基于離散八元數(shù)余弦變換的彩色圖像水印算法

吳明珠　李興民

1(廣州商學(xué)院計(jì)算機(jī)系　廣東 廣州 511363)2(華南師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院　廣東 廣州 510631)

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基于離散八元數(shù)余弦變換的彩色圖像水印算法

吳明珠1李興民2

1(廣州商學(xué)院計(jì)算機(jī)系廣東 廣州 511363)2(華南師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院廣東 廣州 510631)

摘要定義離散八元數(shù)余弦變換及其逆變換公式，并將其應(yīng)用于彩色圖像的數(shù)字水印中。首先，為了提高水印的安全性，利用Arnold變換分別對彩色水印圖像的RGBHIS六個(gè)分量進(jìn)行置亂，然后將彩色載體圖像的RGBHIS六個(gè)分量整體進(jìn)行離散八元數(shù)余弦變換，對置亂后的水印圖像分組并分別嵌入到載體圖像的各個(gè)中頻系數(shù)中，最后借助離散八元數(shù)余弦逆變換公式得到含水印的圖像。實(shí)驗(yàn)表明，該方法不僅具有較強(qiáng)的抗壓縮能力，對噪聲、縮放、濾波等攻擊處理也具有較好的魯棒性和不可見性。

關(guān)鍵詞八元數(shù)離散八元數(shù)余弦變換逆變換彩色圖像水印魯棒性

0引言

隨著互聯(lián)網(wǎng)和多媒體技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)字化產(chǎn)品的版權(quán)保護(hù)和信息安全問題越來越得到人們的關(guān)注。而數(shù)字水印技術(shù)則成為解決這些問題的有效手段[1]，同時(shí)也成為國內(nèi)外科研人員的研究熱點(diǎn)[2,3]。數(shù)字水印技術(shù)主要分為空域和頻域兩個(gè)方面，然而空域水印算法因?yàn)槠毡榇嬖谇度肴萘坑邢蓿瑢嚎s、縮放等各類攻擊的魯棒性不強(qiáng)[4]，所以頻域水印算法的應(yīng)用相對比較廣泛。目前常用的變換域有離散余弦變換DCT，離散小波變換DWT，離散傅里葉變換DFT等，這些算法采用的彩色模型主要有RGB模型、HIS模型、YCbCr模型、YIQ模型等[5-9]。但是它們都是將各個(gè)分量獨(dú)立地進(jìn)行水印嵌入，運(yùn)行效率較低。隨著S.J.Sangwine等人首次將四元數(shù)理論引入到數(shù)字水印領(lǐng)域[10]，對彩色圖像進(jìn)行多通道整體處理，不僅提高了算法的運(yùn)算效率而且保留了彩色圖像各個(gè)通道間的關(guān)系，算法的魯棒性也得到很大提高[11]。之后，很多國內(nèi)外研究者都將四元數(shù)理論結(jié)合各種變換提出一些新的水印算法[12-19]。Bas P等人把四元數(shù)與傅里葉變換結(jié)合，把水印嵌入到四元數(shù)傅里葉變換的平行分量中[12]，不過水印圖像失真較大。蓋琦等人首次將離散四元數(shù)余弦變換[13]引入到彩色圖像的水印技術(shù)中[14]，把彩色圖像3個(gè)分量用四元數(shù)進(jìn)行整體描述，具有較好的魯棒性。江淑紅等人首次提出超復(fù)數(shù)傅里葉變換的彩色圖像水印算法[15,16]，將彩色圖像作為一個(gè)矢量整體進(jìn)行描述，在一定程度上改進(jìn)了灰度的水印圖像的不可見性，然而彩色水印圖像未做研究。Ce LI等人將混沌理論和四元數(shù)傅里葉變換相結(jié)合[17]，把水印信息嵌入到圖像的相位中。王向陽等人基于機(jī)器學(xué)習(xí)的思想，提出了新的彩色圖像盲水印算法[18]，把最小二乘向量機(jī)與四元數(shù)傅里葉變換相結(jié)合。馮銀波等人基于四元數(shù)離散傅里葉變換和四元數(shù)離散余弦變換提出一種雙重零水印算法[19]。

然而上述算法最多只能夠在三維空間上把彩色圖像作為一個(gè)矢量進(jìn)行整體處理。如果在高于四維的情況下，四元數(shù)濾波器必然失效，因此使用高維的數(shù)學(xué)理論來處理高維數(shù)據(jù)進(jìn)行水印嵌入則成為必要。而新近發(fā)展起來的八元數(shù)理論恰好為我們提供了一個(gè)新的數(shù)學(xué)工具[20-22]，使高維的數(shù)字水印技術(shù)成為可能。

