基于電震耦合理論研究電極法儲層巖石復(fù)電阻率頻散特性

鄭海霞， 關(guān)繼騰， 薛慶忠

中國石油大學(xué)(華東)理學(xué)院， 青島　266580

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基于電震耦合理論研究電極法儲層巖石復(fù)電阻率頻散特性

鄭海霞， 關(guān)繼騰， 薛慶忠

中國石油大學(xué)(華東)理學(xué)院， 青島266580

摘要復(fù)電阻率測井在識別油水層的能力上優(yōu)于常規(guī)電阻率測井，然而儲層巖石復(fù)電阻率特性的微觀機理還沒有統(tǒng)一完整的解釋和數(shù)學(xué)模擬方法，致使復(fù)電阻率測井技術(shù)的開發(fā)缺乏足夠的理論基礎(chǔ).本文基于孔隙介質(zhì)Pride電震耦合理論，結(jié)合諧變信號激勵下滲流場與電流場的耦合理論，推導(dǎo)出一級近似條件下的Pride電震耦合理論.采用格林函數(shù)方法建立了一維電震波場的波動方程及其解.構(gòu)造了雙電極法測量儲層巖石復(fù)電阻率的物理模型和數(shù)學(xué)模型，從理論上闡明了巖石復(fù)電阻率頻散特性的微觀機制與電震效應(yīng)的關(guān)系，定量分析了儲層巖石復(fù)電阻率頻散特性的影響因素.數(shù)學(xué)模擬結(jié)果表明：儲層巖石復(fù)電阻率的頻散現(xiàn)象是在電震快縱波和電震慢縱波的共同作用下，由孔隙介質(zhì)中的電滲流機制形成的；儲層巖石的復(fù)電阻率隨孔隙度的增大而減小，隨滲透率的增大而增大，地層水礦化度的增加或陽離子交換量的增大使得同頻率的復(fù)電阻率減小.慢縱波界面極化頻率受孔隙度、滲透率和地層彈性模量的影響較大，而快縱波界面極化頻率受地層彈性模量的影響較大.

關(guān)鍵詞復(fù)電阻率； 電震效應(yīng)； 儲層巖石； 頻散特性； 雙電極法

The electro-osmotic flow process and the electroseismic coupling effect are taken into account to interpret and evaluate the frequency dispersion of complex resistivity in reservoirs. The first thing is to derive a first-order approximation to the Pride electroseismic coupling theory, combining the seepage field and the current field. Next, the Green′s function method is applied to build a one-dimensional wave equation and its solution. By the resulting solution, the propagating features of the electroseismic waves are analyzed. And then, according to the theory of two-electrode method measuring complex resistivity, we analyze the propagating characteristics of the current field which is influenced by the electroseismic coupling effect, and on this basis we construct physical and mathematical models of complex resistivity measured by the two-electrode method. Lastly, we clarify the influence factors on the dispersion characteristics by quantitatively analyzing the influence of porosity, permeability, salinity, cation exchange capacity, elastic modulus and core length.

Simulation results show that the curve of the complex resistivity exhibits obvious frequency dispersion. The real part of the complex resistivity descends roughly in a ladder-like fashion, i.e. when the frequency is small, the real part experiences a rapid decline, then slows down. With the increasing of frequency, rapid decline happens again, and finally the curve reduces to zero. The imaginary part of W-shape shows two clear peaks. All these characteristics are formed under the combination of the electroseismic fast P-waves and electroseismic slow P-waves. When the porosity is raised, the complex resistivity value and the interfacial polarization frequency of slow-P-wave both decrease, while that of the fast P wave remains fairly constant. When the permeability is raised, the complex resistivity value and the interfacial polarization frequency of slow-P-wave both increase. Enhancing salinity contributes to the decrease of the complex resistivity value, while makes no contribution to the change of the two interfacial polarization frequencies. So does the cation exchange capacity. Changing of the elastic modulus has no effect on the complex resistivity value, while the two interfacial polarization frequencies vary with it evidently. Change of the core length has little influence on the complex resistivity value, while the two interfacial polarization frequencies both reduce with the increasing core length.

Frequency dispersion is generated as a result of electroosmotic flow in porous media influenced by the combination of electroseismic fast P-waves and electroseismic slow P-wave. Correctness and reliability of this view are verified using the computing instances. It provides a new idea for the development of complex resistivity logging. Both the real part and the imaginary parts of complex resistivity curves show evident frequency dispersion. The abundant reservoir information contained in the dispersion characteristics can benefit the research of rock structure and fluid property. The value of the complex resistivity increases along with the decreasing of porosity, and the increasing of the permeability, the salinity, and the cation exchange capacity. The interfacial polarization frequencies are dominated by electroseismic wave velocity. The interfacial polarization frequency of slow P waves is found to enhance with the reducing of the porosity，and the raising of the permeability. The interfacial polarization frequency of fast-P-wave is found to vary with the elastic modulus. Both of the two interfacial polarization frequencies change little with the variation of salinity and cation exchange capacity.

