分形微積分算子的定義及其應用

陳文　王發(fā)杰++楊旭

摘要： 基于隱式微積分建模方法，提出分形維空間基本解的概念，從而定義分形維上的微積分算子，用以描述分形材料的各種力學行為.分形微積分算子極大地推廣經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)力學微積分建模方法的使用范圍，是分形導數(shù)概念的進一步發(fā)展.運用奇異邊界法成功地數(shù)值模擬分形維拉普拉斯算子方程唯象描述的分形材料勢問題.

關鍵詞： 分形微積分算子； 隱式微積分方程建模； 唯象模型； 基本解； 分形導數(shù)

中圖分類號： O39；O241.8文獻標志碼： A

Definition of calculus operator on fractal and its applications

CHEN Wen， WANG Fajie， YANG Xu

（State Key Laboratory of HydrologyWater Resources and Hydraulic Engineering； College of

Mechanics and Materials， Hohai University， Nanjing 210098， China）

Abstract： Based on the implicit calculus equation modeling approach， the concept of fundamental solution on fractal is defined and the fractal calculus operator is defined to describe the various mechanical behaviors of fractal materials. The fractal calculus operator significantly extends the application scope of the classical calculus modeling approach under the framework of continuum mechanics. It is also a stepforward advance of fractal derivative. By the singular boundary method， the numerical simulation is successfully performed on fractal Laplacian equation for phenomenological modeling potential problems in fractal media.

Key words： fractal calculus operator； implicit calculus equation modeling； phenomenological model； fundamental solution； fractal derivative

收稿日期： 2016[KG*9〗04[KG*9〗04修回日期： 2016[KG*9〗04[KG*9〗25

基金項目： 國家自然科學基金面上項目（11372097）；高等學校學科創(chuàng)新引智計劃（B12032）

作者簡介： 陳文（1967—），男，教授，博導，博士，研究方向為計算力學和軟物質(zhì)力學，（Email）chenwen@hhu.edu.cn0引言

現(xiàn)代計算科學主要是建立在微積分方程概念和建模方法基礎上的，特別是連續(xù)介質(zhì)力學問題的描述離不開微積分方程建模方法，但對于復雜分形結構材料和系統(tǒng)，經(jīng)典的微積分方程方法面臨著巨大的困難.一般的應用策略是直接拓廣經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學模型，運用非線性項描述分形介質(zhì)中的復雜力學行為，因此模型中往往含有多個經(jīng)驗參數(shù)，且部分人為參數(shù)缺乏物理意義.

近年來，分數(shù)階微積分方程建模方法引起廣泛關注，成為描述復雜物理力學問題的一個有競爭力的建模方法[1].由于分數(shù)階模型仍然是線性的，能夠較好地刻畫系統(tǒng)的歷史和路徑依賴特征，應用在某些問題上比非線性方法有一定的優(yōu)越性.但是，分數(shù)階微積分和分形幾何的數(shù)學聯(lián)系至今還不是很清楚，已有的研究多是定性討論.[2]

分形幾何方法在描述復雜系統(tǒng)的幾何特征、統(tǒng)計行為、數(shù)據(jù)結果的冪律特征等方面取得很多有意義的成果[3]，但其對應的微積分建模方法至今沒有完整地建立起來.這極大地限制分形方法在科學和工程問題中的應用.CHEN等[4]首次定義分形維α上分形導數(shù)的概念為dg（t）dtα=limt′→tg（t）-g（t′）tα-（t′）α（1）式中：g（t）為所考察的物理量；t為自變量；α為任意實數(shù)分形維.

此后，分形導數(shù)建模在反常擴散等問題上取得一些有意義的結果.[56]分形導數(shù)是局部導數(shù)，不同于全域定義的分數(shù)階微積分，因而計算量和內(nèi)存需求大大減少，但分形導數(shù)微分方程的應用目前很不成熟，在多維問題中的應用還很少.

針對多維分形空間問題，本文進一步發(fā)展分形導數(shù)的概念，定義分形維上的微積分算子.這項研究的關鍵創(chuàng)新點是拓廣經(jīng)典微分算子的基本解，提出分形維上微分算子基本解的概念.運用陳文等[7]提出的隱式微積分建模方法，根據(jù)分形維上的基本解“隱式”地定義分形微積分算子.分形微積分算子可以方便地數(shù)值計算和使用，但不一定具有顯式表達式或其顯示表達式難以得到.

