轉(zhuǎn)子彎扭耦合振動(dòng)共振特征分析

關(guān)卓懷，蔡敢為

（1.農(nóng)業(yè)部南京農(nóng)業(yè)機(jī)械化研究所，南京 210014；　2.廣西大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南寧 530004）

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轉(zhuǎn)子彎扭耦合振動(dòng)共振特征分析

關(guān)卓懷1，2，蔡敢為2

（1.農(nóng)業(yè)部南京農(nóng)業(yè)機(jī)械化研究所，南京 210014；2.廣西大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南寧 530004）

摘要：轉(zhuǎn)子存在偏心距時(shí)，彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)之間會(huì)相互作用產(chǎn)生彎扭耦合振動(dòng)。目前對(duì)彎扭耦合振動(dòng)的研究主要集中于其非線性特征，針對(duì)共振振幅大小和共振影響因素等共振特征的研究卻比較少見。在實(shí)際的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)工作中，有時(shí)要利用耦合共振獲取更大的振幅和振動(dòng)能量。所以有必要從共振特征入手，對(duì)轉(zhuǎn)子的彎扭耦合振動(dòng)開展進(jìn)一步的研究。首先建立偏心轉(zhuǎn)子的彎扭耦合振動(dòng)模型，使用小參數(shù)法對(duì)振動(dòng)方程求解。其次分析扭轉(zhuǎn)振動(dòng)、彎扭振動(dòng)產(chǎn)生耦合共振的條件，詳細(xì)比較各振型共振振幅的大小和各參數(shù)對(duì)共振振幅的影響。然后以具體的算例，對(duì)各參數(shù)對(duì)彎扭耦合共振振幅大小的影響進(jìn)行數(shù)值模擬，計(jì)算各階共振振幅的大小，給出具有最大共振振幅時(shí)的參數(shù)條件，驗(yàn)證理論分析，為彎扭耦合振動(dòng)的研究工作提供思路和依據(jù)。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)與波；轉(zhuǎn)子；彎扭耦合振動(dòng)；耦合共振；振幅

轉(zhuǎn)子存在偏心距時(shí)，彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)會(huì)相互影響產(chǎn)生耦合振動(dòng)[1]。在轉(zhuǎn)速和外加激勵(lì)頻率達(dá)到一定條件時(shí)，這種耦合振動(dòng)同樣會(huì)產(chǎn)生共振[2]。學(xué)者們已對(duì)彎扭耦合振動(dòng)的非線性特征開展了一些研究[3–8]，但是對(duì)彎扭耦合振動(dòng)共振特征的研究卻并不多見?，F(xiàn)有文獻(xiàn)并沒有明確地將彎曲耦合共振、扭轉(zhuǎn)耦合共振和彎扭耦合共振進(jìn)行逐個(gè)分析，也未見對(duì)各階振幅進(jìn)行詳細(xì)的計(jì)算比較。在實(shí)際將彎扭耦合振動(dòng)理論應(yīng)用到故障診斷、振動(dòng)時(shí)效等領(lǐng)域中時(shí)，振幅的大小是一項(xiàng)重要參數(shù)[9,10]。所以有必要對(duì)彎扭耦合振動(dòng)的共振特征進(jìn)行詳細(xì)的分析，比較彎扭耦合共振各階共振振幅之間的大小關(guān)系，明確影響彎扭共振振幅大小的因素，確定最大共振振幅時(shí)的參數(shù)條件，并通過數(shù)值仿真的方法驗(yàn)證理論分析。

1　轉(zhuǎn)子彎扭耦合振動(dòng)方程

以Jeffcott轉(zhuǎn)子為研究對(duì)象，模型如圖1所示,圓盤坐標(biāo)如圖2，參數(shù)如下：圓盤的質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，彎曲剛度k，扭轉(zhuǎn)剛度kt，平動(dòng)阻尼c，轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼ct。圓盤的幾何形心為o1(x,y)，質(zhì)心為c(xc,yc)點(diǎn)，偏心距為e。轉(zhuǎn)軸為剛性支撐的無質(zhì)量柔性軸，并與圓盤相交于o點(diǎn)。φ為圓盤轉(zhuǎn)過的角度，圓盤轉(zhuǎn)速為Ω。以上述模型為研究對(duì)象，采用Lagrange方程法，建立轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)方程得

圖1　圓盤坐標(biāo)

圖2　Jeffcott轉(zhuǎn)子模型

使用小參數(shù)法進(jìn)行求解得[5]

