不拘一格有妙招

余亞明

【摘要】在學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師根據(jù)題型的具體特征，引導(dǎo)學(xué)生嘗試突破常規(guī)的解法，歸納方法和技巧，讓學(xué)生感受成功。

【關(guān)鍵詞】靈活變式探究生成提升能力

數(shù)學(xué)離不開解題，但解題教學(xué)時(shí)不應(yīng)該只重視教會(huì)學(xué)生一招一式，讓學(xué)生習(xí)慣于所謂的“標(biāo)準(zhǔn)”解法，而應(yīng)該重視對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生不斷地去探索新的解法，長此以往，學(xué)生就能隨機(jī)應(yīng)變，從而提高思維能力和創(chuàng)新能力。下面結(jié)合教學(xué)實(shí)際舉例談?wù)剮追N突破常規(guī)的數(shù)學(xué)解題方法。

一、 “目標(biāo)轉(zhuǎn)移”法

例1如圖1，已知菱形ABCD，CE、CF分別垂直于AB、AD，垂足為E、F。求證：CE=CF。

解法1：證BCE≌DCF得CE=CF，這是學(xué)生易想到的常規(guī)解法。

解法2：轉(zhuǎn)移目標(biāo)，讓學(xué)生聯(lián)想菱形對(duì)角線的性質(zhì)，如圖2，連結(jié)AC，不難得到AC平分∠BAD， 又CE、CF分別垂直于AB、AD，垂足為E、F，利用角平分線的性質(zhì)可迅速得到CE=CF。

解法3：轉(zhuǎn)移目標(biāo)，讓學(xué)生聯(lián)想菱形面積的計(jì)算方法，可得出

S菱形ABCD=AB·CE，S菱形ABCD=AD·CF，又AB=AD， 從而得到CE=CF。

很明顯，后兩種解法比較簡單，不僅改變了學(xué)生通過三角形全等來證明結(jié)論的習(xí)慣，也讓學(xué)生對(duì)菱形的性質(zhì)有了更深刻的認(rèn)識(shí)，有利于學(xué)生溝通知識(shí)間的縱橫聯(lián)系。

二、 “一反常態(tài)”法

例2計(jì)算：（2-1）（2+2）

解法1：原式=2×2+2×2-1×2-1×2=22+2-2-2=22-2=2；該常規(guī)解法是運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則進(jìn)行解題。

解法2：觀察到2+2=2（2+1），故本題就可以采用以下解法：

原式=（2-1）·2·（2+1）=（2-1）·（2+1）·2=2。

后一種解法改變了固有計(jì)算的模式，巧妙地將2+2進(jìn)行了分解，從而簡化了運(yùn)算的過程，也提高了學(xué)生的思維水平。

例3已知方程組2x+3y=11

3x+2y=4，則x+y=。

解法1（常規(guī)解法）：利用加減消元或代入消元法解方程組，得到x=-2，y=5，再計(jì)算x+y=3。

解法2：將原方程組中兩個(gè)方程相加得5x+5y=15，再把所得方程兩邊除以5得x+y=3。

三、 “去偽求真”法

例4如圖3，在ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，已知AE=CF，M、N是DE和FB的中點(diǎn)。求證：四邊形ENFM是平行四邊形。

解法1（常規(guī)解法）：證ADE≌CBF得DE=BF，∠AED=∠CFB，再由中點(diǎn)條件得EM=NF，由ABDC得∠AED=∠CDE，等量代換得∠CFB=∠CDE，從而DEBF即EMNF，證得四邊形ENFM是平行四邊。（甚至有學(xué)生證兩次全等，此處略過。）

解法2：引導(dǎo)學(xué)生去掉無用的線條，分析出BEDF且BE=DF可得四邊形EBFD是平行四邊形，再結(jié)合中點(diǎn)條件，學(xué)生易得四邊形ENFM是平行四邊形。

后一種解法去掉了不需要用的線條（“去偽”），抓住要證的，把與問題有關(guān)的圖形抽象出來（“求真”），輕松解決問題。

四、 “貼近實(shí)際”法

例5一次越野跑中，當(dāng)小明跑了1600米時(shí)，小剛跑了1400米，小明、小剛在此后所跑的路程y（米）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖6，則這次越野跑的全程為米。

解法1（常規(guī)解法）：結(jié)合圖像設(shè)兩條直線的解析式為：y小明=k1x+1600，y小剛=k2x+1400，當(dāng)x=100時(shí)，y小明=y小剛， 當(dāng)x=300時(shí)的y小明與當(dāng)x=200時(shí)的y小剛相等，100k1+1600=100k2+1400

300k1+1600=200k2+1400，解得k1=2

k2=4，故這次越野跑的全程為：1600+300×2=2200米。（此方法與設(shè)兩人速度列方程組的方法相同，此處略去。）

解法2：由圖像中兩線交點(diǎn)的實(shí)際意義可知：100秒的時(shí)間內(nèi)小剛比小明多走了200米，說明小剛每秒比小明多走2米；再結(jié)合兩線交點(diǎn)及兩線的末端可知：小剛用100秒（200-100）走的路程和小明用200秒（300-100）走的路程，說明小剛的速度是小明的2倍。故小剛的速度是每秒4米，小明的速度是每秒2米， 最終得出全程2200米。

兩種解法本質(zhì)上是相同的，只是理解的角度不同，筆者在教學(xué)時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生更傾向于后種解法，認(rèn)為更貼近自己的生活實(shí)際，實(shí)踐說明，后種解法更方便、更省時(shí)。

五、 “他山之石”法

例6如果關(guān)于x的方程|x-1|+|x+1|=k有實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）。

A. k≥0B. k>0C. k≥2D. k≥1

解法1：（1） 當(dāng)x≥1時(shí)，k=|x-1|+|x+1|=x-1+x+1=2x≥2；

（2） 當(dāng)x≤-1時(shí)，k=|x-1|+|x+1|=1-x-x-1=-2x≥2；

（3） 當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，k=|x-1|+|x+1|=1-x+x+1=2；

該常規(guī)解法需要分類討論，而且學(xué)生極易發(fā)生錯(cuò)誤。

解法2：聯(lián)系數(shù)軸， 如圖7，把數(shù)軸上表示-1、1的點(diǎn)記著點(diǎn)A、B，設(shè)實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)P，由絕對(duì)值的幾何意義可知：

PB+PA=|x-1|+|x+1|

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)以及點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，PA+PB>AB。

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、B之間時(shí)，PA+PB=AB

故PA+PB≥AB即PA+PB≥2，又因?yàn)榉匠蘾x-1|+|x+1|=k有實(shí)數(shù)根，所以選C。

后一種解法用從幾何的角度解決了代數(shù)問題，更形象更直觀，學(xué)生易于理解。

例7點(diǎn)（x，2-x）不可能在第幾象限？

解法1（常規(guī)解法）：分類考慮x是正數(shù)、0、負(fù)數(shù)三種不同情形時(shí)，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)情況，解決過程較煩瑣。

解法2：設(shè)y=-x+2，易得函數(shù)y=-x+2的圖像分布在第一、二、四象限，所以點(diǎn)（x，2-x）不可能在第三象限。

后一種解法避開了繁雜的分類討論，巧妙地用函數(shù)解決了坐標(biāo)問題。

以上是筆者在教學(xué)實(shí)踐中的一點(diǎn)嘗試。題海茫茫，千變?nèi)f化，只有不斷地總結(jié)解題方法，在總結(jié)中反思，在總結(jié)中比較，才能在總結(jié)中提升。從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，拓寬學(xué)生的思維空間，提高教育教學(xué)水平。