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。仿真結(jié)果表明，在滿足信噪比要求的條件下，該方法能夠有效地對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，可以通過(guò)參數(shù)估計(jì)精度的要求選擇不同閾值，與傳統(tǒng)方法相比，在參數(shù)估計(jì)精度相當(dāng)?shù)那闆r下大大地減小了計(jì)算量。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階傅里葉變換；線性調(diào)頻(LFM)信號(hào)；分?jǐn)?shù)域；二分法；最優(yōu)階次

0引言

隨著通信技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)通信系統(tǒng)的抗干擾性能提出了更高的要求。變換域通信系統(tǒng)以其獨(dú)特的主動(dòng)式抗干擾思想，受到了國(guó)內(nèi)外大量學(xué)者的關(guān)注和研究。其抗干擾的關(guān)鍵在于對(duì)電磁頻譜的準(zhǔn)確估計(jì)，而線性調(diào)頻(linear frequency modulation, LFM)干擾信號(hào)作為一種非平穩(wěn)干擾信號(hào)，廣泛地存在于實(shí)際應(yīng)用中，因此，LFM信號(hào)參數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)自然成為頻譜估計(jì)的關(guān)鍵。

目前，許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)LFM信號(hào)的參數(shù)估計(jì)做出了大量的研究，提出了一些可行的參數(shù)估計(jì)方法，它們大體可以總結(jié)為時(shí)頻分析方法[1-3]和非時(shí)頻分析方法[4-5]兩類。但大部分方法都存在計(jì)算量大，估計(jì)精度低的問(wèn)題，難以在工程實(shí)現(xiàn)中成熟運(yùn)用?；诜?jǐn)?shù)階傅里葉變換(fractional Fourier transform，F(xiàn)RFT)的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)，物理意義明確，多分量時(shí)沒(méi)有交叉項(xiàng)干擾，時(shí)頻聚集性能好，在眾多估計(jì)方法中脫穎而出。在FRFT的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[6]提出了一種預(yù)判的方法，該方法利用快速傅里葉變換(fast Fourier transformation，F(xiàn)FT)對(duì)LFM信號(hào)調(diào)頻率進(jìn)行預(yù)判，根據(jù)預(yù)判的結(jié)果再進(jìn)行一維搜索，在保證參數(shù)估計(jì)精度的同時(shí)減小了計(jì)算量；文獻(xiàn)[7]提出了基于自相關(guān)函數(shù)的參數(shù)估計(jì)方法，該方法利用分?jǐn)?shù)階自相關(guān)構(gòu)造的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量將參數(shù)估計(jì)的二維搜索變?yōu)殡A次p的一維函數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，減小了運(yùn)算的復(fù)雜度；文獻(xiàn)[8]指出LFM信號(hào)的參數(shù)估計(jì)可以不受奈奎斯特采樣定理的限制，提出了欠采樣參數(shù)估計(jì)方法，該方法通過(guò)減小信號(hào)采樣的點(diǎn)數(shù)降低參數(shù)估計(jì)的運(yùn)算量。文獻(xiàn)[9]提出了基于插值的參數(shù)估計(jì)，該方法利用較大步長(zhǎng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行FRFT，得到變換階次的粗略估計(jì)，在此基礎(chǔ)上對(duì)變換階次和分?jǐn)?shù)域進(jìn)行插值，得到了參數(shù)估計(jì)的精確值。以上方法雖然都可以有效地估計(jì)出LFM信號(hào)的參數(shù)，但大部分方法仍然需要在變換階次一維搜索的基礎(chǔ)上進(jìn)行，并沒(méi)有徹底解決估計(jì)精度和運(yùn)算量之間的矛盾。

本文提出了一種基于分?jǐn)?shù)域二分法的參數(shù)估計(jì)方法，根據(jù)變換階次和分?jǐn)?shù)域展寬的關(guān)系，通過(guò)分?jǐn)?shù)域二分的方法不斷迭代以縮小目標(biāo)區(qū)域，最終找到滿足設(shè)定閾值的變換階次區(qū)域，取中值作為最優(yōu)的變換階次。相比其他方法，本文所提方法在保證參數(shù)估計(jì)精度的同時(shí)減少了計(jì)算量。

1FRFT定義及LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)原理

FRFT作為傅里葉變換的拓展形式，是一種新興的時(shí)頻分析工具。傅里葉變換可以理解為時(shí)域信號(hào)繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)π/2后得到的表達(dá)形式，而FRFT可以理解為時(shí)域信號(hào)繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度后得到的表達(dá)形式，這種特殊的性質(zhì)使FRFT在信號(hào)處理時(shí)具有更好的靈活性。信號(hào)x(t)的α角度的FRFT定義為[10]

