重力驅(qū)動的水滴在土壤毛孔內(nèi)非穩(wěn)態(tài)運動研究

童 燕,楊青山，張玉龍，王秋玲*

(1.阜陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院, 安徽阜陽 236037；2.江蘇科技大學(xué)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212003)

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重力驅(qū)動的水滴在土壤毛孔內(nèi)非穩(wěn)態(tài)運動研究

童 燕1,楊青山1，張玉龍2，王秋玲1*

(1.阜陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院, 安徽阜陽 236037；2.江蘇科技大學(xué)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212003)

摘要重力驅(qū)動下的水滴入滲是多孔介質(zhì)特別是土壤中水分運移的一個基本問題，理論研究中常常用毛細管內(nèi)的液塞(slug)運動來模擬?？紤]前端液面的動態(tài)接觸角效應(yīng)，建立包含接觸角參數(shù)的描述液塞非穩(wěn)態(tài)運動過程的動力學(xué)模型，并對該模型進行了試驗驗證。應(yīng)用該模型，研究多孔介質(zhì)物理性質(zhì)如斥水性、毛細管內(nèi)徑和液塞初始長度等參數(shù)對液塞運動過程的影響。結(jié)果表明：接觸角的增加能顯著影響毛管內(nèi)液塞的下落速度，表明斥水性增加將顯著降低土壤等多孔介質(zhì)的導(dǎo)滲率；液塞在大管徑毛管中平均速度較大，但能夠到達的最終深度較??；相反地，液塞在小管徑毛管中的平均下落速度較小，但能到達的最終深度較大。綜合得出，在考慮孔隙結(jié)構(gòu)統(tǒng)計分布的基礎(chǔ)上，該模型可用于宏觀入滲過程的模擬研究。

關(guān)鍵詞土壤孔隙；液塞動力學(xué)；薄膜；垂直毛細管；非穩(wěn)態(tài)；接觸角

水滴入滲是多孔介質(zhì)水分運移的基本問題，許多工業(yè)生產(chǎn)及自然現(xiàn)象都與水滴在多孔介質(zhì)的入滲過程相關(guān)。研究液滴在孔隙內(nèi)的入滲速度和多孔介質(zhì)被滲潤區(qū)域的大小，需要了解液滴滲潤介質(zhì)孔隙時的動力學(xué)過程[1-2]。毛細管束模型是用來表征多孔介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)的一種簡單模型[3-7]。在該模型中，多孔介質(zhì)由一束具有一定管徑分布的一維毛細管束組成，管徑分布根據(jù)試驗測得介質(zhì)的基質(zhì)勢-飽和度特征曲線決定，毛細管束之間相互獨立。水分的宏觀入滲由流體在每根獨立毛細管內(nèi)的入滲組成，通過體積平均或橫截面平均可將毛管內(nèi)的流體運動上升為宏觀流體的入滲過程。經(jīng)典的毛細管內(nèi)水分運動模型是Lucas-Washburn模型[8]，該模型假設(shè)流體在毛細管內(nèi)連續(xù)分布，因此，以Lucas-Washburn模型為基礎(chǔ)的入滲模型只能適用于供水充分的積水入滲情形。對于供水不充分的入滲問題，如雨滴入滲、墨滴浸潤等過程，需要考慮非連續(xù)的液滴在毛細管內(nèi)運動的動力學(xué)過程[1,7-9]。

