控制力矩陀螺轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速及軸向振動響應(yīng)分析

代彥賓，李建華，鄧四二，楊虎

（1.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039）

控制力矩陀螺的高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是航天飛行器進行姿態(tài)控制的重要結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)子高速運轉(zhuǎn)引起的振動直接影響著飛行器姿態(tài)控制的精確性和穩(wěn)定性。國內(nèi)外學者在轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速和軸向振動方面開展了許多研究。文獻［1-2］采用試驗的方法研究了軸承預緊力、安裝跨距對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的影響，并將試驗數(shù)據(jù)進行擬合，得到軸承預緊力、安裝跨距與轉(zhuǎn)子固有頻率的關(guān)系式；文獻［3］采用有限元法對軸承在不同預緊力下的主軸-軸承系統(tǒng)進行了模態(tài)和諧響應(yīng)分析，結(jié)果表明：隨預緊力的增加，系統(tǒng)固有頻率逐漸增大，主軸兩端徑向位移響應(yīng)減小，中間徑向位移響應(yīng)增大；文獻［4］以主軸-軸承系統(tǒng)為對象，考慮了陀螺效應(yīng)，將轉(zhuǎn)子簡化為多段Timoshenko梁，并用數(shù)值方法計算了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的徑向振動響應(yīng)。文獻［5］對比分析了轉(zhuǎn)子組件在懸臂和雙支承2種結(jié)構(gòu)下的臨界轉(zhuǎn)速和振動特性，提出了懸臂支承轉(zhuǎn)子主軸根部更容易發(fā)生斷裂；文獻［6］以軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，研究了滾動軸承在靜載荷及不平衡載荷激勵作用下，其剛度的變化規(guī)律，并計算了時變軸承剛度作用下的轉(zhuǎn)子時域振動響應(yīng)及頻域特征；文獻［7］研究了軸承接觸角對軸承剛度和轉(zhuǎn)子系統(tǒng)徑向振動的影響，證明接觸角對轉(zhuǎn)子振動的影響較大；文獻［8-10］分析了剛性支承轉(zhuǎn)子橫向振動與軸向振動的關(guān)系，并得出不平衡轉(zhuǎn)子橫向振動會引起軸向振動的結(jié)論；文獻［11-12］從控制力矩陀螺高速轉(zhuǎn)子的零件波紋度和轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)2方面分析了轉(zhuǎn)子產(chǎn)生軸向振動的原因。但以上關(guān)于轉(zhuǎn)子軸向振動的分析沒有考慮軸承軸向剛度的影響，鑒于此，基于轉(zhuǎn)子動力學和諧響應(yīng)分析理論，考慮軸承軸向剛度的影響，采用有限元法對控制力矩陀螺高速轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速和軸向振動進行分析。

1 高速轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)及研究方法

1.1 高速轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)分析

控制力矩陀螺高速轉(zhuǎn)子主要由一對背對背安裝的角接觸球軸承支承的旋轉(zhuǎn)質(zhì)量本體及相關(guān)結(jié)構(gòu)組成，如圖1所示，加載螺母通過壓緊加載壓蓋為軸承提供預緊力；θ為旋轉(zhuǎn)質(zhì)量本體輻板傾斜角；主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

圖1 高速轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of high-speed rotor

表1 主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Main structural parameters

1.2 轉(zhuǎn)子動力學理論基礎(chǔ)

當高速轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)子上的點會在一個軌道上不規(guī)則波動運動，稱為渦動（進動），渦動的方向與轉(zhuǎn)速一致時稱為正進動，反之為負進動。當轉(zhuǎn)子做正進動，且其轉(zhuǎn)動的頻率與轉(zhuǎn)子固有頻率相等時，轉(zhuǎn)子出現(xiàn)共振，其轉(zhuǎn)速即為該轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。

基于轉(zhuǎn)子動力學理論利用有限元法求解復雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速時具有較為突出的優(yōu)點［13］。根據(jù)有限元理論，對于一個N自由度的線彈性系統(tǒng)，其動力學方程為

在轉(zhuǎn)子動力學中，還需考慮陀螺效應(yīng)，此時無外部作用力的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學方程為

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；G為陀螺矩陣；K為剛度矩陣中的對稱部分；S為剛度矩陣中的不對稱部分；u為節(jié)點位移向量矩陣；u″為節(jié)點加速度向量矩陣；u′為節(jié)點速度向量矩陣；F（t）為節(jié)點載荷向量矩陣。

1.3 諧響應(yīng)分析理論

轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)時旋轉(zhuǎn)質(zhì)量本體會對軸承和支承結(jié)構(gòu)施加穩(wěn)態(tài)的、交變的作用力，這些作用力可看作簡諧載荷。分析轉(zhuǎn)子在簡諧激勵作用下的軸向振動響應(yīng)時，可只考慮其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。高速轉(zhuǎn)子受到簡諧激勵的振動方程為