(1)

LFM信號(hào)的參數(shù)估計(jì)，實(shí)際上是尋找信號(hào)在分?jǐn)?shù)域出現(xiàn)脈沖時(shí)的變換階次和脈沖在分?jǐn)?shù)域的位置，稱此變換階次為最優(yōu)變換階次。其參數(shù)估計(jì)的過(guò)程可以描述為[11]

(2)

(3)

可以看出，對(duì)LFM信號(hào)參數(shù)的估計(jì)可以轉(zhuǎn)化為對(duì)LFM信號(hào)最優(yōu)階次和分?jǐn)?shù)域峰值位置的估計(jì)，而峰值位置的估計(jì)首先要確定最優(yōu)的變換階次。但是實(shí)際估計(jì)時(shí)，最優(yōu)變換階次的估計(jì)是在一系列的離散值中選取，正是這種變換階次的離散給參數(shù)估計(jì)的精度帶來(lái)了巨大的影響。

2分?jǐn)?shù)域二分法介紹

2.1最優(yōu)變換階次對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響

由(3)式可知，調(diào)頻率的估計(jì)誤差為

(4)

初始頻率估計(jì)誤差為

(5)

(6)

由(4)式和(6)式可以看出，調(diào)頻率和初始頻率的估計(jì)誤差取決于cot函數(shù)和csc函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的斜率代表變換階次誤差對(duì)參數(shù)估計(jì)誤差的影響程度。對(duì)cot(pπ/2)函數(shù)和csc(pπ/2)函數(shù)分別關(guān)于p求導(dǎo)，記為k(p)，f(p)，得

(7)

(8)

為了直觀地看到階次誤差對(duì)參數(shù)估計(jì)誤差的影響程度，圖1給出了|k(p)|，|f(p)|隨p變化的曲線圖。

定義單位變換階次誤差對(duì)參數(shù)估計(jì)誤差影響的大小為影響因子ξ，其物理意義為一倍變換階次的誤差將帶來(lái)ξ倍的參數(shù)估計(jì)誤差。ξ越大，參數(shù)估計(jì)精確度受變換階次誤差的影響越大；相反，ξ越小，參數(shù)估計(jì)精確度受變換階次誤差的影響越小。另外，記ξk,ξf分別為變換階次誤差對(duì)調(diào)頻率和初始頻率的影響因子。從圖1可以看出，當(dāng)變換階次為1時(shí)，即信號(hào)調(diào)頻率為0時(shí)，ξk為1.57，ξf為0，此時(shí)，變換階次誤差對(duì)參數(shù)估計(jì)誤差的影響最小，隨著變換階次遠(yuǎn)離1的程度增大，即調(diào)頻率絕對(duì)值的增大，ξk，ξf的值隨著變換階次的增大呈指數(shù)增長(zhǎng)，當(dāng)變換階次為1.6時(shí)，ξk為4.54，ξf為3.67，這種誤差在實(shí)際應(yīng)用中是無(wú)法接受的。

圖1　|k(p)|，|f(p)|隨p變化的曲線圖Fig.1　Variation curve of |k(p)| and |f(p)| with p

2.2變換階次和分?jǐn)?shù)域展寬的關(guān)系

設(shè)LFM信號(hào)時(shí)長(zhǎng)為T(mén)，信號(hào)時(shí)頻線與t軸的夾角為β，則LFM信號(hào)的時(shí)頻線長(zhǎng)度ρ可表示為[14]

(9)

當(dāng)分?jǐn)?shù)域旋轉(zhuǎn)角度為α?xí)r，LFM信號(hào)時(shí)頻線相對(duì)于分?jǐn)?shù)域u軸的夾角為θ=β-α，此時(shí)，LFM信號(hào)的分?jǐn)?shù)域展寬為[14]

(10)

圖2　不同信噪比下的分?jǐn)?shù)域展寬程度Fig.2　Fractional domain bandspread under different SRN

從圖2可以直觀地看到以下3點(diǎn)。

1)LFM信號(hào)在最優(yōu)階次的分?jǐn)?shù)域展寬最小，近似于0，而在最優(yōu)階次的兩側(cè)，其分?jǐn)?shù)域的展寬程度呈準(zhǔn)線性增長(zhǎng)，且近似對(duì)稱；

