整錨段接觸網(wǎng)吊弦長(zhǎng)度的三維穩(wěn)態(tài)模型

李逢源，韓建民，許建國(guó)，楊智勇

(1.北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京　100044；2.中國(guó)中鐵電氣化局集團(tuán)有限公司，北京　100036)

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整錨段接觸網(wǎng)吊弦長(zhǎng)度的三維穩(wěn)態(tài)模型

李逢源1，韓建民1，許建國(guó)2，楊智勇1

(1.北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京100044；2.中國(guó)中鐵電氣化局集團(tuán)有限公司，北京100036)

摘要：為了減少吊弦長(zhǎng)度計(jì)算誤差、嚴(yán)格控制導(dǎo)高、改善受流質(zhì)量，提出一種用于整體吊弦精確計(jì)算的三維穩(wěn)態(tài)模型?；诙S精確索單元，將X-Y，X-Z兩計(jì)算平面耦合，得到三維索單元?；谟邢拊碚?，采用三維索單元離散接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)；根據(jù)接觸網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)關(guān)系組裝剛度矩陣，根據(jù)地理信息、測(cè)量信息和設(shè)計(jì)參數(shù)等組建邊界條件；建立并使用迭代法求解整體的非線性平衡方程；根據(jù)求解結(jié)果建立接觸網(wǎng)三維圖形并輸出整體吊弦長(zhǎng)度。將計(jì)算的整體吊弦長(zhǎng)度與現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)對(duì)比，中間柱計(jì)算誤差小于2.0‰，轉(zhuǎn)換柱計(jì)算誤差小于3.5‰，驗(yàn)證本三維模型和構(gòu)建方法的有效性。

關(guān)鍵詞：電氣化鐵路；接觸網(wǎng)；三維索單元；索網(wǎng)找形；吊弦長(zhǎng)度

高速鐵路對(duì)弓網(wǎng)受流質(zhì)量提出更高的要求，意味著接觸網(wǎng)系統(tǒng)中接觸網(wǎng)懸掛安裝精度要求也更為嚴(yán)格[1]。整體吊弦的精確計(jì)算是保證安裝精度的基礎(chǔ)，也是高速鐵路接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)預(yù)制計(jì)算和弓網(wǎng)關(guān)系的核心技術(shù)之一。整體吊弦的作用是連接具有空間馳度特征的承力索、彈性吊索和具有“之”字形走向的接觸線，其精確計(jì)算具有空間復(fù)雜性和參數(shù)多樣性。整體吊弦的計(jì)算方法有載荷均布法、力矩平衡法、負(fù)馳度法和索網(wǎng)找形法[2]。

(1)載荷均布法以?xún)蓱覓禳c(diǎn)之間的懸索為計(jì)算區(qū)間，由承力索承載負(fù)重，利用幾何關(guān)系求解吊弦長(zhǎng)度；

(2)力矩平衡法以?xún)蓱覓禳c(diǎn)之間的懸索為計(jì)算區(qū)間，利用系統(tǒng)內(nèi)部任一點(diǎn)合力矩為零求解吊弦長(zhǎng)度[3]；

(3)負(fù)馳度法是以整錨段的懸索為計(jì)算區(qū)間，簡(jiǎn)化計(jì)算至二維垂直面，將負(fù)載和懸掛力以馳度形式疊加在初始馳度上，由各懸掛點(diǎn)導(dǎo)高構(gòu)成的最終馳度反推吊弦長(zhǎng)度[4]；

(4)索網(wǎng)找形法是以整錨段的懸索為計(jì)算區(qū)間，構(gòu)建有限元單元矩陣，通過(guò)不斷迭代更新未知量的值，最終滿足預(yù)設(shè)平衡條件[5-6]。

索網(wǎng)找形法是目前吊弦精確計(jì)算的主要研究方法，該方法在重載懸索橋的結(jié)構(gòu)分析[7]上被提出，并被引入吊弦計(jì)算領(lǐng)域。國(guó)內(nèi)外有很多研究學(xué)者在吊弦二維平面計(jì)算領(lǐng)域取得了較好的進(jìn)展，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)，線路曲線和線路縱坡對(duì)結(jié)果影響很大；有些先進(jìn)學(xué)者也嘗試開(kāi)展三維空間吊弦計(jì)算[8-9]，但基本單元參數(shù)眾多，過(guò)程迭代較為繁瑣。