1引言

復(fù)電阻率測井是在不同的頻率條件下測量儲層的電阻率，根據(jù)測量的電阻率頻散信息來識別油氣水層，可以較好地反映儲層巖石的含油氣性.近幾年來，圍繞著復(fù)電阻率測井技術(shù)的推廣應(yīng)用開展了許多研究工作，主要集中于探索復(fù)電阻率影響因素的實驗研究以及復(fù)電阻率模型的數(shù)學(xué)模擬，研究方法還處于半經(jīng)驗半理論狀態(tài)，缺少定量的數(shù)學(xué)描述，無法從微觀機理上揭示儲層巖石復(fù)電阻率頻散特性的產(chǎn)生過程，造成復(fù)電阻率測井技術(shù)仍然缺乏堅實的理論基礎(chǔ)，相關(guān)技術(shù)的開發(fā)仍然停留在試驗階段，還無法達(dá)到真正的工業(yè)化應(yīng)用要求.

巖石復(fù)電阻率頻散機理研究是復(fù)電阻率測井技術(shù)的研發(fā)基礎(chǔ).復(fù)電阻率頻散特性的實驗研究始于20世紀(jì)70年代，Zonge和Wynn(1975)提出剩余電磁參數(shù)可明顯指示構(gòu)造的含油氣性，并報告了復(fù)電阻率法在油氣田上的應(yīng)用效果，這為復(fù)電阻率法應(yīng)用于油氣探測奠定了基礎(chǔ).Shen等(1985)研究了800～1200 MHz時巖心介電頻散的特點.鄭和華等(1993)運用巖石物理實驗方法，在模擬地層溫度和壓力的條件下，在100 Hz～15 MHz頻段上測量了巖石樣品的復(fù)電阻率特性，從電流的角度探討了復(fù)電阻率的頻散機理.范宜仁等(1994)通過巖石頻散特性的分析，認(rèn)為巖石泥質(zhì)含量及含油氣飽和度將直接影響復(fù)電阻率的頻散特性.安珊和李能根(1998)實驗發(fā)現(xiàn)飽和鹽水的泥質(zhì)砂巖的復(fù)電阻率模值、復(fù)電阻率實部與復(fù)電阻率虛部均隨測量電流頻率、地層水礦化度以及泥質(zhì)含量的升高而減小.蘇慶新等(1999)采用雙電極法研究了不同含水飽和度下的巖石電阻抗和界面極化頻率.柯式鎮(zhèn)等提出線圈法(柯式鎮(zhèn)等, 2003；柯式鎮(zhèn), 2010)和電極法(柯式鎮(zhèn)等, 2006)測量復(fù)電阻率特征，并且認(rèn)為線圈法與電極法頻散規(guī)律可以用一定的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述，二者符合同一模型，具有互換性.Ulrich和Slater(2004)測量發(fā)現(xiàn)非膠結(jié)砂巖的復(fù)電阻率與含水飽和度有關(guān).童茂松等(2005a，b，2007)研究了復(fù)電阻率實部頻散度、模的頻散度以及虛部頻散度與含水飽和度的關(guān)系.肖占山等(2006a，b，2007，2009)發(fā)現(xiàn)泥質(zhì)砂巖的復(fù)電阻率頻散特性受含油飽和度、潤濕性的影響較大，受地層水礦化度的影響較小.盧艷(2008)利用雙電極法進(jìn)行寬頻帶掃頻測量，結(jié)果表明復(fù)電阻率的模值、虛部、模的差值和虛部差值都隨含水飽和度的增加而降低.王暢等(2012)通過聚合物驅(qū)油實驗結(jié)果提出復(fù)電阻率虛部同含水飽和度之間存在線性關(guān)系.張雷潔等(2013)采用雙電極法觀測到巖心復(fù)電阻率頻散程度隨著含水飽和度的增加而減弱，且界面極化頻率隨含水飽和度和飽和水礦化度的增加而增大.