2)噪聲會(huì)對(duì)分?jǐn)?shù)域的展寬程度產(chǎn)生影響，而且信噪比越低，影響程度越嚴(yán)重；

3)變換階次越接近最優(yōu)階次，噪聲對(duì)分?jǐn)?shù)域展寬程度的影響越小。

因此，可以利用LFM信號(hào)變換階次和分?jǐn)?shù)域展寬程度的關(guān)系，快速估計(jì)最優(yōu)變換階次的位置，進(jìn)而對(duì)其參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

2.3最優(yōu)閾值的確定

(11)

在參數(shù)估計(jì)時(shí)，閾值T的設(shè)定應(yīng)滿足在變換階次達(dá)到閾值要求時(shí)，峰值位置唯一，即滿足

(12)

(13)

2.4基于分?jǐn)?shù)域二分法的參數(shù)估計(jì)算法流程

最優(yōu)變換階次的精確估計(jì)是整個(gè)參數(shù)估計(jì)工作的第一步，本節(jié)利用變換階次和分?jǐn)?shù)域展寬的關(guān)系，介紹分?jǐn)?shù)域二分法的參數(shù)估計(jì)方法，其過(guò)程如圖3所示。

圖3　分?jǐn)?shù)域二分法參數(shù)估計(jì)過(guò)程Fig.3　Parameter estimation process of fractional domain dichotomy

具體步驟如下。

1)設(shè)變換階次的2個(gè)初始值p1和p2；

2)對(duì)待估計(jì)信號(hào)進(jìn)行p1和p2階FRFT，并分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)域展寬a1和a2；

4)比較a1，a2，a的大小，取其中較小的2個(gè)值所對(duì)應(yīng)的變換階次為新的初始值；

5)如果2個(gè)初始值之差小于預(yù)設(shè)的閾值T，進(jìn)行第6)步；否則，返回第2)步；

7)對(duì)待估計(jì)信號(hào)進(jìn)行p階FRFT，并得到峰值位置u，利用p和u對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，算法結(jié)束。

在計(jì)算分?jǐn)?shù)域展寬的時(shí)候，該方法對(duì)其分?jǐn)?shù)域幅值進(jìn)行平滑處理，減小了噪聲對(duì)展寬的影響。

上述算法可以總結(jié)為一個(gè)通過(guò)不斷迭代尋找分?jǐn)?shù)域最小展寬的過(guò)程。對(duì)于多分量LFM信號(hào)，依然可以用上述算法對(duì)其參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。具體方法如下，對(duì)待估計(jì)信號(hào)進(jìn)行上述算法，通過(guò)迭代，必然可以得到分?jǐn)?shù)域展寬最小的一種情況，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的變換階次為某一分量的最優(yōu)階次，利用其最優(yōu)階次和峰值位置，可以估計(jì)出這一分量的信號(hào)參數(shù)，然后重構(gòu)此信號(hào)并在待估計(jì)信號(hào)中減去此信號(hào)，對(duì)剩余信號(hào)重新進(jìn)行上述方法，依此不斷重復(fù)，直到剩余信號(hào)的分?jǐn)?shù)域展寬均大于0.5，則多分量LFM信號(hào)的參數(shù)被全部估計(jì)。

3仿真分析

3.1計(jì)算量分析

采用分?jǐn)?shù)域二分法對(duì)LFM信號(hào)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，運(yùn)算量主要是對(duì)每次迭代的初始值和中值進(jìn)行FRFT。假設(shè)待估計(jì)LFM信號(hào)的調(diào)頻率絕對(duì)值最大為50 Hz/s，根據(jù)本文仿真參數(shù)設(shè)置，變換階次初始值可設(shè)置為0.36和1.64，最優(yōu)閾值為0.001 5，則采樣點(diǎn)數(shù)為N的單分量LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)迭代次數(shù)為11次，一共需要進(jìn)行12次FRFT，采用Ozaktas采樣型算法，計(jì)算量為O(12NlogN)。而對(duì)于搜索步長(zhǎng)為γ的傳統(tǒng)二維搜索算法，每一分量的參數(shù)估計(jì)都需要進(jìn)行變換階次的二維搜索，其計(jì)算量為O(2NlogN/γ)，在本文仿真參數(shù)設(shè)置下，γ分別取0.01和0.001，其計(jì)算量分別為O(200NlogN)和O(2 000NlogN)，可以看出，本文方法在計(jì)算量方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)。 利用本文方法對(duì)多分量LFM信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，對(duì)每一分量都需要進(jìn)行12次FRFT， 如果分量較多時(shí)，該方法的估計(jì)效率會(huì)有所下降。