本文以分形維上的拉普拉斯算子為例，詳細介紹分形微積分算子的概念和具體應用，主要數(shù)值求解技術是奇異邊界法[89].該方法以距離為基本變量，不依賴于問題的維數(shù)，本質(zhì)上是無網(wǎng)格無數(shù)值積分方法，編程容易，能夠計算高維復雜幾何形狀問題.

首先，引入分形維上微分算子基本解的概念.以拉普拉斯算子為例，比較分形和分數(shù)階導數(shù)2種拉普拉斯算子基本解的區(qū)別與聯(lián)系；然后，采用隱式微積分方程建模方法定義分形微積分算子，并給出分形維上拉普拉斯算子、亥姆霍茲算子、修正亥姆霍茲算子、擴散算子的定義；再次，以分形拉普拉斯算子方程為例，采用奇異邊界法數(shù)值模擬二維和三維分形拉普拉斯算子方程，并對數(shù)值結果進行討論和分析；最后，總結分形微積分算子的特點和建模方法的優(yōu)勢，以及若干有待深入研究解決的問題.

1分形維上微分算子的基本解

為不失一般性，以整數(shù)維上的整數(shù)階拉普拉斯方程為例，其數(shù)學形式為Δu（x）=0， x∈Rn（2）式中：Δ為Rn上的拉普拉斯算子；n為整數(shù)階空間維數(shù)（二維n=2得到的是平凡基本解）；u為待求勢函數(shù).相應的基本解[10]為u*n（r）=1（n-2）Sn（1）r2-n（3）式中：Sn（1）=2πn/2/Γ（n/2）；r=||xξ||為點x和ξ的歐氏距離.近年來引起廣泛關注的分數(shù)階拉普拉斯算子（-Δ）s/2能夠表征物理力學系統(tǒng)的空間非局部性.采用隱式微積分建模方法，從其Riesz分數(shù)階勢出發(fā)，直接構造出分數(shù)階拉普拉斯算子的基本解[11]為u*s（r）=1（d-s）Sd（1）rs-d（4）式中：s為分數(shù)階數(shù)是0～2范圍內(nèi)的任意實數(shù).經(jīng)典整數(shù)階拉普拉斯算子是一個特例，即s=2；這里s表征材料的非局部性，刻畫冪律特征.

推廣式（3）和（4）得到整數(shù)階拉普拉斯算子在分形維d上的基本解為u*d（r）=1（d-2）Sd（1）r2-d（5）這里d可以是任意實數(shù).

以三維空間問題為例，比較討論分形維上的拉普拉斯基本解與分數(shù)階拉普拉斯算子基本解的區(qū)別和聯(lián)系.大部分三維空間問題的分形維在（2， 3]范圍內(nèi)，相應的分形維拉普拉斯算子的距離變量指數(shù)（2-d）在[-1， 0）范圍內(nèi)；分數(shù)階拉普拉斯算子基本解的距離變量指數(shù)（s-3）在（-3，-1]范圍內(nèi).由此可見，分形和分數(shù)階拉普拉斯算子有各自不同的適用對象和范圍，經(jīng)典的整數(shù)階拉普拉斯算子基本解1/r是兩者的極端特例.

2分形微分算子的定義

根據(jù)隱式微積分建模方法，可以用基本解定義微分方程模型，不需要微分方程的顯式表達式.基于此，本節(jié)運用分形維上的算子基本解，定義分形維上的4類典型微分算子方程.

拉普拉斯方程Δdu（x）=0， x∈Ω（6）亥姆霍茲方程（Δ+k2）du（x）=0， x∈Ω（7）修正亥姆霍茲方程（Δ-k2）du（x）=0， x∈Ω（8）擴散方程αΔdu（x）=u（x）t， x∈Ω，t≥0（9）式（6）～（9）中：下標d為分形維值為d的微分算子，以區(qū)別于經(jīng)典的整數(shù)階和分數(shù)階微分算子.推廣相應整數(shù)階基本解[10]，分形維上亥姆霍茲、修正亥姆霍茲以及擴散算子的基本解定義為u*d（r）=12π-ik2πr（d/2）-1K（d/2）-1（-ikr）（10）

u*d（r）=12πk2πr（d/2）-1K（d/2）-1（kr）（11）

u*d（r）=H（t）（4παt）d/2e-r2/4αt（12）式中：K（d/2）-1為第二類修正貝塞爾函數(shù)；H（t）為赫維賽德階躍函數(shù)；t=|t2-t1|為時刻到時刻的時間間隔；α為擴散系數(shù)；d為分形維數(shù).分形維上的拉普拉斯算子基本解見式（5）.