有關(guān)巖石復(fù)電阻率數(shù)學(xué)模型的研究，不少學(xué)者通過等效電路的方式來模擬巖石的頻散現(xiàn)象，其中比較經(jīng)典的是Cole-Cole復(fù)電阻率模型.Cole和Cole(1941)為解釋電介質(zhì)的介電頻散現(xiàn)象，考慮到頻率域中的電子導(dǎo)體與電解液界面上的復(fù)超電壓等效于單位面積上的復(fù)阻抗，從而提出該模型.Pelton等(1978)借用類似的等效電路模型來描述復(fù)電阻率的頻譜特性，同時指出Cole-Cole模型不僅可以描述激發(fā)極化效應(yīng)，還可以用來描述電磁感應(yīng)頻譜的低頻部分，而復(fù)電阻率頻散響應(yīng)可以表示為多個Cole-Cole模型的組合.此后，Wait(1981)、Guptasarma(1984)、陸啟行(1985)、劉崧(1988)、Xiang等(2001)、柯式鎮(zhèn)等(2006)、程輝等(2010)、李勇等(2011)等都曾先后對Cole-Cole模型進(jìn)行化簡.然而Cole-Cole模型對各參數(shù)所反映的物理意義探討的并不十分深入，該模型參數(shù)除了極化率和電阻率這兩個參數(shù)得到實際應(yīng)用外，頻率相關(guān)系數(shù)和時間常數(shù)在實際中還沒有得到充分利用(劉崧，1998).Dias(2000)對復(fù)電阻率頻譜基本數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了總結(jié)，提出了一種新的激發(fā)極化模型，并對該模型中各個參數(shù)的物理意義進(jìn)行了詳細(xì)說明.姜恩承等(2002)根據(jù)電化學(xué)理論，應(yīng)用電阻和電容網(wǎng)絡(luò)模型來模擬電極發(fā)射法交變電場巖石阻抗，給出每個等效電路中電子元件的數(shù)學(xué)表達(dá)式，使網(wǎng)絡(luò)模型轉(zhuǎn)換成用地層參數(shù)描述的數(shù)學(xué)模型，通過阿爾奇公式得出了復(fù)電阻率公式.Jougnot等(2010)基于Maxwell-Wagner極化理論采用頻譜激發(fā)極化法研究了非飽和巖石復(fù)電阻率的幅值和相位隨含水飽和度的變化關(guān)系.總之，現(xiàn)有主流數(shù)學(xué)模型的建立大多基于等效電路的思想，理論上只要電路模型足夠復(fù)雜，就可以很好地擬合實測數(shù)據(jù).然而這類方法畢竟不是從復(fù)電阻率的物理本質(zhì)出發(fā)，還不能將等效電路中的元件參數(shù)與儲層巖石儲滲參數(shù)和宏觀電化學(xué)參數(shù)之間的關(guān)系建立起來，所以不能很好地解釋巖石復(fù)電阻率的頻散特性及其與巖石物性參數(shù)之間的定量關(guān)系，尚不能用于解決實際問題.

當(dāng)諧變電流場作用于流體飽和孔隙介質(zhì)時，在孔隙介質(zhì)中激發(fā)周期性電滲流動和彈性波的傳播，產(chǎn)生電震效應(yīng).1961年，安茨費洛夫(波達(dá)波夫，1996)通過實驗證實了第二類震電效應(yīng)的逆效應(yīng)—電震效應(yīng).波達(dá)波夫(1996)介紹了直流電場對地震波的影響，建立了描述孔隙介質(zhì)中彈性波場和電磁場之間相互作用的數(shù)學(xué)模型，研究了周期性電流場對孔隙地層的作用，實驗表明地層巖石發(fā)生了機械振動，即出現(xiàn)電震現(xiàn)象.Pride和Haartsen(1996)研究了各向同性孔隙介質(zhì)中電震耦合平面波的特性.斯維托夫(陳邦彥，2006)指出：電震法的基礎(chǔ)是含水孔隙巖層中的電滲現(xiàn)象，電震法可以彌補震電法的不足.近年來，國內(nèi)也開展了相關(guān)的研究(石昆法，2001；周成當(dāng)?shù)龋?001；劉洪，2002；蘇巍等，2006).李建勇等(2001)對大慶油田1999年的實驗進(jìn)行了深入分析，實驗發(fā)現(xiàn)直流電場確實改變了地震波中面波與反射波的比例.胡恒山等(2003)提出了聲電效應(yīng)測井時轉(zhuǎn)換電場的計算公式.Hu等(2007)利用Biot理論和麥克斯韋電磁理論構(gòu)成的Pride理論，研究了交變電流源激發(fā)的電聲測井響應(yīng).任恒鑫等(2010)解決了層狀孔隙介質(zhì)震電波場數(shù)值模擬的高頻不穩(wěn)定性問題.張丹等(2013)討論了不同結(jié)構(gòu)模型中雙力偶點源以及有限斷層面源作用下產(chǎn)生的地震波及其伴隨電磁信號的時域和頻域特征.張泉瀅等(2014)定量模擬了震電波的傳播規(guī)律及電磁特性.資料分析表明，儲層巖石的復(fù)電阻率特性和電震效應(yīng)均是由諧變電流激發(fā)的電化學(xué)效應(yīng).因此可以綜合考慮儲層巖石電滲流過程及電震效應(yīng)，有效地解釋與評價儲層巖石復(fù)電阻率的頻散特性.

本文的研究擬解答兩個問題：(1)巖石復(fù)電阻率頻散特性的微觀機制是什么？(2)如何構(gòu)建描述復(fù)電阻率的數(shù)學(xué)模型和定量計算方法？基于以上問題，本文以孔隙介質(zhì)Pride電震耦合理論為基礎(chǔ)，采用格林函數(shù)方法建立了一維電震波場的波動方程及其解，針對雙電極法構(gòu)建了儲層巖石復(fù)電阻率的計算公式.系統(tǒng)地利用數(shù)學(xué)方法闡明了巖石復(fù)電阻率頻散特性的微觀機制，分析了儲層巖石的孔隙度、滲透率、陽離子交換量、地層水礦化度與復(fù)電阻率特性的定量關(guān)系，為提高復(fù)電阻率測井的定量解釋水平提供新的思路和科學(xué)依據(jù).

2孔隙介質(zhì)中的電震耦合理論

測量巖石復(fù)電阻率的實驗室方法之一是雙電極法，如圖1所示.設(shè)柱狀巖心軸向為z方向，徑向為r方向.由供電電極A、B向巖心供入頻率為ω的諧變電流，電流密度為Je=Je0e-iω tez，測量流經(jīng)巖心的電流和巖心兩端的電位差即可得到巖心的復(fù)電阻率.