本文是屬于索網(wǎng)找形法范疇內(nèi)的吊弦長(zhǎng)度精確計(jì)算方法，根據(jù)預(yù)設(shè)參數(shù)(如吊弦分布、彈性吊弦布置、集中載荷布置等)構(gòu)建接觸網(wǎng)幾何拓?fù)潢P(guān)系，利用有限元單元法對(duì)整錨段接觸網(wǎng)懸掛系統(tǒng)進(jìn)行離散，采用空間拋物線單元建立整體剛度矩陣，以地理信息(如線路曲線、線路縱坡等)和測(cè)量信息(如支柱斜率、跨長(zhǎng)、腕臂高度等)為約束條件，構(gòu)建結(jié)構(gòu)平衡方程；運(yùn)用非線性有限元中的迭代求解方法，求解并建立整體接觸網(wǎng)的三維穩(wěn)態(tài)模型。用三維單元迭代求解，克服地理信息對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響；用拋物線單元迭代求解，也可獲得較高的計(jì)算精度。采用算例計(jì)算吊弦長(zhǎng)度，并與現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)對(duì)比，驗(yàn)證本方法的收斂性和準(zhǔn)確性?；诟呔鹊慕佑|網(wǎng)物理模型，可進(jìn)一步開(kāi)展整體吊弦精確安裝[10]，接觸網(wǎng)風(fēng)致舞動(dòng)影響[11]和設(shè)計(jì)風(fēng)速精確計(jì)算[12]等的深入研究。

1懸索結(jié)構(gòu)三維找形的基本單元

接觸網(wǎng)系統(tǒng)中包含接觸線、承力索、彈性吊索和吊弦等懸索和線夾、定位器、電連接等附加重力，其物理模型分別如下。

(1)懸掛線索具有張力和跨距等特征參數(shù)，故承力索、接觸線和彈性吊索采用索單元模型，吊弦屬于柔性線索且整體處于線性狀態(tài)，其剛度對(duì)整體吊弦計(jì)算結(jié)果的影響和其自重對(duì)自身線性狀態(tài)的影響都幾乎可以忽略不計(jì)，故吊弦按與坐標(biāo)增量相關(guān)的附加載荷模型處理。

(2)附加重力具有位置和總重等特征參數(shù)，故線夾和電連接等采用集中載荷模型，分布在索單元結(jié)點(diǎn)上，其中線夾可視為距離特殊的附加載荷；復(fù)合絕緣子和分相絕緣子等采用局部載荷模型，均布在單元上。

圖1為一跨接觸網(wǎng)懸掛的示意圖。接觸線和承力索張力分別為T(mén)j、Tc，結(jié)構(gòu)高度為SH，整垮長(zhǎng)度Li，在X方向上的劃分的間距有l(wèi)1，l2，…，li，…，ln。

(左為彈性鏈型懸掛，右為簡(jiǎn)單鏈型懸掛，黑色三角為腕臂“固定”點(diǎn)，空心圓為吊弦懸掛點(diǎn))圖1　一跨接觸網(wǎng)的示意

(1)

使用分解和高斯消元法求解平衡方程得初解后，運(yùn)用牛頓迭代快速非線性平衡方程的精確解，即可得到接觸網(wǎng)吊弦的精確長(zhǎng)度。本節(jié)對(duì)拋物線索單元進(jìn)行三維推導(dǎo)和Matlab編程。

1.1索單元的二維模型

一般地，索單元有如下假設(shè)：

(1)懸索是理想柔性體，不承受彎矩和扭矩；

(2)懸索材料遵守胡克定律；

(3)懸索的載荷方向在索曲線所屬的平面內(nèi)。

索單元的假設(shè)條件構(gòu)建了一類(lèi)傳遞索間張力的單元模型，其基本思想是懸索的張力和外部載荷的疊加與懸索形成的結(jié)構(gòu)形狀一一對(duì)應(yīng)。典型的單載荷的索單元示意見(jiàn)圖2[13]。