3.2單分量LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)仿真

仿真參數(shù)設(shè)置：LFM信號(hào)的時(shí)間取值為[-2，2]，采樣頻率fs為128 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為512，變換階次的2個(gè)初始值分別為0.36和1.64，初始頻率f0為10 Hz，初始相位為0 rad，調(diào)頻率k取8 Hz/s。變換階次為初始值時(shí)，不同信噪比下的分?jǐn)?shù)域展寬如圖4，圖5所示。

圖4　初始值為0.36時(shí)不同信噪比下的分?jǐn)?shù)域展寬Fig.4　Fractional domain bandspread with initial value 0.36 under different SRN

由圖4、圖5可以看出，在信噪比為-2 dB時(shí)，待估計(jì)信號(hào)的分?jǐn)?shù)域展寬遭到嚴(yán)重破壞，難以對(duì)分?jǐn)?shù)域展寬做出準(zhǔn)確計(jì)算，此時(shí)，參數(shù)估計(jì)誤差較大；隨著信噪比的增加，其分?jǐn)?shù)域展寬越來(lái)越清晰，正確計(jì)算展寬的概率不斷增加，參數(shù)估計(jì)的誤差也隨之減?。划?dāng)信噪比增大到0 dB時(shí)，可以容易地計(jì)算展寬并進(jìn)行比較。

在變換域通信系統(tǒng)幅度譜生成時(shí)，LFM信號(hào)是作為干擾信號(hào)出現(xiàn)，干噪比大于0 dB，因此，不會(huì)對(duì)文中方法分?jǐn)?shù)域展寬的計(jì)算產(chǎn)生影響，可以穩(wěn)定地進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

對(duì)不同的信噪比和閾值，分別進(jìn)行100 000次仿真，調(diào)頻率和初始頻率的均方誤差仿真結(jié)果如圖6所示。

從圖6可以看出以下3點(diǎn)。

1)對(duì)于傳統(tǒng)二維搜索的參數(shù)估計(jì)方法，減小步長(zhǎng)可以增加調(diào)頻率和初始頻率的估計(jì)精度。隨著信噪比的增加，其參數(shù)估計(jì)的誤差不斷減小，且趨于穩(wěn)定；

圖5　初始值為1.64時(shí)不同信噪比下的分?jǐn)?shù)域展寬Fig.5　Fractional domain bandspread with initial value 1.64 under different SRN

圖6　不同信噪比下參數(shù)估計(jì)均方誤差分析Fig.6　MSE analysis of parameter estimation under different SRN

2)當(dāng)信噪比大于0 dB時(shí)，隨著信噪比的增加，文中方法可以穩(wěn)定地對(duì)信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)；在最優(yōu)閾值時(shí)，可以達(dá)到與傳統(tǒng)方法相當(dāng)?shù)木?。在信噪比小? dB時(shí)，文中方法相比傳統(tǒng)二維搜索方法性能衰減速度加快，但此時(shí)LFM信號(hào)能量較小，不會(huì)影響通信系統(tǒng)的性能；

3)在信噪比滿足的情況下，減小設(shè)定的閾值，可以提高變換階次的估計(jì)精度，進(jìn)而提高參數(shù)估計(jì)的精度；但當(dāng)設(shè)定的閾值達(dá)到最優(yōu)閾值后，閾值的減小不會(huì)換來(lái)參數(shù)估計(jì)精度的顯著提高。

3.3多分量LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)仿真

仿真參數(shù)設(shè)置：待估計(jì)信號(hào)取二分量LFM信號(hào)，時(shí)間取值、采樣頻率、采樣點(diǎn)數(shù)、變換階次的初始值與3.2節(jié)中相同。信噪比為3 dB，初始頻率分別為-6 Hz，16 Hz，調(diào)頻率分別為6 Hz/s，16 Hz/s，初始相位都為0 rad，利用分?jǐn)?shù)域二分法對(duì)待估計(jì)信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