圖1　雙電極法測量復(fù)電阻率模型Fig.1　Sketch of measuring complex resistivity by the two-electrode method

2.1Pride電震耦合理論

根據(jù)電震耦合理論，當(dāng)諧變電流作用于流體飽和孔隙介質(zhì)時，孔隙液體中的帶電離子將會受到激發(fā)而引起周期性電滲流動，致使孔隙中的液體與巖石固體骨架發(fā)生相對運動，從而在儲層巖石中激發(fā)彈性波，即產(chǎn)生儲層巖石中的電震效應(yīng).因此巖石復(fù)電阻率的微觀機制中，電震耦合效應(yīng)成為必不可少的微觀機制之一.Pride電震波理論(Pride and Haartsen, 1996)包括麥克斯韋電磁理論、孔隙介質(zhì)Biot理論以及動電耦合理論.假定諧變場的時間因子為e-iω t，Pride電震耦合控制方程改為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

其中，ω為角頻率，E、D、H和B分別表示電震相互耦合場激發(fā)的電磁場的電場強度、電位移矢量、磁場強度和磁感應(yīng)強度，μ為磁導(dǎo)率，ε為孔隙介質(zhì)介電常數(shù)，可用流體介電常數(shù)εf、基質(zhì)介電常數(shù)εs表示為ε=φεf+(1-φ)εs，φ是孔隙度，J為巖心內(nèi)的總電流密度，J′表示因電震耦合而產(chǎn)生的電流密度，Je和Ee分別表示外界人工電源供入巖心的電流密度和電場強度，σ為動態(tài)電導(dǎo)率，L12和L21分別為由諧變信號激勵下滲流場與電流場的耦合理論推導(dǎo)出的電動耦合系數(shù)和動電耦合系數(shù)，p是流體壓強，w為滲流位移，可用固相位移u和液相平均位移uf表示為w=φ(uf-u)，κD為動態(tài)滲透率，η為流體黏度，τ為應(yīng)力張量，ρ為地層密度，可用基質(zhì)密度ρs和流體密度ρf表示為ρ=φρf+(1-φ)ρs,而M、C、H和G為孔隙介質(zhì)的彈性模量.

2.2一級近似條件下的一維Pride電震耦合理論

(10)

由安培環(huán)路定律，可得磁場強度為

(11)

式中，r為巖心徑向坐標(biāo)，eφ為方位角方向的單位矢量.

將式(11)代入式(1)，有

(12)

由柱坐標(biāo)系中旋度的計算公式，從式(12)中解出感應(yīng)電場強度為

(13)

式(11)和式(13)為一級近似條件下電磁相互耦合產(chǎn)生的電磁場.將式(13)代入式(5)和式(6)，且考慮到Je=σEe，可得到二級近似條件下的電滲相互耦合公式為

(14)

(15)

(16)

同理，式(15)可簡化為

(17)

2.3一維電震耦合波的彈性波場響應(yīng)

(18)

將式(8)代入式(7)，可得

(19)

式(18)和式(19)給出了注入電流密度Je與其激發(fā)的固相位移u和滲流位移w之間的關(guān)系，然而三者的幅值關(guān)系不能簡單的由此求出，原因在于這兩式表示有源空間波動方程，為非齊次方程，其通解往往采用格林函數(shù)方法求得.為求解u、w，先將式(18)、(19)整理成一維電震耦合波動方程形式為

(20)

(21)

令Gu和Gw分別表示u和w對應(yīng)的格林函數(shù)，則由式(20)、(21)可得單位點電流源激發(fā)的電震耦合波動方程為

-δ(z-z′)，

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

由式(24)和式(25)可解得：

(27)

(28)

(29)

(30)

由復(fù)變函數(shù)理論中的留數(shù)(殘數(shù))定理，可得固相位移和滲流位移的格林函數(shù)為：

(31)

(32)

令：

(33)

則式(31)和式(32)可簡寫為：

(34)

(35)

由格林函數(shù)方法中的一維格林函數(shù)積分公式：

(36)

(37)

則固相位移和滲流位移的解可表示為：

u(z)=

(38)

w(z)=

(39)

由于沿波的傳播方向振幅衰減為零，即e?ik∞→0，因此式(38)和式(39)可化簡為：

(40)

(41)

式(40)和式(41)括號中的第一項表示電震快縱波激發(fā)的介質(zhì)響應(yīng)，第二項表示電震慢縱波激發(fā)的介質(zhì)響應(yīng).若式中“±”號都取“+”號，表示正向波的彈性波場響應(yīng)，若都取“-” 號，則表示反向波的彈性波場響應(yīng).因此，從單一波角度看，式(40)和式(41)應(yīng)分為四種模式的電震波，公式為

(42)

(43)

(44)

(45)

彈性振動來源于注入巖心的電流Je0，因此巖心兩端注入的電流也應(yīng)分為沿正z軸傳播的電流和沿負(fù)z軸傳播的電流，不妨設(shè)：

(46)

(47)

可以驗證，式(46)和式(47)給出的正反向波形式的電流是符合巖心中電震波傳播規(guī)律的，電震波可視為正、反兩個方向傳播的行波.式(46)和式(47)是無界空間正反向波電流表達(dá)式，而對于巖心復(fù)電阻率測量來說，研究區(qū)域是有限的，正反向波激勵源大小不同，應(yīng)由邊界條件確定.