本文提出了一種新的高維彩色圖像水印算法，首先定義了離散八元數(shù)余弦變換DOCT及其逆變換公式，并將其作為工具，對彩色載體圖像進(jìn)行DOCT，然后將預(yù)處理后的彩色水印圖像嵌入到載體圖像的指定頻域系數(shù)中，從而實(shí)現(xiàn)了彩色圖像的數(shù)字水印技術(shù)。

1離散八元數(shù)余弦變換(DOCT)

本節(jié)基于八元數(shù)理論將彩色圖像的六個(gè)分量R、G、B、H、S、I進(jìn)行八元數(shù)表示，然后建立DOCT公式及其逆變換公式，為后面數(shù)字水印算法的實(shí)現(xiàn)奠定理論基礎(chǔ)。

1.1彩色圖像八元數(shù)表示

1844年-1845年英國的J.I.Graves和A.Cayley發(fā)明了八元數(shù)O，它是一種非交換、非結(jié)合的八維代數(shù)[20]。

首先定義八維向量空間的坐標(biāo)軸e0,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7，再定義此空間上的向量函數(shù)，記作f，而用彩色圖像各像素對應(yīng)的R、G、B、H、S、I六個(gè)分量值作為f的虛部e2,e3,e4,e5,e6,e7上對應(yīng)的數(shù)值，虛部e0,e1的數(shù)值為0。設(shè)彩色圖像f(x,y)的大小為X×Y，其中x和y指示像素在矩陣中行和列的位置，x∈[0,X-1],y∈[0,Y-1]，則彩色圖像f(x,y)的八元數(shù)表示如下：

f(x,y)=fr1(x,y)e0+fr2(x,y)e1+fi(x,y)e2+fj(x,y)e3+

fk(x,y)e4+fH(x,y)e5+fS(x,y)e6+fI(x,y)e7

(1)

其中fr1(x,y)和fr2(x,y)的值為0，fi,j,k,H,S,I(x,y)分別為彩色圖像中各個(gè)像素點(diǎn)的R、G、B、H、S、I分量的灰度值。

1.2離散八元數(shù)余弦變換及其逆變換

參照文獻(xiàn)[14]中的離散四元數(shù)余弦變換(DQCT)公式，f(x,y)對應(yīng)的DOCT公式可定義如下：

(2)

其中:

(3)

同時(shí)將離散四元數(shù)余弦逆變換(記作IDQCT)的公式擴(kuò)展到離散八元數(shù)余弦逆變換(記作IDOCT)中，所以f(x,y)對應(yīng)的IDOCT公式定義如下：

(4)

其中f(x,y)為空間域，C(p,s)為頻率域，C(p,s)也是八元數(shù)，可表示如下：

C(p,s)=Cr(p,s)e0+Cl(p,s)e1+Ci(p,s)e2+Cj(p,s)e3+

Ck(p,s)e4+CH(p,s)e5+CS(p,s)e6+CI(p,s)e7

(5)

式中，C(p,s)用來表示彩色圖像的DOCT域?qū)?yīng)的頻譜，Cr,l,i,j,k,H,S,I(p,s)則分別表示分布在八元數(shù)空間中的彩色圖像六個(gè)分量的頻譜。

1.3 公式的驗(yàn)證

由式(1)可以看出彩色圖像f(x,y)沒有實(shí)部，有6個(gè)虛部，但是式(5)中的C(p,s)則包含了8個(gè)部分，為了確保水印嵌入之后的圖像也只有6個(gè)虛部，還是可以使用R、G、B、H、S、I六個(gè)分量來表示和傳輸，則必須要使得C(p,s)經(jīng)過八元數(shù)離散余弦逆變換之后的得到的八元數(shù)也是沒有實(shí)部。否則圖像會產(chǎn)生失真，所以我們將計(jì)算C(p,s)所對應(yīng)的逆變換，記作 f′(x,y)并對其進(jìn)行驗(yàn)證。

根據(jù)式(4)我們計(jì)算出f′(x,y)的各分量表達(dá)式如式(6)所示：

由式(6)可以得出兩個(gè)實(shí)部逆變換的表達(dá)式如式(7)所示：

(7)

而式(7)中的C(p,s)各個(gè)分量可以由式(2)計(jì)算得到，如式(8)所示：

(8)

(9)

2基于DOCT的彩色圖像水印算法

文獻(xiàn)[14]應(yīng)用四元數(shù)理論在多維空間中把彩色圖像像素作為一個(gè)矢量整體進(jìn)行描述，體現(xiàn)了圖像的色彩關(guān)聯(lián)，但是它只考慮了三個(gè)分量之間的關(guān)系。因?yàn)镽GB模型和HIS模型是用不同的技術(shù)來描述彩色圖像的，所以如果我們將R、G、B、H、S、I這六個(gè)分量作為一個(gè)矢量整體來進(jìn)行處理，則更能體現(xiàn)圖像的內(nèi)部關(guān)聯(lián)性。因此我們基于高維數(shù)學(xué)工具八元數(shù)提出了一個(gè)新的基于DOCT的彩色圖像水印算法。算法的具體實(shí)現(xiàn)如下。

