冪律流體圓管紊流新速度分布式

趙　巖，王常斌

(中國計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

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冪律流體圓管紊流新速度分布式

趙巖，王常斌

(中國計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

【摘要】從牛頓流體在圓管中的層流流動(dòng)的力平衡方程出發(fā)，通過引入?yún)⒖几]國仁的紊流隨機(jī)理論和普朗特的混合長(zhǎng)度理論，推導(dǎo)出牛頓流體在圓管中的紊流流動(dòng)的力平衡方程.然后，將冪律流體本構(gòu)方程帶入到該力平衡方程中，通過求解該方程推導(dǎo)出冪律流體在圓管中紊流流動(dòng)的新的速度分布式，該新的分布式的速度分布由冪律流體的流性指數(shù)、稠度系數(shù)、密度即流體本身特性決定，可以從該式分析冪律流體的本身特性相關(guān)參數(shù)與其流動(dòng)情況之間的關(guān)系，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)對(duì)照比較吻合.

【關(guān)鍵詞】?jī)缏闪黧w；紊流；混合長(zhǎng)度理論；隨機(jī)理論

非牛頓流體的流動(dòng)是工程中經(jīng)常遇到的問題，由于非牛頓紊流系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與性質(zhì)的復(fù)雜性，紊流流動(dòng)[1-3]的問題至今在理論上沒有非常精確的解析解[4].雖然紊動(dòng)微分方程早由雷諾于1895年導(dǎo)出，但由于該方程的不封閉性，使得該方程的求解成為紊流研究的主要困難之一.可喜的是，上世紀(jì)三十年代初，普朗特、卡門等學(xué)者從不同的途徑提出來一系列半經(jīng)驗(yàn)理論，用以闡述明渠流和管道流的紊流結(jié)構(gòu).雖然這些理論無法用于描述紊流的脈動(dòng)結(jié)構(gòu)，但在解決時(shí)均流速分布等問題上卻得到了較好的結(jié)果.這些理論基本上滿足了當(dāng)時(shí)生產(chǎn)的需要，較好的解決了一些工程問題[5].

隨著生產(chǎn)的發(fā)展，石油工業(yè)中對(duì)非牛頓流體流動(dòng)的研究日益活躍，求解非牛頓流體的層流流動(dòng)比較方便，在理論與實(shí)驗(yàn)上已取得許多有益的成果;然而，石油工業(yè)[6-7]中大量的非牛頓流體的流動(dòng)問題是屬于湍流流動(dòng)，由于流動(dòng)的復(fù)雜性，對(duì)非牛頓流體的湍流流動(dòng)規(guī)律及非牛頓流體中流變參數(shù)對(duì)流動(dòng)影響的研究卻相應(yīng)的顯得不足，所以探索研究非牛頓流體圓管湍流流動(dòng)規(guī)律是很有必要的.

本文通過引入紊流隨機(jī)理論[8]和普朗特混合長(zhǎng)度理論[9-10]并將二者相結(jié)合，推導(dǎo)出冪律流體在圓管中的紊流流動(dòng)速度分布式，從力學(xué)角度探討冪律流體流性指數(shù)和稠度系數(shù)對(duì)紊流流動(dòng)所產(chǎn)生的影響.

1冪律流體在圓管中的紊流方程

眾所周知，對(duì)于牛頓流體圓管中的層流，作用在流體上的力平衡方程式為

(1)

在紊流狀態(tài)下，根據(jù)紊流隨機(jī)理論，力平衡方程轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(2)

式(2)中：τ′為紊流附加切應(yīng)力；R為圓管半徑；τ為切應(yīng)力；τw為壁面切應(yīng)力.

根據(jù)普朗特混合長(zhǎng)度理論可以得到

(3)

式(3)中：l為混合長(zhǎng)度；ρ為流體的密度；k為比例常數(shù)，k≈0.4.冪律流體的本構(gòu)方程如下：

(4)

將式(3)、(4)代入到式(2)中，可以得到如下方程：

(5)

2冪律流體在圓管中紊流的速度分布

通過分析求解方程(5)得到下式：

(6)

為計(jì)算簡(jiǎn)便，對(duì)上式進(jìn)行簡(jiǎn)化，?。?/p>

則簡(jiǎn)化后得到如下方程：

(7)

(8)

式(8)中取負(fù)號(hào)，即

(9)

(10)

將上式根號(hào)項(xiàng)進(jìn)行泰勒展開然后取前二項(xiàng)可得

(11)

G(1-e-βy/R).