3儲層巖石復(fù)電阻率的數(shù)學(xué)模擬

3.1復(fù)電阻率的定義

根據(jù)電極法測量復(fù)電阻率原理，巖心的復(fù)電阻率可表示為

(48)

式中，ρ*(ω)為巖石復(fù)電阻率，J0為供電電流密度，ΔU為巖心兩端電位差，ρR(ω)、ρI(ω)分別是復(fù)電阻率的實部和虛部(王偉男等，2004).

3.2供電電流的傳播模式

電極注入巖心的電流一部分用于激發(fā)電震快縱波，另一部分用于激發(fā)電震慢縱波，則電流密度J=Jpf+Jps，Jpf和Jps分別為快縱波的電流密度和慢縱波的電流密度.由于兩種模式的電震波傳播方向都與電流方向一致，則根據(jù)式(46)和式(47)電流密度可表示為

(49)

式中，Jpf0、Jps0為電流密度的振幅.由于Biot理論中激發(fā)的彈性快縱波和慢縱波的大小與儲層巖石的孔隙度、滲流特性和孔隙的連通特性密切相關(guān)，Jpf0和Jps0的大小亦由巖石的孔滲特性決定.Jpf0和Jps0無法由人為激勵確定，也就無法由數(shù)學(xué)方法確定.

不妨將快、慢縱波模式各自對應(yīng)的電流與總激發(fā)電流的關(guān)系表示為Jpf0=Apf0J0,Jps0=Aps0J0.其中，Apf0和Aps0可理解為注入的總電流中激發(fā)快縱波模式和激發(fā)慢縱波模式的電流在總電流中所占的權(quán)重，且有Apf0+Aps0=1.式(49)可寫為

(50)

因此，設(shè)正向波和反向波的電流密度的振幅分別為J+0和J-0，巖心中任一點處總的電流密度為正反向電震波的電流之和.因此，總電流密度可寫為

J=Apf0J+0eikpfzez+Aps0J+0eikpszez+Apf0J-0e-ikpfzez

+Aps0J-0e-ikpszez.

(51)

根據(jù)諧變電流注入特點，在兩供電電極A、B處電流密度相同，設(shè)為J0，因此：

(52)

將式(51)代入上式，且由于Apf0+Aps0=1，則在z=0處，有：

(53)

在z=L處，有：

J0=(Aps0eikpsL+Apf0eikpfL)J+0

+(Aps0e-ikpsL+Apf0e-ikpfL)J-0.

(54)

將式(53)代入式(54)，可得到正反向電震波的電流密度振幅與總電流密度振幅之間的關(guān)系為

(55)

3.3復(fù)電阻率的計算公式

(56)

由電流密度表達(dá)式(51)，巖心中的電場強度可表示為

E=αpfApf0J+0eikpfzez+αpsAps0J+0eikpszez

+αpfApf0J-0e-ikpfzez+αpsAps0J-0e-ikpszez.

(57)

根據(jù)電位差公式：

(58)

兩電極間的電位差可表示為

(59)

對于給定長度為L的巖心，將式(59)代入式(48)，并將式(55)代入整理可得巖心的復(fù)電阻率為

(60)

由上式可看出，巖心的復(fù)電阻率與頻率、巖石的電化學(xué)參數(shù)和彈性參數(shù)之間有著復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系.

4計算實例與分析

表1　巖心復(fù)電阻率模型的基本參數(shù)表

注：ε0為真空介電常數(shù).

已知參數(shù)；G、Kb分別代表骨架剪切模量和骨架體積模量，可以由復(fù)合介質(zhì)彈性模量自洽理論(Berryman，1980)確定.4.1復(fù)電阻率頻散特性的計算實例

除上述基本參數(shù)外，計算復(fù)電阻率還需要確定電震波中快縱波和慢縱波所占的比值.由于Apf0和Aps0無法由數(shù)學(xué)方法確定，為分析問題方便，選取三組具有代表性的權(quán)重進(jìn)行模擬，取值如下：Apf0=0.8,Aps0=0.2,Apf0=0.5,Aps0=0.5,Apf0=0.2,Aps0=0.8.

考察101～106Hz頻段內(nèi)復(fù)電阻率實部和虛部隨頻率的變化關(guān)系，如圖2所示.圖中實線代表復(fù)電阻率實部，虛線代表復(fù)電阻率虛部.由模擬結(jié)果可看出，無論選取哪組快縱波和慢縱波的權(quán)重值，復(fù)電阻率曲線都顯示了明顯的頻散現(xiàn)象：復(fù)電阻率實部呈“階梯狀”下降，即頻率較低時，復(fù)電阻率實部先經(jīng)歷一次快速下降過程，然后緩慢下降，隨著頻率的增高，在2×104Hz附近再一次快速下降，最后趨于零；復(fù)電阻率虛部曲線上有兩個清晰的極值，曲線呈“W”型.本文復(fù)電阻率數(shù)學(xué)模型的模擬曲線雖然未能完全符合實驗規(guī)律，但兩次階梯變化、兩個界面極化頻率等特征都與大量實驗結(jié)果高度吻合(柯式鎮(zhèn)等，1999；肖占山等，2006a，2006b；馬靜等，2008；Tong and Tao，2008；王暢等，2012).