式(2)、式(3)、式(4)為偏心轉(zhuǎn)子的彎扭耦合振動(dòng)響應(yīng)，其中

其中ω0為彎曲振動(dòng)固有頻率；

ωt0為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率；

ω1為外加激勵(lì)力頻率；

ωT1為外加激勵(lì)力矩頻率。

2　彎扭耦合共振特征

2.1扭轉(zhuǎn)振動(dòng)

扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)表達(dá)式(3)等號(hào)右邊第一項(xiàng)為轉(zhuǎn)子在外部激勵(lì)力矩作用下的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)，其余各項(xiàng)均為彎曲振動(dòng)激勵(lì)起的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)。且都與AxAy相關(guān)，說明扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)振幅與彎曲振動(dòng)振幅的大小相關(guān)。對(duì)于各項(xiàng)同性的轉(zhuǎn)子，Ax≈Ay，所以Aθ1≈0Aθ5≈0Aθ6≈0。對(duì)于各項(xiàng)異性的轉(zhuǎn)子，雖然 Aθ1、Aθ5、Aθ6不等于零，但是依然存在關(guān)系A(chǔ)θ1

(1)當(dāng)ωT1=ωt0，即外加力矩的激勵(lì)頻率等于轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率時(shí)，經(jīng)典扭轉(zhuǎn)振動(dòng)達(dá)到共振狀態(tài)，其共振振幅

主要與外加力矩的大小有關(guān)。

(2)當(dāng)ωt0=||Ω-ω1時(shí)，頻率成分為||Ω-ω1的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)達(dá)到耦合共振，共振振幅

其大小與激勵(lì)力的頻率ω1、彎曲振動(dòng)振幅Ax和經(jīng)典扭轉(zhuǎn)共振振幅Aθ這三個(gè)量的大小有關(guān)。當(dāng)ω1=ω0時(shí)，彎曲振動(dòng)達(dá)到共振狀態(tài)，Ax取最大值。即時(shí)，Aθ2取最大值

eFx可等效視作轉(zhuǎn)子偏心造成的外力對(duì)轉(zhuǎn)子的扭矩作用，相比于外加扭矩M0為較小的量，所以Aθ2max?Aθmax。

同理，ω1=ω0時(shí)，Aθ3取最大值。Aθ3、Aθ4相比Aθ2是一個(gè)小量，與Aθ相比則更為不明顯。

2.2彎曲振動(dòng)

彎曲振動(dòng)響應(yīng)方程(2)和(3)右端均有六項(xiàng)，第一項(xiàng)Ax為外力作用下的彎曲振動(dòng)響應(yīng)。第二項(xiàng)Ax1為質(zhì)量偏心引起的彎曲振動(dòng)響應(yīng)。后面四項(xiàng)均為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)激勵(lì)起的彎曲振動(dòng)，頻率成分為且當(dāng)，振幅分別為：Ax2Ax3Ax4Ax5。

當(dāng)他們分別滿足共振的頻率、轉(zhuǎn)速要求時(shí)，共振振幅分別為：

(1)當(dāng)ω1=ω0時(shí)，外加激勵(lì)力頻率等于轉(zhuǎn)子彎曲振動(dòng)固有頻率，外加激勵(lì)力作用下的彎曲振動(dòng)發(fā)生共振，共振振幅

與經(jīng)典的單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)特性一致。

當(dāng)ω1=Ω時(shí)，質(zhì)量偏心引起的彎曲振動(dòng)達(dá)到共振狀態(tài)，且ω1=Ω=ω0時(shí)，共振振幅最大式中Ax11max是由于質(zhì)量偏心引起的彎曲振動(dòng)響應(yīng)，只與偏心距和阻尼比有關(guān)。Ax12max是由于偏心質(zhì)量引起的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)影響下的彎曲振動(dòng)響應(yīng)，與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振幅相關(guān)。上節(jié)分析中已得到結(jié)論，為一個(gè)小量，Ax12max較小，所以Ax1max主要與偏心距有關(guān)。

(2)當(dāng)||ωT1±Ω=ω0時(shí)，頻率成分為||Ω±ωT1的彎曲振動(dòng)達(dá)到耦合共振狀態(tài)。其共振振幅為

Ax2,Ax3的大小與激勵(lì)力矩的頻率ωT1有關(guān)，當(dāng)ωT1=ωt0即扭轉(zhuǎn)振動(dòng)達(dá)到共振狀態(tài)時(shí)，共振振幅最大，轉(zhuǎn)速需要滿足條件，此時(shí)

Ax2max、Ax3max從表達(dá)式上來看是一致的，但是他們到達(dá)共振狀態(tài)時(shí)的條件是不一樣的。Ax2max和Ax3max僅在各自滿足共振條件時(shí)大小相等，但是在參數(shù)確定后，只有一種振型能滿足共振條件，達(dá)到共振狀態(tài)。