整體是二維平面內(nèi)1、2兩點(diǎn)之間的一段懸索，L是懸索在X方向的長(zhǎng)度；x1、x2、z1、z2分別是懸索在X軸、Z軸上的坐標(biāo)；Fx1、Fx2、Fz1、Fz2分別是懸索在X軸、Z軸上的端點(diǎn)分力；qz是懸索在X方向的載荷。端點(diǎn)分力和載荷均以坐標(biāo)軸同向?yàn)檎较颉?/p>

根據(jù)垂向載荷qz是否沿索長(zhǎng)分布將問(wèn)題劃分成線性和非線性?xún)深?lèi)，見(jiàn)表1。

圖2　典型的單載荷索單元

問(wèn)題性質(zhì)qz單元類(lèi)型特征線性q0拋物線載荷沿坐標(biāo)軸X方向均布非線性q01+(z')2懸鏈線載荷沿索長(zhǎng)S方向均布

兩種單元都是常用的線性精確索單元，拋物線單元和懸鏈線單元的載荷分別沿坐標(biāo)軸X方向和索長(zhǎng)S方向均布[14]。

考慮到在高速列車(chē)行進(jìn)方向上，導(dǎo)高變化浮動(dòng)很小，即可認(rèn)為接觸線單元的z′≈0；在單元長(zhǎng)度L較小時(shí)，承力索單元和彈性吊索單元在Z軸方向的浮動(dòng)較大，不可近似視為z′≈0，故采用拋物線單元和懸鏈線單元作為基本單元。

拋物線單元形函數(shù)為

(2)

式中，1、2泛指所描述單元的兩結(jié)點(diǎn)，下同。

(3-1)

(3-2)

式中，q0表示垂向載荷；T0表示索單元截面拉力的水平分量，下同。

懸鏈線單元形函數(shù)為

(4-1)

(4-2)

兩端結(jié)點(diǎn)力大小分別為

(5)

兩種索單元?jiǎng)偠染仃嚺cX、Z方向相關(guān)，但輸出的端點(diǎn)力僅與Z方向相關(guān)，其可視為將平面內(nèi)的二維問(wèn)題降為一維問(wèn)題。在僅存在垂向載荷的條件下，結(jié)點(diǎn)力的水平分力大小等于懸索張力，結(jié)點(diǎn)力的垂直分力大小為單元輸出值，其精確程度與單元加密程度相關(guān)。

1.2索單元的三維擴(kuò)展

本文提到的2種二維索單元是針對(duì)同一平面內(nèi)的懸索進(jìn)行計(jì)算的，其模型具有局限性。

(1)結(jié)構(gòu)拓?fù)渚窒蓿寒?dāng)懸掛類(lèi)型為直鏈型懸掛時(shí)，可通過(guò)變換矩陣坐標(biāo)保證整體吊弦計(jì)算精度，但當(dāng)懸掛類(lèi)型為半斜鏈型懸掛和斜鏈型懸掛時(shí)，由于各線索不在同一鉛垂面內(nèi)，只能做投影近似計(jì)算。

(2)邊界條件局限：當(dāng)計(jì)算區(qū)間位于曲線線路和曲線縱坡時(shí)，由于地理位置造成垂直計(jì)算平面的邊界條件，只能忽略或近似處理。

在實(shí)際線路的吊弦計(jì)算中，采用二維索單元解得的整體吊弦長(zhǎng)度精度較低，尤其距第一吊弦越近的吊弦長(zhǎng)度，其計(jì)算誤差越大。參考矢量合力和矢量位移在三維坐標(biāo)軸方向的分解法則，提出用與水平面與鉛垂面耦合求解的方法構(gòu)建三維索單元，接觸網(wǎng)系統(tǒng)的主載荷沿重力方向，故Y向恒采用拋物線單元進(jìn)行構(gòu)建，其整體構(gòu)建思路如下。