圖2　復(fù)電阻率的頻散特性曲線Fig.2　Frequency dispersion curves of complex resistivity

觀察復(fù)電阻率虛部的兩個極值可發(fā)現(xiàn)，隨著慢縱波權(quán)重的增加，第一極值增大，而第二極值減小，反之，隨著快縱波權(quán)重的增加，第一極值減小，而第二極值相應(yīng)增大.由此可推斷，復(fù)電阻率頻散曲線中

的兩次變化分別由電震慢縱波和電震快縱波引起，其中第一次變化，即復(fù)電阻率實部第一次快速下降的位置和復(fù)電阻率虛部第一極值的位置取決于慢縱波；而第二次變化，即復(fù)電阻率實部第二次快速下降的位置和復(fù)電阻率虛部第二極值的位置取決于快縱波.由此，不妨將復(fù)電阻率虛部第一極值對應(yīng)的頻率稱為慢縱波界面極化頻率，復(fù)電阻率虛部第二極值對應(yīng)的頻率稱為快縱波界面極化頻率.某些復(fù)電阻率頻散特性實驗中給出的界面極化頻率，實際上是快縱波界面極化頻率.

圖2的模擬結(jié)果表明，無論總電流在快縱波和慢縱波模式下如何分配，都不會影響復(fù)電阻率和彈性波響應(yīng)隨頻率的變化規(guī)律.因此為了簡單但不失一般性，在后續(xù)復(fù)電阻率頻散特性影響因素的討論中取Apf0=0.5，Aps0=0.5.

4.2復(fù)電阻率頻散特性的微觀機理分析

根據(jù)電震耦合理論，當(dāng)諧變電流作用于流體飽和孔隙介質(zhì)時，孔隙流體中的帶電離子將會受到激發(fā)而引起周期性電滲流動，致使孔隙中的液體與巖石固體骨架發(fā)生相對運動，從而在儲層巖石中激發(fā)彈性縱波.當(dāng)彈性縱波傳播時，被激發(fā)的流體帶動孔隙流體中的離子相對固定電荷運動，因此產(chǎn)生流動電流.這個流動電流導(dǎo)致流體中的離子在波稀疏(密集)的地方堆積，在波密集(稀疏)的地方減少，形成了離子的濃差極化效應(yīng).

(61)

令供電電流密度J0=1A/m2，分別取頻率值為10、102、103、104、105、106Hz，根據(jù)式(61)可畫出巖心長度范圍內(nèi)電荷密度隨坐標(biāo)的變化規(guī)律，如圖3所示.由圖3可看出，巖心兩端電荷密度最大，正負(fù)電荷之間產(chǎn)生附加電場.這個由濃差極化效應(yīng)產(chǎn)生的附加電場與流體中傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的伴隨電場疊加形成巖心內(nèi)的總電場.

利用式(16)計算可得電場強度與電流密度之間的關(guān)系.不同頻率下，巖心長度范圍內(nèi)電場強度隨坐標(biāo)的變化規(guī)律由圖4給出.圖4a表明，電場強度在巖心內(nèi)呈周期性分布，其周期與注入電流的頻率有關(guān).

(1) 10Hz時，電場強度的實部幾乎是一條直線，場強分布與位置無關(guān)，此時巖心中的電流可視為穩(wěn)恒電流，由式(48)和式(58)可知，在這一頻率附近復(fù)電阻率的實部基本不變.

(2) 當(dāng)頻率增至102Hz時，隨著頻率的增加，半波長范圍內(nèi)電場強度大幅減弱，復(fù)電阻率實部隨之迅速減小(即第一次快速下降).

(3) 觀察103Hz和104Hz曲線不難發(fā)現(xiàn)，電場強度變化較小，因而復(fù)電阻率變化較為緩慢.

(4) 105Hz時，電場強度在一段長度上表現(xiàn)為負(fù)值，場強沿坐標(biāo)軸的積分應(yīng)為正值部分積分S+減去負(fù)值部分積分S-，且S+隨頻率減小的同時，S-增大，這樣二者之差迅速減小，因此復(fù)電阻率實部曲線快速下降(此即為第二次快速下降)，當(dāng)S-增大到剛好等于S+時，復(fù)電阻率為零，當(dāng)S-大于S+時，則復(fù)電阻率出現(xiàn)負(fù)值.

(5) 再看106Hz曲線，可觀察到有多個完整波長，且曲線在0附近震蕩，這樣S-與S+在完整波長內(nèi)對應(yīng)抵消，對于不足一個波長的部分，若S+大于S-，則復(fù)電阻率為正值，反之，復(fù)電阻率為負(fù)值，隨著頻率的增大，復(fù)電阻率的正負(fù)值交替變化，因而復(fù)電阻率在高頻時產(chǎn)生震蕩現(xiàn)象，并且由于頻率越大，不足完整波長的部分越小，因此震蕩部分復(fù)電阻率的值越來越小，最終趨于零.