2.1水印嵌入過程

將水印信息嵌入到Cr(p,s)和Cl(p,s)中來改變兩者的值，盡管嵌入過程只是在頻率域所對應(yīng)圖像頻譜的實(shí)部中進(jìn)行，然而從空間域的角度來看，水印信息則是嵌入到了圖像的R、G、B、H、S、I六個(gè)分量中。這樣的嵌入技術(shù)，不但把原圖像因?yàn)樗D像的嵌入而產(chǎn)生的誤差擴(kuò)散到了整個(gè)圖像中，從而肉眼很難分辨出原始圖像與含水印圖像之間的區(qū)別，提高了水印算法的不可感知性。同時(shí)這種誤差還被分散到了圖像的R、G、B、H、S、I六個(gè)分量里面，那么對圖像進(jìn)行各類攻擊，嵌入到圖像中的水印被破壞的程度也自然被分散到了各個(gè)分量，那么提取出來的水印與原始水印的相似程度相對較高，從而算法的魯棒性得到了加強(qiáng)。水印嵌入過程的算法流程圖如圖1所示。

圖1　水印嵌入算法流程圖

具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1) 彩色水印圖像w(x,y)分為R、G、B、H、S、I六個(gè)分量，并利用Arnold變換[22]分別對它們進(jìn)行置亂，之后再用函數(shù)norm()分別計(jì)算六個(gè)分量的能量值。

(2) 彩色載體圖像f(x,y)分為R、G、B、H、S、I六個(gè)分量。

(3) 將f(x,y)的六個(gè)分量分別分成N塊，大小均為8×8，每塊都可以用一個(gè)八元數(shù)矩陣f(e)(x,y) (e=1,2,…,N)來表示。

(4) 利用選定的參數(shù)u算出六個(gè)分量所對應(yīng)的DOCT，并用C(e)(p,s)表示，再提取它們的實(shí)部系數(shù)Cr(e)(p,s)和Cl(e)(p,s)，其他系數(shù)Ci,j,k,H,S,I(e)(p,s)不變。

(5) 將置亂后的水印圖像w(x,y)的六個(gè)分量分組，其中R、G、B三個(gè)分量分別嵌入到各個(gè)Cr(e)(p,s)的中頻系數(shù)中，而H、S、I三個(gè)分量則分別嵌入到Cl(e)(p,s)的中頻系數(shù)中，嵌入之后的系數(shù)記為Cr(e)’(p,s)和Cl(e)’(p,s)。具體嵌入公式如下：

(10)

其中，α是嵌入強(qiáng)度，值取為步驟1所計(jì)算得到的各個(gè)分量的能量值。

(6) 計(jì)算之后的新系數(shù)Cr(e)′(p,s)和Cl(e)′(p,s)與原來的Ci,j,k,H,S,I(e)(p,s)合成得到C(e)′(p,s)，再將其進(jìn)行IDOCT，得出f(e)′(x,y)。

(7) 最后組合所有的f(e)′(x,y)，從而得出含水印圖像f′(x,y)。

2.2水印提取過程

水印提取過程的算法流程如圖2所示。

圖2　水印提取算法流程圖

具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1) 嵌入水印之后的圖像f′(x,y)分為六個(gè)分量，將它們都分成大小為8×8的N塊，分別記作f1(e)′(x,y)(e=1,2,…,N)。

(2) 載體圖像f(x,y)同樣分為六個(gè)分量，將它們都分成大小為8×8的N塊，分別記為f2(e)′(x,y)(e=1,2,…,N)。

(3) 對每一個(gè)f1(e)′(x,y) 和f2(e)′(x,y) 分別計(jì)算所對應(yīng)的DOCT，記作C1(e)′(p,s)和C2(e)′(p,s)。

(4) 利用Cr1(e)′(p,s)和Cr2(e)′(p,s)計(jì)算出水印嵌入的位置，從而實(shí)現(xiàn)水印的提取。具體的計(jì)算公式如下：

(11)

(5) 將提取出來的水印信息的六個(gè)分量在分別進(jìn)行反置亂，然后進(jìn)行融合即得到提取出來的水印圖像。

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了檢測本算法對圖像嵌入水印的不可感知性，使用了峰值信噪比PSNR(Peak Signal-to-Noise Ratio)來進(jìn)行度量。同時(shí)為了計(jì)算提取出來的水印與原始水印的相似程度，文中采用了歸一化相關(guān)NC(Normalized Correlation)系數(shù)[19]。