(1)在每個(gè)計(jì)算點(diǎn)建立相對(duì)坐標(biāo)系。以?xún)绍夗斶B線中點(diǎn)在低軌軌頂平面的投影為相對(duì)坐標(biāo)系的原點(diǎn)，軌道切線的前進(jìn)方向?yàn)閄軸，重力方向?yàn)閆軸，Y軸方向由慣性系右手定則得出。接觸網(wǎng)系統(tǒng)在列車(chē)行進(jìn)的方向S上規(guī)律排布，最小重復(fù)單元為跨，見(jiàn)圖3。

圖3　一跨接觸網(wǎng)的三維示意及懸掛點(diǎn)合力分解

(2)在相對(duì)坐標(biāo)系下建立三維索單元。根據(jù)接觸網(wǎng)穩(wěn)態(tài)模型邊界條件qx=0、qy=0、qz=q0和矢量力的分解法則，則有

(6-1)

(6-2)

其中，T0表示由于墜砣自重產(chǎn)生的懸索張力大?。粁表示單元長(zhǎng)度在x軸的投影，Δy和Δz含義類(lèi)同；i表示X軸或Y軸或Z軸方向；FTi表示矢量張力T在i軸的分量。

以式(6)為組建方程，將二維拋物線單元按X-Y，X-Z兩方向合成并構(gòu)建三維索單元，基于式(3)有

(7-1)

其中單元?jiǎng)偠染仃?/p>

(7-2)

同樣的，將二維懸鏈線單元按X-Y，X-Z兩方向合成并構(gòu)建三維索單元， 基于式(5)有

(8)

其中單元?jiǎng)偠染仃?/p>

(9)

2接觸網(wǎng)系統(tǒng)的有限元單元法

2.1整錨段接觸網(wǎng)系統(tǒng)的離散和集成

接觸網(wǎng)系統(tǒng)由承力索組和接觸線組兩部分構(gòu)成，承力索組包括承力索及其附屬線夾、彈性吊弦及其附屬線夾、吊弦和附加重力，接觸線組包括接觸線及其附屬線夾、定位器和附加重力。兩者采用統(tǒng)一的單元?jiǎng)澐趾兔▌t：懸掛點(diǎn)、接觸點(diǎn)和集中載荷點(diǎn)必是單元結(jié)點(diǎn)；單元的X向長(zhǎng)度不超過(guò)0.5 m。

接觸網(wǎng)系統(tǒng)的各組成部分構(gòu)建方法如下。

(1)接觸線、承力索和彈性吊索：接觸線、承力索和彈性吊索在求解初值時(shí)采用拋物線單元，在迭代求解精確解時(shí)采用懸鏈線單元，按已劃分好的單元大小構(gòu)建整體剛度矩陣，其中單元結(jié)點(diǎn)位于懸索截面的幾何中心。

特別的，在不同懸索類(lèi)型的集成過(guò)程中，存在因?qū)嶋H安裝或設(shè)計(jì)需要等因素而造成相鄰索單元結(jié)點(diǎn)不共點(diǎn)的情況，如圖4所示，其中計(jì)算點(diǎn)的偏移距離為L(zhǎng)c。

圖4　承力索和彈性吊弦連接線夾截面示意

圖4所示主要影響懸索張力沿重力方向分解的大小，采用的有限元單元尺寸越小，計(jì)算中心不共點(diǎn)情況引起的偏差越大，整體計(jì)算精準(zhǔn)性越差。故彈性吊索的結(jié)點(diǎn)力可修正為

(10)

其中，knn和kmm分別是剛度矩陣中第n和第m單元結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的主對(duì)角線上的值。

(2)吊弦：其屬于柔性線索且吊弦整體處于線性狀態(tài)，構(gòu)成線性迭代的增量，吊弦重力表達(dá)式

(11)

采用簡(jiǎn)單迭代法進(jìn)行公式變換，收斂速度為線性

(12)

即

(13)

其中增量

(14)

式(9)～式(11)中，下角標(biāo)為“c”“j”“t”和“d”分別表示“承力索”“接觸線”“彈性吊索”和“吊弦”，右上角標(biāo)“(e)”表示第e次迭代，字符上方的“～”表示迭代過(guò)程中的已知值，下同。