Ax2max和 Ax3max與 Aθmax（經(jīng)典扭轉(zhuǎn)振動(dòng)共振振幅）在在同一個(gè)數(shù)量級(jí)上。

由于在求解時(shí)，略去了ε2以及更高階項(xiàng)。如果取更高階數(shù)，會(huì)得到更多的頻率成分。但是其振動(dòng)特性都符合上述規(guī)律，且都小一階共振振幅。

綜上，彎曲耦合共振的頻率條件為

當(dāng)彎曲耦合振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)同時(shí)滿足共振條件時(shí)，轉(zhuǎn)子達(dá)到彎扭耦合共振狀態(tài)。綜合彎曲、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的共振條件可得，轉(zhuǎn)子彎扭耦合共振的條件為

3　數(shù)值仿真

3.1扭轉(zhuǎn)振動(dòng)

忽略重力影響，設(shè)旋轉(zhuǎn)頻率Ω=134 Hz，外加激勵(lì)頻率ω1=50 Hz，在不同頻率的外加激勵(lì)力矩作用下，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的幅頻圖如圖3所示。ωT1=ωt0=147 Hz時(shí)，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振幅最大，為經(jīng)典扭轉(zhuǎn)共振。ωT1=||Ω-ω1=84 Hz時(shí)也存在一個(gè)峰值，說明由于彎扭耦合作用，彎曲振動(dòng)激勵(lì)的頻率成分為||Ω-ω1的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。

設(shè)外加激勵(lì)頻率ω1=200 Hz，轉(zhuǎn)速Ω發(fā)生變化時(shí)，頻率成分為||Ω-ω1的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振幅的變化如圖4所示。

當(dāng)轉(zhuǎn)速|(zhì)|Ω-ω1=147 Hz=ωt0時(shí)振幅最大，即為扭轉(zhuǎn)耦合共振。外加激勵(lì)力ω1變化時(shí)，扭轉(zhuǎn)耦合共振振幅的變化如圖5所示。

圖3　扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅頻圖

圖4　扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)振幅隨轉(zhuǎn)速的變化

圖5　不同頻率外加激勵(lì)力作用下的扭轉(zhuǎn)耦合共振振幅

扭轉(zhuǎn)耦合共振在ω1=ω0=335 Hz處取最大值。這是因?yàn)榕まD(zhuǎn)耦合振動(dòng)是由彎曲振動(dòng)激勵(lì)引起，當(dāng)彎曲共振時(shí)，扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)的振幅也達(dá)到最大。

扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)的振幅與轉(zhuǎn)速Ω和外加激勵(lì)頻率頻率ω1有關(guān)。三個(gè)量的關(guān)系如圖6所示。

扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的峰值線為||Ω-ω1=ωt0=147 Hz，此條件下頻率成分為||Ω-ω1的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)產(chǎn)生耦合共振。且當(dāng)ω1=ω0時(shí)，由于彎曲振動(dòng)達(dá)到共振狀態(tài)，所以由扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)共振振幅最大，此時(shí)。

圖6　轉(zhuǎn)速、外加激勵(lì)頻率和扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)振幅的關(guān)系

3.2彎曲振動(dòng)

圖7　彎曲振動(dòng)幅頻圖

設(shè)外加激勵(lì)力矩 ωT1=150 Hz，轉(zhuǎn)速頻率Ω=100 Hz彎曲振動(dòng)的幅頻圖如圖7所示。的彎曲振動(dòng)。經(jīng)典彎曲振動(dòng)的振幅遠(yuǎn)大于耦合作用激勵(lì)的彎曲振動(dòng)振幅(大于圖中所顯示的最大值)。在當(dāng)前數(shù)值條件下，頻率為的彎曲耦合振動(dòng)振幅大于頻率為

圖8　彎曲耦合振動(dòng)振幅隨轉(zhuǎn)速的變化

轉(zhuǎn)速Ω=ω0-ωT1=185 Hz時(shí)，振幅最大，即產(chǎn)生了彎曲耦合共振。當(dāng)ωT1變化時(shí)，振幅的變化如圖9所示。ωT1=147 Hz時(shí)，由于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)達(dá)到了共振狀態(tài)，彎曲耦合共振的振幅最大。

圖9　不同頻率外加激勵(lì)力矩作用下的彎曲耦合共振振幅

綜合考慮轉(zhuǎn)速和外加激勵(lì)力矩的影響，彎曲耦合振動(dòng)振幅如圖10所示。

圖中彎曲耦合振動(dòng)振幅有兩條峰值線，分別是ωT1=147 Hz和Ω+ωT1=335 Hz。前者是因?yàn)榕まD(zhuǎn)振動(dòng)達(dá)到共振狀態(tài)，由于耦合作用，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)產(chǎn)生的彎曲振動(dòng)振幅會(huì)比較大。后者是彎曲耦合振動(dòng)達(dá)到耦合共振狀態(tài)，所以振幅較大。