圖3　電荷密度沿巖心軸向的分布(a) 電荷密度的實部； (b) 電荷密度的虛部.Fig.3　Distribution of charge density in the core along axial direction(a) Real part of the charge density； (b) Imaginary part of the charge density.

圖4　電場強度沿巖心軸向的分布(a) 電場強度的實部； (b) 電場強度的虛部.Fig.4　Distribution of electric field intensity in the core along axial direction(a) Real part of field intensity； (b) Imaginary part of field intensity.

圖4b表明，復(fù)電阻率虛部決定于電場強度的虛部，其變化原因與實部一致.若S-增大，S+減小，則虛部絕對值增大，反之減小.當(dāng)二者差值最大時，對應(yīng)兩個極值的情況.

由上述分析可知，復(fù)電阻率頻散特性與諧變電流下的電滲流機制密切相關(guān)，然而由于巖心內(nèi)電滲流的物理過程非常復(fù)雜，對其微觀機理很難進(jìn)行直觀地描述，因此只能從電荷密度和電場強度的角度給出簡單的解釋.

4.3復(fù)電阻率的頻散特性與孔隙度的關(guān)系

在其他參數(shù)不變且不改變滲透率的情況下，僅改變孔隙度的大小，可以得到復(fù)電阻率與孔隙度的關(guān)系，如圖5所示，圖中模數(shù)為孔隙度.從圖中可看出，巖心復(fù)電阻率實部和虛部的絕對值隨孔隙度的增大而減??；慢縱波界面極化頻率向左推移，快縱波界面極化頻率幾乎不變.產(chǎn)生這一情況的原因在于，孔隙度越大，流體導(dǎo)電能力越強，因而復(fù)電阻率越小.界面極化頻率與波速有關(guān)，隨著孔隙度增大，慢縱波速度大幅減小，因此慢縱波界面極化頻率向左移動.

圖5　復(fù)電阻率的頻散特性與孔隙度的關(guān)系曲線Fig.5　Relationship between frequency dispersion of complex resistivity and porosity

4.4復(fù)電阻率的頻散特性與滲透率的關(guān)系

在其他參數(shù)不變且不改變孔隙度的情況下，僅改變滲透率的大小，可以得到滲透率對復(fù)電阻率頻散特性的影響，如圖6所示.隨著滲透率的增大，同頻率下S+與S-的差值增大，因而復(fù)電阻率變大.滲透率的增大使得慢縱波速度大幅增加，因而圖6中慢縱波界面極化頻率明顯向右推移.

圖6　復(fù)電阻率的頻散特性與滲透率的關(guān)系曲線Fig.6　Relationship between frequency dispersion of complex resistivity and permeability

4.5復(fù)電阻率的頻散特性與礦化度的關(guān)系

為研究地層水礦化度對復(fù)電阻率頻散曲線的影響，選取了三種不同地層水礦化度(1000 mg·L-1、5000 mg·L-1和10000 mg·L-1)，如圖7所示.模擬曲線表明：隨著礦化度的增加，濃度增大，溶液中導(dǎo)電離子增多，因此巖心復(fù)電阻率實部和虛部的絕對值都減小，而礦化度的改變并不影響波速，因此慢縱波界面極化頻率和快縱波界面極化頻率都不隨礦化度的變化而變化.

圖7　復(fù)電阻率的頻散特性與礦化度的關(guān)系曲線Fig.7　Relationship between frequency dispersion of complex resistivity and salinity

4.6復(fù)電阻率的頻散特性與陽離子交換量的關(guān)系

改變陽離子交換量的大小，取陽離子交換量分別為0.2 mol·L-1、0.5 mol·L-1和0.8 mol·L-1，可以得到復(fù)電阻率的頻散特性與陽離子交換量的關(guān)系曲線，如圖8所示.陽離子交換量越大，儲層巖石的導(dǎo)電能力越強，因此復(fù)電阻率的數(shù)值越??；而電震快縱波和慢縱波的波長與陽離子交換量無關(guān)，因此兩個界面極化頻率的位置不發(fā)生變化.

4.7復(fù)電阻率的頻散特性與彈性模量的關(guān)系

圖8　復(fù)電阻率的頻散特性與陽離子交換量的關(guān)系曲線Fig.8　Relationship between frequency dispersion of complex resistivity and cation exchange capacity

圖9　復(fù)電阻率的頻散特性與彈性模量的關(guān)系曲線Fig.9　Relationship between frequency dispersion of complex resistivity and elastic modulus

為分析復(fù)電阻率頻散特性與骨架彈性模量的關(guān)系，選取了三組彈性模量值(單位GPa)：第一組為表1給出數(shù)據(jù)，Kf=2.25，Ks=40.7，計算得到，Kb=28.94，G=20.26；第二組Kf=2，Ks=36，Kb=0.0436，G=0.0261(周新民等，2006)；第三組Kf=2.25，Ks=35.7，Kb=3.11，G=2.45(高永新和胡恒山，2009).圖9給出模擬結(jié)果：復(fù)電阻率數(shù)值不變，原因在于彈性模量的變化不影響介質(zhì)導(dǎo)電性；而慢縱波界面極化頻率和快縱波界面極化頻率都隨彈性模量的改變而有明顯變化，原因在于極化頻率與縱波傳播速度有關(guān)，而波速受到骨架彈性模量的影響.4.8復(fù)電阻率的頻散特性與巖心長度的關(guān)系