(3)附加重力：分為兩類(lèi)，一類(lèi)屬于均布載荷，直接疊加在懸索的米重q0。特別的，懸索采用拋物線單元時(shí)，需疊加線索本身重力；一類(lèi)是屬于集中載荷，按力矩平衡原理進(jìn)行分解疊加

(15)

式中，L=l1+l2。

(4)集成平衡方程：按圖1所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，將離散的單元集成式(1)所示平衡方程。

2.2整錨段接觸網(wǎng)系統(tǒng)的迭代算法

平衡方程式(1)可寫(xiě)成

(16)

(17)

(18)

式(18)是平衡方程的迭代關(guān)系式，以二階平方速度收斂，解決了式(16)無(wú)法直接求解的問(wèn)題。接觸網(wǎng)系統(tǒng)實(shí)際計(jì)算時(shí)，拋物線單元是建立在吊弦重力基礎(chǔ)上，從直角邊米重逐漸加大向斜邊米重直到收斂的迭代方式；懸鏈線單元是建立在拋物線初解基礎(chǔ)上，從載荷沿X軸方向逐漸加大至沿懸索S方向直到收斂的迭代方式。兩次迭代均有現(xiàn)實(shí)物理意義，是一個(gè)單調(diào)穩(wěn)定收斂的過(guò)程，其求解流程見(jiàn)圖5。

圖5　平衡方程求解流程

3吊弦計(jì)算和方法驗(yàn)證

3.1吊弦計(jì)算的參數(shù)條件

在接觸網(wǎng)勘察設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)人員致力于降低接觸線沿行車(chē)方向垂直跳動(dòng)，從而降低或避免受電弓與接觸線之間的離線燒蝕。顯然，接觸線的垂直跳動(dòng)和同軸度與吊弦長(zhǎng)度是否合適直接相關(guān)。

在接觸網(wǎng)的初始穩(wěn)態(tài)條件下，使用所述方法計(jì)算各個(gè)吊弦的長(zhǎng)度，并與現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)作比較，以吊弦長(zhǎng)度為依據(jù)驗(yàn)證本方法的準(zhǔn)確性和接觸網(wǎng)模型的有效性。表2給出了接觸網(wǎng)的物理參數(shù)，表3、表4分別給出了計(jì)算區(qū)間所述的線路曲線和線路縱坡。表中涉及豎曲線采用的是拋物線，不涉及連續(xù)短坡豎曲線；涉及的緩和曲線采用的是鐵路常見(jiàn)的三次螺旋曲線[15]

(19)

式中，R為曲線半徑；l0為緩和曲線長(zhǎng)。

表2　吊弦整體計(jì)算的參數(shù)值

注：l1、n和CWH分別指第一吊弦間距、吊弦數(shù)和導(dǎo)高，下同。

表3　接觸網(wǎng)計(jì)算區(qū)間所屬的線路曲線

表4　接觸網(wǎng)計(jì)算區(qū)間所屬的線路縱坡

3.2吊弦長(zhǎng)度的精度驗(yàn)證

計(jì)算區(qū)間為K282+222～K283+627，根據(jù)各表數(shù)據(jù)和現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)展開(kāi)整體吊弦計(jì)算，根據(jù)迭代計(jì)算結(jié)果繪制的立面如圖6所示。以左側(cè)0 m數(shù)據(jù)為起點(diǎn)的曲線為線路縱坡曲線，以5.9 m數(shù)據(jù)為起點(diǎn)的曲線為接觸線，以7.5 m數(shù)據(jù)為起點(diǎn)的多峰曲線為承力索。

圖6　接觸線計(jì)算系統(tǒng)圖像輸出(立面)

中間柱和轉(zhuǎn)換柱為兩類(lèi)錨柱，分別進(jìn)行橫向差異比較。中間柱、轉(zhuǎn)換柱附近的吊弦計(jì)算結(jié)果對(duì)比分別見(jiàn)表5、表6。表中的現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)滿足《客運(yùn)專(zhuān)線鐵路電力牽引供電工程施工技術(shù)指南》的要求。其中，中間柱的計(jì)算最大誤差小于2.0‰，轉(zhuǎn)換柱最大誤差小于3.5‰。