(12)

這樣方程就能適用于整個(gè)流場(chǎng)，式(12)中：e為自然對(duì)數(shù)的底；β為修正項(xiàng)的指數(shù)系數(shù).從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可得：

β=β0/Pl，

(13)

(14)

其中：β0為比例系數(shù)，β0=1 000；g為重力加速度.

(15)

對(duì)式(12)積分計(jì)算可得

(16)

(17)

將式(17)代入式(16)中，得出

(18)

方程(18)即冪律流體在圓管中紊流的速度分布式.

將上式進(jìn)行無量綱化并修正，得到下式：

，

(19)

其中(0≤y/R≤0.55)；

，

(20)

其中(0.55≤y/R≤1).

(21)

式(21)中：v為過流斷面上的平均流速，m/s；Re為廣義雷諾數(shù).

3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

利用方程(19)和(20)在如下參數(shù)R=1.132×10-2m，n=0.937 6，K=6.378×10-2Pa·sn，ρ=1 002.8 kg/m3條件下對(duì)照參考陳家瑯教授所做實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[11]進(jìn)行比較(見表1)，從表中可見最大相對(duì)偏差在圓管中心處，大小為0.047 305 4.

表1　公式(19)、(20)計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較

4結(jié)語

從牛頓流體圓管層流流動(dòng)的力平衡方程出發(fā)，借鑒紊流隨機(jī)理論得出牛頓流體圓管紊流流動(dòng)的力平衡方程.然后引入普朗特混合長(zhǎng)度理論，并代入冪律流體的本構(gòu)方程，得到一個(gè)新的冪律流體圓管紊流方程.該方程前提假設(shè)合理，推導(dǎo)嚴(yán)密，所引入的公式及理論都是經(jīng)過驗(yàn)證的經(jīng)典理論，經(jīng)過計(jì)算理論值與前人所做實(shí)驗(yàn)值比較吻合.

式(19)、(20)適用于整個(gè)流場(chǎng)，該式由冪律流體參數(shù)即流性指數(shù)和稠度系數(shù)決定流場(chǎng)特性，更有利于分析研究不同參數(shù)條件下冪律流體在圓管中的流動(dòng)情況.

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【文章編號(hào)】1004-1540(2016)02-0144-04

DOI:10.3969/j.issn.1004-1540.2016.02.004

【收稿日期】2016-01-10《中國計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào)》網(wǎng)址：zgjl.cbpt.cnki.net

【作者簡(jiǎn)介】趙巖(1990-)，男，內(nèi)蒙古自治區(qū)根河人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榉桥ｎD流體的流動(dòng)規(guī)律分析. E-mail:352322796@qq.com 通信聯(lián)系人：王常斌，男，教授.E-mail: 2263394959@qq.com

【中圖分類號(hào)】O357.5

【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A

A new velocity distribution for turbulent pipe flow of power law fluid

ZHAO Yan, WANG Changbin

(College of Metrology and Measurement Engineering, China Jiliang University, Hangzhou 310018, China)

Abstract:Based on the Newton fluid force balance equation of the laminar flow in pipe and with reference to the mixing-length theory and random theory, we inferred the Newtonian fluid force balance equation of turbulent flow in pipe. Then, we imported the constitutive equation of power law fluid to solve the equation and deduce the new velocity distribution for turbulent pipe flow of power law fluid. By comparing the results with the experiment through computing the equation, we found that the equation was in accordance with the experimental data better. The new velocity distribution was decided by the fluidity index, the consistency coefficient and fluid density. The equation could be used to analyze the influence of the characteristics of power law fluid on its flow.

Key words:power law fluid; turbulent flow; mixing length theory; random theory