圖10　轉(zhuǎn)速、外加激勵(lì)頻率和彎曲耦合振動(dòng)振幅的關(guān)系

當(dāng)兩個(gè)條件都滿足時(shí)，彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振幅都達(dá)到最大值，也就是彎扭耦合共振，與理論分析結(jié)果一致。

4算例

為了更直觀地看出各共振振幅的大小關(guān)系，對(duì)各量賦值進(jìn)行具體的計(jì)算對(duì)比。參數(shù)如下：

e=0.001 mM0=1N mFx=10 NJ=0.07 kgm2m=10 kg，ξ=0.06 ξt=0.03 ω0=22 Hz ωt0=14 Hz Ω=8 Hz為轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)頻率，ω1為外加激勵(lì)力頻率，ωT1為外加激勵(lì)力矩頻率。

設(shè)外加激勵(lì)力的頻率ω1=10 Hz，則扭轉(zhuǎn)振動(dòng)為

設(shè)外加激勵(lì)力矩的頻率ωT1=14 Hz，則彎曲振動(dòng)為

比較計(jì)算結(jié)果，由耦合作用激勵(lì)的彎曲振動(dòng)中，頻率成分為|Ω-ωT1|的彎曲振動(dòng)共振振幅Ax2max最大，與分析結(jié)果一致。

5結(jié)　語

（1）彎曲耦合振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)在滿足一定的頻率條件時(shí)，會(huì)產(chǎn)生彎曲耦合共振、扭轉(zhuǎn)耦合共振。但是僅在時(shí)，產(chǎn)生彎扭耦合共振，并且時(shí)耦合共振振幅最大（根據(jù)具體的參數(shù)情況選取正負(fù)號(hào)）；

（2）彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)相互影響：彎曲振動(dòng)振幅與彎曲振動(dòng)激勵(lì)頻率和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振幅相關(guān)；扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振幅與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)激勵(lì)頻率和彎曲振動(dòng)振幅相關(guān)。可以同時(shí)達(dá)到最大值，此時(shí)彎扭耦合振動(dòng)的振幅也達(dá)到最大；

（3）由耦合作用激勵(lì)起的彎曲振動(dòng)中，頻成分為||Ω±ωT1的彎曲振動(dòng)振幅最大；由耦合作用激勵(lì)起的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)中，頻成分為||Ω±ω1的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振幅最大。

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廣西自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（2014GXNSFDA118033)）

E-mail:caiganwei@163.com

中圖分類號(hào)：TB123；TH113.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.01.002

文章編號(hào)：1006-1355(2016)01-0005-05+25

收稿日期：2015-05-07

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51365004）；

作者簡(jiǎn)介：關(guān)卓懷(1988-)，男，河南開封人，碩士，助理研究員，主要研究方向?yàn)闉闄C(jī)械動(dòng)力學(xué)。E-mail:guanzhuohuai@163.com

通訊作者：蔡敢為(1961-)，男，湖南湘潭人，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械創(chuàng)新設(shè)計(jì)、機(jī)電系統(tǒng)性能設(shè)計(jì)理論、機(jī)構(gòu)學(xué)。

Resonance CharacteristicsAnalysis of Bending-torsion Coupled Vibration of Rotors

GUAN Zhuo-huai1,2,CAI Gan-wei2

(1.Nanjing Institute ofAgricultural Mechanization,Ministry ofAgriculture,Nanjing 210014,China; 2.School of Mechanical Engineering,Guangxi University,Nanning 530004,China)

Abstract:Eccentricity of rotors can induce bending-torsion coupled vibration of shafts.Currently,research of the bending-torsion coupling vibration is focused on the nonlinear characteristics,but seldom on the resonance characteristics of the bending-torsion coupled vibration of the shafts.In the structure design,bending-torsion coupled resonance vibration is sometimes employed to obtain larger amplitude and vibration energy.So,further study on the bending-torsion coupled vibration of rotors according to the resonance characteristics is necessary.In this paper,first of all,a model of an eccentric rotor for bending-torsion coupled vibration analysis was built,and the vibration equation was solved by small parameter method.Then,the condition of coupling resonance of the bending and torsional vibrations was analyzed.Finally,the theoretical analysis was demonstrated by numerical simulation.This work provides an idea and data base for the bendingtorsion coupling vibration analysis.

Key words:vibration and wave;rotor;bending torsional coupled vibration;coupling resonance;amplitude