式中：F（t）cos（ωt）為節(jié)點簡諧激振力向量矩陣。

2 高速轉(zhuǎn)子有限元分析模型

以某型控制力矩陀螺高速轉(zhuǎn)子為例，建立轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速及軸向振動響應(yīng)的有限元分析模型。將高速轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)做如下簡化：1）高速轉(zhuǎn)子簡化為彈性支承的旋轉(zhuǎn)質(zhì)量本體，彈性支承的剛度即為滾動軸承的徑向和軸向剛度，軸承剛度計算方法參考文獻［14］；2）忽略旋轉(zhuǎn)質(zhì)量本體為制造或安裝方便而設(shè)計的尺寸較小的倒角；3）在軸承安裝位置施加彈性支承約束，通過改變約束位置模擬軸承的安裝跨距。

分析轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速時考慮陀螺效應(yīng)，并對轉(zhuǎn)子施加一系列轉(zhuǎn)速激勵，通過求解不同轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)子固有頻率獲得Campbell曲線，進而得到轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速。

進行轉(zhuǎn)子軸向振動的諧響應(yīng)分析時，對轉(zhuǎn)子施加1g（g為重力加速度，下同）的軸向加速度激勵。轉(zhuǎn)子在加速度激勵下發(fā)生振動過程中，在某一頻率處會對轉(zhuǎn)子振幅產(chǎn)生放大作用，從而對轉(zhuǎn)子的性能造成很大影響，所以在設(shè)計高速轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)時，為保障軸承單元不受破壞，要求轉(zhuǎn)子的放大因子q≤10［11］。高速轉(zhuǎn)子的放大因子是指轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在軸向加速度為1g時，其最大加速度響應(yīng)與重力加速度的比值，即q=A/9.8，其中A為轉(zhuǎn)子最大加速度響應(yīng)。

3 高速轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速及軸向振動響應(yīng)分析

控制力矩陀螺高速轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速低于1階臨界轉(zhuǎn)速時，可以將其視為剛性轉(zhuǎn)子［13］，故僅對轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速進行計算。輻板傾斜角、軸承預緊力和安裝跨距對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度有一定的影響，轉(zhuǎn)子剛度又是影響系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速和軸向振動響應(yīng)的主要因素，故分析上述3個因素對轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速和軸向振動響應(yīng)的影響。

3.1 轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速計算結(jié)果及分析

旋轉(zhuǎn)質(zhì)量本體輻板傾斜角為4°、軸承預緊力為230 N、軸承安裝跨距為287mm時，高速轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速Campbell圖如圖2所示。根據(jù)Campbell圖列出高速轉(zhuǎn)子的固有頻率及相應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速，見表2。通常將轉(zhuǎn)子正進動的轉(zhuǎn)速作為臨界轉(zhuǎn)速，由表2可得高速轉(zhuǎn)子在第3階模態(tài)存在1階臨界轉(zhuǎn)速，為9 169.7 r/min。

圖2 高速轉(zhuǎn)子Campbell臨界轉(zhuǎn)速圖Fig.2 The Campbell critical speed of high-speed rotor

表2 高速轉(zhuǎn)子固有頻率及相應(yīng)臨界轉(zhuǎn)速Tab.2 Natural frequency and relevant critical speed of high-speed rotor

軸承預緊力為230 N、安裝跨距為287 mm時，輻板傾斜角對高速轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速的影響如圖3所示。由圖可知，高速轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速隨輻板傾斜角的增加呈先增大后減小的趨勢。這是因為輻板厚度隨輻板傾斜角的增加而減小，整個系統(tǒng)的質(zhì)量也隨之減小，系統(tǒng)固有頻率增加，從而提高了高速轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速。輻板傾斜角增大的同時也會降低轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度，當輻板傾斜角增加到一定程度后，臨界轉(zhuǎn)速會由于系統(tǒng)剛度降低而下降。

圖3 輻板傾斜角對高速轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速的影響Fig.3 Effect of plate angle on first order critical speed of high-speed rotor

旋轉(zhuǎn)質(zhì)量本體輻板傾斜角為4°，安裝跨距為287 mm時，軸承預緊力對高速轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速的影響如圖4所示。由圖可知，高速轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速隨軸承預緊力的增加而增大。這是因為預緊力的增加提高了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度，使高速轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速也增大。

圖4 軸承預緊力對高速轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速的影響Fig.4 Effectof bearing preload on firstorder critical speed of high-speed rotor

旋轉(zhuǎn)質(zhì)量本體輻板傾斜角為4°，軸承預緊力為230 N時，軸承安裝跨距對高速轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速的影響如圖5所示。由圖可知，高速轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速隨軸承安裝跨距的增加而減小。這是因為軸承安裝跨距增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的徑向剛度減小，高速轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速也隨之減小。