設(shè)定閾值為最優(yōu)閾值0.001 5，經(jīng)過(guò)一次參數(shù)估計(jì)，LFM信號(hào)的最優(yōu)階次估計(jì)值為1.294 4，調(diào)頻率估計(jì)值為16.012 8，初始頻率估計(jì)值為15.945 5，對(duì)待估計(jì)信號(hào)做最優(yōu)階次的FRFT如圖7a所示。在待估計(jì)信號(hào)中剔除估計(jì)出來(lái)的單分量LFM信號(hào)，重復(fù)上述過(guò)程，可以估計(jì)出LFM信號(hào)的第2分量的最優(yōu)階次為1.118 1，調(diào)頻率估計(jì)值為6.030 3，初始頻率估計(jì)值為-6.115 6，對(duì)其進(jìn)行最優(yōu)階次的FRFT如圖7b所示。

圖7　二分量LFM信號(hào)二分法參數(shù)估計(jì)Fig.7　Parameter estimation of 2-component LFM signal using Fractional domain dichotomy

采用分?jǐn)?shù)域二分法對(duì)多分量LFM信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，不需要考慮強(qiáng)弱信號(hào)遮蔽問(wèn)題的影響，但是在分量較多時(shí)，估計(jì)誤差的疊加將導(dǎo)致估計(jì)的精度將有所下降。

綜上所述，分?jǐn)?shù)域二分法可以利用較小的計(jì)算量精確的估計(jì)出LFM信號(hào)的參數(shù)。

4結(jié)論與展望

提出了一種分?jǐn)?shù)域二分法的快速精確參數(shù)估計(jì)方法，該方法利用變換階次和分?jǐn)?shù)域展寬的關(guān)系，通過(guò)迭代，獲得對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)域展寬最小的變換階次，作為最優(yōu)的變換階次，最終利用最優(yōu)變換階次和峰值位置進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。在信噪比滿足的情況下，保證估計(jì)精度的同時(shí)大大地減小了計(jì)算量。通過(guò)在不同信噪比和閾值下進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了方法的有效性，同時(shí)可以對(duì)多分量LFM信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。該方法改進(jìn)了最優(yōu)階次的估計(jì)精度，但是對(duì)峰值位置的確定仍然受到分?jǐn)?shù)域分辨率的影響，導(dǎo)致初始頻率的估計(jì)精度受到限制，這是下一步需要深入研究和解決的問(wèn)題。

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DOI：10.3979/j.issn.1673-825X.2016.04.006

收稿日期：2015-06-19

修訂日期：2016-04-07通訊作者：孫樂(lè)sunle202@163.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(61202490)；航空科學(xué)基金(2013ZC15008)

Foundation Items：The National Natural Science Foundation of China(61202490); The Aeronautical science Foundation of China(2013ZC15008)

中圖分類號(hào)：TN911.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-825X(2016)04-0473-08

作者簡(jiǎn)介：

孫樂(lè)(1991-)，男，陜西澄城人，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)樽儞Q域通信系統(tǒng)。E-mail: sunle202@163.com。

魏軍(1968-)，男，陜西西安人，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域?yàn)楹娇諗?shù)據(jù)鏈。

張衡陽(yáng)(1978-)，男，湖南祁東人，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域?yàn)楹娇兆越M網(wǎng)與數(shù)據(jù)鏈。

劉立(1990-)，男，陜西華縣人，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)樽儞Q域通信系統(tǒng)。

王建翔(1979-)，男，陜西閻良人，主要研究領(lǐng)域?yàn)樾畔⑼ㄐ殴こ獭?/p>

(編輯：王敏琦)

Fractional domain dichotomy LFM signal parameter estimation method

SUN Le1, WEI Jun1, ZHANG Hengyang1, LIU Li1, WANG Jianxiang2

(1. Information and Navigation College, Air Force Engineering University, Xi’an, 710077, P.R.China;2. Air Force 95801 Army, Beijing 100076，P.R.China)

Abstract:Traditional parameter estimation methods of linear frequency modulation(LFM) signal based on fractional fourier transform did not deal with the contradiction between the satisfactory precision and the lesser computation cost . Therefore, a fractional domain dichotomy is proposed in this paper. Firstly, the effect of the transform order error on the parameter estimation error is analyzed and quantified. Then, the fractional domain dichotomy is adopted to obtain the optimal order of single component LFM signal corresponding to fractional domain minimum bandspread. Finally, the parameters are estimated according to the optimal order and the peak position. The parameters of strong and weak mixing multi-component LFM signal are estimated by using successive reconstruction and elimination method. Simulation results show that, compared with the traditional method, the method can meet the requirement of estimation precision with the computation cost reduced significantly.

Keywords：fractional Fourier transform; linear frequency modulated(LFM) signal; fractional domain; dichotomy; the optimal order