根據(jù)實驗中巖心長度的范圍，選取2.5 cm、5.0 cm和7.4 cm三種巖心長度的巖心進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬.巖心長度對電阻率頻散特性的影響如圖10所示，巖心長度對導(dǎo)電性沒有影響，因而復(fù)電阻率大小不變；當(dāng)巖心長度增大時，巖心長度范圍內(nèi)完整波長個數(shù)增加，S+和S-的差值達(dá)到極大時對應(yīng)的頻率減小，因而慢縱波界面極化頻率和快縱波界面極化頻率都隨巖心長度的增加而減小.

圖10　復(fù)電阻率的頻散特性與巖心長度的關(guān)系曲線Fig.10　Relationship between frequency dispersion of complex resistivity and core length

5結(jié)論

本文突破了儲層巖石復(fù)電阻率研究以實驗為主的現(xiàn)狀，以Pride電震耦合理論為基礎(chǔ)，根據(jù)雙電極法特點，實現(xiàn)了對巖石復(fù)電阻率的定量數(shù)學(xué)描述，從微觀機理上研究了儲層巖石復(fù)電阻率的頻散特性，通過計算實例證明了該理論的正確性和可靠性.并得到以下結(jié)論：

(1) 儲層巖石復(fù)電阻率的頻散現(xiàn)象是由孔隙介質(zhì)中的電震耦合作用產(chǎn)生的，其微觀機理的本質(zhì)是電滲流作用.本文給出的復(fù)電阻率機理定量解釋模型為復(fù)電阻率測井技術(shù)的開發(fā)提供了全新的思路.

(2) 一般情況下，復(fù)電阻率實部頻散曲線上有兩次階梯狀下降，復(fù)電阻率虛部頻散曲線上有兩個極值，這些特征是由電震慢縱波和電震快縱波共同作用形成的.電震波波速決定了界面極化頻率出現(xiàn)的位置，同時對復(fù)電阻率實部和虛部的絕對值也有影響.

(3) 數(shù)學(xué)模擬結(jié)果表明，保持其他物理量不變，復(fù)電阻率的大小隨著儲層巖石孔隙度的增大而減小，而隨著滲透率的增大而增大，地層水礦化度或陽離子交換量的增大都會使得復(fù)電阻率減小.

(4) 慢縱波界面極化頻率隨著孔隙度的增大而降低，而隨著滲透率的增大而有較大幅度的增高；地層水礦化度和陽離子交換量對兩個界面極化頻率幾乎沒有影響；快縱波界面極化頻率受彈性模量的影響較大.

由于復(fù)電阻率機理解釋涉及到多孔介質(zhì)的流體機制，采用不同的多孔介質(zhì)流體機制模型，可得到不同的復(fù)電阻率模擬結(jié)果.本文選用的Biot雙相介質(zhì)物理機制模型，并不能解釋所有的實驗現(xiàn)象和物理起因.除此之外，由于實際儲層巖石微觀孔隙結(jié)構(gòu)和滲流機制的復(fù)雜性，且儲層巖石復(fù)電阻率的實驗資料十分有限，文中所得結(jié)論還有待于進(jìn)一步的實驗驗證.

致謝感謝審稿專家提出的建設(shè)性意見，使本文的理論體系更加嚴(yán)謹(jǐn)，微觀機理解釋更加合理，論述更加完善.同時，感謝編輯老師細(xì)致耐心的工作！

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(本文編輯張正峰)

基金項目國家自然科學(xué)基金項目(41174101)資助.

作者簡介鄭海霞，女，1978年生，在讀博士研究生，主要從事應(yīng)用地球物理和電磁場理論方法研究. E-mail:zhenghx@upc.edu.cn

doi:10.6038/cjg20160629 中圖分類號P631

收稿日期2015-04-15，2016-01-18收修定稿

Study on the frequency dispersion of the complex resistivity in reservoir rocks based on electroseismic coupling

ZHENG Hai-Xia， GUAN Ji-Teng， XUE Qing-Zhong

CollegeofScience，ChinaUniversityofPetroleum，Qingdao266580，China

AbstractComplex resistivity logging has a better ability to distinguish oil and water layers than normal resistivity logging. In recent years, research on this issue focused on experimental studies of factors influencing complex resistivity, while little has been done on the mechanism model and mathematical simulating method for describing complex resistivity, which makes it difficult to reveal the process of frequency dispersion from a microscopic point of view. The development of complex resistivity logging technology is impeded due to insufficient theoretical basis. In this work, mathematical models and analogy methods are developed, and the microscopic mechanism of dispersion characteristics of complex resistivity in reservoir rock is investigated.

KeywordsComplex resistivity； Electroseismic coupling； Reservoir rocks； Frequency dispersion； Two-electrode method

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