圖5 軸承安裝跨距對高速轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速的影響Fig.5 Effect of span on first order critical speed of highspeed rotor

綜上可得，增加輻板傾斜角可提高轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速，但過大的輻板傾斜角將使旋轉(zhuǎn)質(zhì)量本體的轉(zhuǎn)動慣量大幅減小，導致控制力矩陀螺對外輸出力矩不足，降低飛行器姿態(tài)控制能力；增大軸承預緊力在提高轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速的同時會使軸承摩擦增大、溫度升高，系統(tǒng)靈敏度降低，因此要將軸承預緊力控制在一定范圍內(nèi)；減小軸承安裝跨距可提高轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速，但由于結(jié)構(gòu)的限制，軸承安裝跨距也應(yīng)控制在一定的范圍內(nèi)。

3.2 轉(zhuǎn)子軸向振動諧響應(yīng)計算結(jié)果及分析

旋轉(zhuǎn)質(zhì)量本體輻板傾斜角為4°、軸承預緊力為230 N、加速度激勵為1g時，輪緣的加速度及位移響應(yīng)曲線分別如圖6、圖7所示。

圖6 高速轉(zhuǎn)子軸向振動加速度響應(yīng)Fig.6 Acceleration response curve of high-speed rotor axial vibration

圖7 高速轉(zhuǎn)子軸向振動位移響應(yīng)曲線Fig.7 Displacement response curve of high-speed rotor axial vibration

由圖可知，在0～2 000 Hz的激振頻率內(nèi)，輪緣的最大軸向振動加速度響應(yīng)為68.776 m/s2，最大軸向振動位移響應(yīng)為74.608μm。此時，高速轉(zhuǎn)子的放大因子為7.018。

輻板傾斜角對轉(zhuǎn)子軸向振動響應(yīng)的影響如圖8所示。由圖可知，隨著輻板傾斜角的增加，高速轉(zhuǎn)子的放大因子逐漸增大，輪緣的軸向振動位移響應(yīng)呈先減小后增大的趨勢。

圖8 輻板傾斜角對高速轉(zhuǎn)子軸向振動響應(yīng)的影響Fig.8 Effect of plate angle on axial vibration response ofhigh-speed rotor

軸承預緊力對轉(zhuǎn)子軸向振動響應(yīng)的影響如圖9所示。由圖可知，隨著軸承預緊力的增加，高速轉(zhuǎn)子的放大因子逐漸增加，輪緣的軸向振動位移響應(yīng)逐漸減小。

圖9 軸承預緊力對高速轉(zhuǎn)子軸向振動響應(yīng)的影響Fig.9 Effect of bearing preload on axial vibration response of high-speed rotor

軸承安裝跨距對高速轉(zhuǎn)子軸向振動響應(yīng)的影響如圖10所示。由圖可知，隨著軸承安裝跨距的增加，高速轉(zhuǎn)子的放大因子逐漸減小，輪緣的軸向振動位移響應(yīng)逐漸增大，但二者變化量均不大。

圖10 軸承安裝跨距對高速轉(zhuǎn)子軸向振動響應(yīng)的影響Fig.10 Effect of span on axial vibration response of highspeed rotor

由上述分析可知，選擇合適的輻板傾斜角和軸承預緊力可以減小高速轉(zhuǎn)子的放大因子以及輪緣的軸向振動位移響應(yīng)，為使兩者盡可能小，應(yīng)在圖8和圖9中2條曲線相交位置附近選擇輻板傾斜角和軸承預緊力。

4 結(jié)論

通過分析旋轉(zhuǎn)質(zhì)量本體輻板傾斜角、軸承預緊力及軸承安裝跨距對高速轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速和軸向振動響應(yīng)的影響，得出如下結(jié)論：

1）轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速隨軸承預緊力的增加而增大，隨軸承安裝跨距的增加而減小，隨旋轉(zhuǎn)質(zhì)量本體輻板傾斜角的增加呈先增大后減小的趨勢。在一定范圍內(nèi)增加軸承預緊力和輻板傾斜角可以提高轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速。

2）高速轉(zhuǎn)子的放大因子隨輻板傾斜角和軸承預緊力的增加逐漸增大；輪緣的軸向振動位移響應(yīng)隨軸承預緊力的增加逐漸減小，隨輻板傾斜角的增加呈先減小后增大的趨勢；軸承安裝跨距對高速轉(zhuǎn)子的放大因子和輪緣的軸向振動位移響應(yīng)影響較小。選擇合適的輻板傾斜角和軸承預緊力可以減小高速轉(zhuǎn)子的放大因子和輪緣的軸向振動位移響應(yīng)。