3分形拉普拉斯勢問題的數(shù)值模擬

拉普拉斯算子是最重要的橢圓型算子，在物理和力學中有著廣泛而重要的應用.本節(jié)以拉普拉斯方程為例，數(shù)值考察分形維微分算子方程的行為特征.

奇異邊界法[89]是一種邊界型徑向基函數(shù)配點法，以基本解作為插值基函數(shù)，能夠無網(wǎng)格、無數(shù)值積分求解高維復雜幾何域問題，不需要微分方程的具體表達式.本節(jié)基于分形維上拉普拉斯算子的基本解，采用奇異邊界法求解分形維拉普拉斯控制方程和相應邊界條件的穩(wěn)態(tài)熱傳導問題.

首先，考慮一個二維正方形域分形介質(zhì)中的穩(wěn)態(tài)熱傳導問題，其邊界條件見圖1：左右邊界絕熱，熱流量q=0，上邊界溫度u=0 °C，下邊界溫度u=10 °C.為考察溫度變化與分形維數(shù)之間的關系，不同分形維數(shù)d情況下沿直線x=1.0溫度值變化的數(shù)值計算結果見圖2.由此可見：二維整數(shù)維情況下，溫度的變化呈線性減小；相比較而言，分形維時溫度變化呈指數(shù)趨勢減小，且維數(shù)越小溫度變化越劇烈.一般情況下，在不知道分形維上拉普拉斯方程的精確解時，可以通過指定與整數(shù)維方程相同的邊界條件，考察分形維方程的數(shù)值解是否逼近于整數(shù)維方程的精確解.在本算例中，考察d趨于2時，方程的解是否逼近d=2整數(shù)階拉普拉斯方程的解.從圖2中可以看到，當維數(shù)d趨近于2時，分形維拉普拉斯方程的解確實單調(diào)趨近于整數(shù)維2的解.

Fig.4Variation of temperature u on line {（x， y， z） | x=1， y=1， 0≤z≤2}against fractal dimension d由圖4可以看出：在完全相同邊界條件下維數(shù)d趨近于3時，分形維拉普拉斯方程的解單調(diào)趨近于整數(shù)維為3的解；另外，三維整數(shù)維情形下溫度的變化呈線性減小，而當材料具有分形特征時，溫度變化在底部附近比整數(shù)維的變化緩慢，中間部分比整數(shù)維的變化劇烈，接近上頂部時溫度的減小趨勢又變緩.

4結束語

引入分形微積分算子是分形導數(shù)概念的進一步發(fā)展，可推廣連續(xù)介質(zhì)力學微積分建模方法的使用范圍，克服現(xiàn)有分形方法局限于幾何描述和數(shù)據(jù)擬合的瓶頸問題，拓廣分形方法的應用范圍和深度.

本文提出分形維上基本解的概念，基于隱式微積分建模方法，定義分形維上的微積分算子，微分控制方程表達式本身不再是必要的環(huán)節(jié)和對象.數(shù)學、力學建模和數(shù)值建模自然成為一體，極大地簡化工程仿真的難度.

從數(shù)學上看，分形維上微分算子基本解表達式中的維數(shù)d甚至可以是復數(shù)或負數(shù)，但相關的物理力學意義并不清楚.此外，目前也有多種分形的測量方法和定義，具體到某個應用選擇何種定義需要研究.本文提出的分形維微積分算子方法是唯象建模技術，還缺少扎實的數(shù)理基礎；該方法的適用范圍和有效性還有待在科學工程問題中充分驗證.

說明：陳文提出本文的基本數(shù)學方法和整體研究思路；王發(fā)杰負責編程和數(shù)值結果整理；楊旭負責收集分形材料的有關數(shù)據(jù).參考文獻：

[1]陳文， 孫洪廣， 李西成. 力學與工程問題的分數(shù)階導數(shù)建模[M]. 北京： 科學出版社， 2010.