本算法在MATLAB7.1、Windows XP平臺上實(shí)現(xiàn)的。所使用的載體圖像大小為512×512的圖像。如圖3(a)、(b)所示(Lena圖像和Peppers圖像)。原始水印圖像大小為64×64的圖像。如圖3(c)所示。

圖3　彩色載體圖像與水印圖像

3.1透明性測試

將本文所提出的基于DOCT的圖像水印算法應(yīng)用于圖3的樣例中，得到含水印的圖像Lena如圖4(a)所示和提取出的水印圖像如圖4(b)所示。含水印的圖像Peppers如圖5(a)所示和提取出的水印圖像如圖5(b)所示。

圖4　含水印圖像Lena與提取出的水印圖像

圖5　含水印圖像Peppers與提取出的水印圖像

從圖4(a)、圖5(a) 的結(jié)果可以看出，含水印的兩幅圖像很難感知到水印的存在。從圖4(b)、圖5(b) 與圖3(c)的對比結(jié)果可以看出，原始水印與提取出來的水印很相似。計(jì)算兩幅圖像使用該算法相應(yīng)的PSNR與NC，其值分別為Lena圖像相應(yīng)的PSNR=46.035，NC=1。Peppers圖像相應(yīng)的PSNR=45.768，NC=0.9998。

3.2魯棒性測試

為了檢測本文提出的算法的魯棒性，本節(jié)通過對嵌入水印的2幅彩色圖像圖4(a)、圖5(a)分別進(jìn)行放大一倍、添加椒鹽 噪聲(系數(shù)為0.001)、高斯濾波(系數(shù)為0.0005)、剪切1/4、 80%JPEG壓縮、旋轉(zhuǎn)10度各種不同類型的攻擊實(shí)驗(yàn)。攻擊之后所提取出來的水印分別如圖6和圖7 所示。

圖6　含水印圖像Lena經(jīng)各種攻擊之后提取出的水印

圖7　含水印圖像Peppers經(jīng)各種攻擊之后提取出的水印

同時(shí)使用文獻(xiàn)[14]提出的算法做相同的攻擊實(shí)驗(yàn)。通過分別計(jì)算這兩種算法的PSNR與NC值來進(jìn)行比較，比較結(jié)果見表1所示。

表1　兩種不同算法在不同攻擊下的PSNR和NC值比較

由表1中的結(jié)果可以看出相對于文獻(xiàn)[14]的算法，本文的算法對縮放、噪聲、濾波、剪切、壓縮以及旋轉(zhuǎn)都具有較好的不可見性和魯棒性。

4結(jié)語

本文在RGB模型的基礎(chǔ)上考慮了HIS模型，首次提出了基于離散八元數(shù)余弦變換的彩色圖像水印技術(shù)，通過對彩色載體圖像進(jìn)行離散八元數(shù)余弦變換來實(shí)現(xiàn)彩色水印圖像的嵌入，并且對縮放、噪聲、濾波、剪切、壓縮、旋轉(zhuǎn)等各類攻擊都具有較好的不可感知性和魯棒性。當(dāng)然本算法在水印的提取過程中仍然需要載體圖像，所以下一步我們將研究如何在提取過程中不需要原始載體圖像，同時(shí)在彩色圖像中考慮嵌入多個(gè)水印圖像來實(shí)現(xiàn)版權(quán)和防篡改雙重保護(hù)。

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收稿日期：2015-05-04。國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2012 AA021105);國家自然科學(xué)青年基金項(xiàng)目(61402185);廣東省育苗工程項(xiàng)目(2013LYM_0118)。吳明珠，講師，主研領(lǐng)域：數(shù)字圖像處理。李興民，教授。

中圖分類號TP391

文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

DOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2016.07.066

COLOUR IMAGE WATERMARKING ALGORITHM BASED ON DISCRETE OCTONION COSINE TRANSFORM

Wu Mingzhu1Li Xingmin2

1(DepartmentofComputer,GuangzhouCollegeofCommerce,Guangzhou,511363,Guangdong,China)n2(SchoolofComputer,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou,510631,Guangdong,China)

AbstractIn this paper we define the formulas of discrete octonion cosine transform and its inverse transform,and apply them in digital watermarking of colour image.First,in order to improve the security of watermark,we use Arnold transform to scramble six components of RGBHIS of colour image with watermarks.Then we exert the discrete octonion cosine transform on six components of RGBHIS of colour carrier image in whole.The scrambled watermark images are grouped afterwards and embedded into the intermediate frequency coefficients of carrier image separately.Finally by means of inverse discrete octonion cosine transform we obtain the image with watermarks.It is indicated by experiments that this algorithm has strong compression resistance capability and has better robustness and invisibility to various kinds of attacks such as noise,scaling and filtering.

KeywordsOctonionDiscrete octonion cosine transformInverse transformColour image watermarkingRobustness