表5　本方法計(jì)算的中間柱附近的吊弦長(zhǎng)度與現(xiàn)場(chǎng)長(zhǎng)度對(duì)比

注：差別=(本方法計(jì)算長(zhǎng)度-現(xiàn)場(chǎng)長(zhǎng)度)/現(xiàn)場(chǎng)長(zhǎng)度，下同。

表6　本方法計(jì)算的轉(zhuǎn)換柱附近的吊弦長(zhǎng)度與現(xiàn)場(chǎng)長(zhǎng)度對(duì)比

4結(jié)論

(1)以三維索單元為基礎(chǔ)，依據(jù)接觸網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)建立剛度矩陣，根據(jù)地理信息、測(cè)量信息、設(shè)計(jì)信息等作為邊界條件，利用迭代關(guān)系求解平衡方程，進(jìn)而獲得每個(gè)計(jì)算點(diǎn)的受力大小和位置。

(2)計(jì)算的吊弦長(zhǎng)度與現(xiàn)場(chǎng)長(zhǎng)度結(jié)果相近，尤其是中間柱計(jì)算結(jié)果，證明本方法有效且具有一定的工程價(jià)值。

(3)本方法為二階平方收斂，其構(gòu)造思路和探究方法可為后續(xù)分析接觸網(wǎng)和受電弓相互作用等研究提供參考。

本文介紹了一種基于三維索單元的電氣化鐵路接觸網(wǎng)有限元找形方法，其思路是根據(jù)接觸網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)建立剛度矩陣，根據(jù)地理信息、測(cè)量信息、設(shè)計(jì)信息等作為邊界條件，利用迭代關(guān)系求解平衡方程，進(jìn)而獲得每個(gè)計(jì)算點(diǎn)的受力大小和位置的方法。其計(jì)算的吊弦長(zhǎng)度與現(xiàn)場(chǎng)長(zhǎng)度結(jié)果相近，尤其是中間柱計(jì)算結(jié)果，證明本方法有效且具有一定的工程價(jià)值。本方法為二階平方收斂，其構(gòu)造思路和探究方法可為后續(xù)分析接觸網(wǎng)和受電弓相互作用等研究提供參考。

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收稿日期：2015-11-06； 修回日期：2015-11-18

基金項(xiàng)目：中國(guó)鐵路總公司科技開(kāi)發(fā)計(jì)劃(2014J013-A)

作者簡(jiǎn)介：李逢源(1991—)，男，碩士研究生，主要從事軌道材料和電氣化鐵路研究工作，E-mail：13121302@bjtu.edu.cn。

文章編號(hào)：1004-2954(2016)07-0134-06

中圖分類(lèi)號(hào)：U225.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI:10.13238/j.issn.1004-2954.2016.07.031

Modeling of 3D-steady State of Catenary Dropper Length Based on Full Anchor Section

LI Feng-yuan1， HAN Jian-min1， XU Jian-guo2， YANG Zhi-yong1

(1.School of Mechanical， Electronic and Control Engineering， Beijing Jiaotong University， Beijing 100044， China;2.CREC Railway electrification bureau Group Co.， Ltd.， Beijing 100036， China)

Abstract：In order to reduce the calculation deviation of dropper length， control the height of contact wire and improve power transmission， a 3D steady state model for the accurate calculation of the integrated dropper length is established. Based on 2D exact cable elements， 3D cable element is obtained with X-Y， X-Z coupled calculation planes. Based on finite element theory， contact network structure is discrete by using 3D cable element. The stiffness matrix is assembled according to the topological structure of the contact network and the boundary conditions are established based on the geographic information， measurement information and design parameters. The iterative method is employed to solve nonlinear equilibrium equations. 3D graphics and output of the integrated dropper length are fulfilled according to the results of the equations. The comparison of the calculated dropper lengths with site measurements show that the calculation errors of the single suspension masts are less than 2.0‰ and those of the transition masts are less than 3.5‰. The results verify the validity of the 3D model and the construction method．

Key words：Electrified railway; Catenary; 3D cable element; Form-finding for cable structure; Dropper length