機械能是否守恒及其思維建模

戴靜華

一、機械能守恒的判斷

1.機械能守恒的條件：只有重力或系統(tǒng)內彈簧的彈力做功。

可以從以下兩個方面理解：（1）只受重力作用，例如在不考慮空氣阻力的情況下的各種拋體運動，物體的機械能守恒。（2）受其他力，但其他力不做功，只有重力或彈力做功。例如物體沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物體的機械能守恒。

2.判斷方法

（1）當研究對象（除地球外）只有一個物體時，一般根據是否“只有重力（或彈簧彈力）做功”來判定機械能守恒。

（2）當研究對象（除地球外）由多個物體組成時，往往根據是否“沒有介質阻力和摩擦力”來判定機械能守恒。

（3）注意以下幾點：

①“只有重力（或彈簧彈力）做功”不等于“只受重力（或彈簧彈力）作用”；

②勢能具有相對性，一般以解決問題簡便為原則選取零勢能面；

③對于繩子突然繃緊、物體間碰撞等相關的問題，除題中說明無能量損失或彈性碰撞外，機械能一定不守恒。

例1 木塊靜止掛在繩子下端，一子彈以水平速度射入木塊并留在其中，再與木塊一起共同擺到一定高度，如圖1所示，從子彈開始射入到共同上擺到最大高度的過程中，下列說法正確的是（ ）

A.子彈的機械能守恒

B.木塊的機械能守恒

C.子彈和木塊的總機械能守恒

D.以上說法都不對

解析 分析子彈的運動過程，從子彈開始射入到共同上擺到最大高度應看成兩個過程，即子彈射入木塊過程和子彈射入木塊后一起擺動到最大高度，在子彈射入木塊的過程中機械能不守恒，有一部分機械能轉化為熱能，子彈射入木塊后一起擺動到最大高度，子彈和木塊的機械能守恒。針對本題，只要正確理解機械能守恒的條件，就能很快排除A、B、C選項，從而確定正確選項為D。

例2 如圖2所示，質量為m的鉤碼在彈簧秤的作用下豎直向上運動。設彈簧秤的示數為T，不計空氣阻力，重力加速度為g。則（ ）

A.T=mg時，鉤碼的機械能不變

B.T>mg時，鉤碼的機械能減小

C.T>mg時，鉤碼的機械能增加

D.T>mg時，鉤碼的機械能增加

解析 無論T與mg的關系如何，T與鉤碼位移的方向一致，T做正功，鉤碼的機械能增加，選項C、D正確。

例3 如圖3所示，一輕彈簧左端固定在長木板M的左端，右端與木塊m連接，且m與M及M與地面間光滑。開始時，m與M均靜止，現(xiàn)同時對m、M施加等大反向的水平恒力F₁和F₂。在兩物體開始運動以后的整個運動過程中，對m、M和彈簧組成的系統(tǒng)（整個過程彈簧形變不超過其彈性限度），下列說法正確的是（ ）

A.由于F₁、F₂等大反向，故系統(tǒng)機械能守恒

B.由于F₁、F₂分別對m、M做正功，故系統(tǒng)的動能不斷增加

C.由于F₁、F₂分別對m、M做正功，故系統(tǒng)的機械能不斷增加

D.當彈簧彈力大小與F₁、F₂大小相等時，m、M的動能最大

解析 開始拉力大于彈力，F(xiàn)₁、F₂對木塊和木板做正功，所以機械能增加。當拉力等于彈力時，木塊和木板速度最大，故動能最大；當拉力小于彈力時，木塊和木板做減速運動，速度減小到零以后，木塊和木板反向運動，拉力F₁、F₂均做負功，故機械能減少。故正確選項為D。

規(guī)律總結：

1.機械能守恒的條件絕不是合外力的功等于零，更不是合外力為零；只有重力做功不等于只受重力作用。

2.對一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等，除非題目特別說明，否則機械能必定不守恒。

3.對于系統(tǒng)機械能是否守恒，可以根據能量的轉化進行判斷。

二、機械能守恒定律的幾種表達形式

1.守恒觀點

（1）表達式：E_k1+E_p1=E_k2+E_p2或E₁=E₂。

（2）意義：系統(tǒng)初狀態(tài)的機械能等于末狀態(tài)的機械能。

（3）注意問題：要先選取零勢能參考平面，并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面。

2.轉化觀點

（1）表達式：△E_k=-△E_p。

（2）意義：系統(tǒng)（或物體）的機械能守恒時，系統(tǒng)增加（或減少）的動能等于系統(tǒng)減少（或增加）的勢能。

（3）注意問題：要明確勢能的增加量或減少量，即勢能的變化，可以不選取零勢能參考平面。

3.轉移觀點

（1）表達式：△E_A增=△E_B減。

（2）意義：若系統(tǒng)由A、B兩部分組成，當系統(tǒng)的機械能守恒時，則A部分物體機械能的增加量等于B部分物體機械能的減少量。

（3）注意問題：4部分機械能的增加量等于A部分末狀態(tài)的機械能減初狀態(tài)的機械能，而B部分機械能的減少量等于B初狀態(tài)的機械能減末狀態(tài)的機械能。

例4 如圖4所示，一質量m=0.4kg的滑塊（可視為質點）靜止于動摩擦因數μ=0.1的水平軌道上的A點?，F(xiàn)對滑塊施加一水平外力，使其向右運動，外力的功率恒為P=10.0 W。經過一段時間后撤去外力，滑塊繼續(xù)滑行至B點后水平飛出，恰好在C點沿切線方向進入固定在豎直平面內的光滑圓弧形軌道，軌道的最低點D處裝有壓力傳感器，當滑塊到達傳感器上方時，傳感器的示數為25.6N。已知軌道AB的長度L=2.0m，半徑OC和豎直方向的夾角α=37°，圓形軌道的半徑R=0.5m。（空氣阻力可忽略，重力加速度g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8），求：

（1）滑塊運動到C點時速度v_C的大小；

（2）B、C兩點的高度差h及水平距離x；

（3）水平外力作用在滑塊上的時間t。