一定體積的液滴束縛在毛細管內(nèi)形成柱狀液塞，液塞同時受到重力、前后液面的毛細作用力以及黏滯力的作用。除此之外，當(dāng)液塞在毛細管內(nèi)運動時，還會留下一層薄膜，使得液塞的長度不斷縮短[10]。因此，液塞的下落運動是一種速度和長度不斷減少的非穩(wěn)態(tài)運動過程。然而，現(xiàn)有文獻中一般忽略滯留薄膜對液塞長度變化的影響，近似認為液塞下落運動為準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)運動過程[11-13]。如Bico 等[11]考慮前液面的動態(tài)接觸角和薄膜對后液面曲率的影響，根據(jù)受力平衡確定較長液塞的穩(wěn)態(tài)下落速度；Lunati等[12]研究曲面附近的流場形變引起的黏滯力變化，得到一個關(guān)于液塞長度和液塞速度的函數(shù)關(guān)系。這些研究中，液塞前進總距離較短，且速度較小，因此薄膜厚度較小，對液塞長度變化影響可以忽略。但對于較大管徑的毛細管，液塞運動速度較大，如果運動距離相對較遠，液塞長度的變化不能忽略。筆者在前期工作中結(jié)合牛頓第二定律和質(zhì)量守恒定律，建立了描述液塞在垂直毛細管內(nèi)非穩(wěn)態(tài)運動的動力學(xué)模型。該模型考慮了液塞后液面的薄膜滯留效應(yīng)，在準(zhǔn)靜態(tài)近似情況下較好地擬合了Bico等的硅油液塞下落運動的試驗數(shù)據(jù)[14]。筆者將液塞在毛細管內(nèi)的非穩(wěn)態(tài)運動模型進一步擴展為包含非零接觸角的模型，并應(yīng)用該模型進一步研究物理性質(zhì)(如斥水性、毛細管內(nèi)徑、液塞初始長度等)對液塞運動過程的影響。1液塞在垂直毛細管內(nèi)非穩(wěn)態(tài)下落模型

如圖1所示，長度為l的液塞在垂直毛細管內(nèi)自由下落，受到重力(Fg)、黏滯力(Fv)、毛細作用力(Fa,Fr)的共同作用。由牛頓第二定律可得

(1)

式中，ρ為液體密度，R為毛細管內(nèi)徑，V 為液塞質(zhì)心速度，g為重力加速度，η為黏滯系數(shù)，γ為表面張力系數(shù),θa和θr分別為液塞前后液面的動態(tài)接觸角，h為液塞后液面留下的薄膜厚度。

液塞下落時會在毛細管壁上留下一層薄膜，引起液塞體積的減小。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，得到

(2)

薄膜厚度h與液塞下落速度相關(guān), 應(yīng)用Bretherton定律[10]，得到

(3)

動態(tài)接觸角運用Bracke等的經(jīng)驗公式[15]:

(4)

將式(3)、(4)帶入式(1)、(2)后得到

(5)

式中，αa和αh為可調(diào)節(jié)參數(shù)，與毛細管壁的粗糙程度、干燥程度有關(guān)。給定初始條件l(t=0)=l0和V(t=0)=V0, 求解式(5)可獲得實時速度V(t)和長度 l(t)。將速度對時間積分可獲得實時液面位置：

(6)

2 疏水性毛細管內(nèi)的液塞下落試驗

Bico等[11]測量了不同長度的硅油液塞在垂直毛細管內(nèi)下落時的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)速度，結(jié)果表明，液塞下落速度隨長度的減小而降低。在準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)近似下，式(5)中第2個方程及第1個方程的左邊前2項為0，可獲得液塞速度與長度的函數(shù)關(guān)系，函數(shù)曲線與Bico等的試驗數(shù)據(jù)擬合得很好[14]。為了驗證該模型是否同樣適用于疏水性毛細管系統(tǒng)，筆者進行了具有一定接觸角的毛細管內(nèi)的液滴下落試驗。試驗裝置如圖1所示，試驗在1根 450 mm 長，內(nèi)徑為1 mm寬的有機玻璃毛細管內(nèi)進行。應(yīng)用可控供水泵將液塞初始長度控制在45 mm。移開毛細管下端的擋板，液塞開始下落，同時用快速CCD相機(德國PCO，分辨率1280×1024，最高幀頻可達660 fps)記錄液塞的下落過程。重復(fù)5次。

注：Fg為重力，F(xiàn)v為黏滯力，F(xiàn)a、Fr分別為前后液面毛細作用力，Za、Zr分別為前后液面位置。Note: Fg. Gravity, Fv. Viscous drag, Fa, Fr. Capillary force on the front and rear liquid level, Za, Zr. Front and rear level position. 圖1　長度為l的液塞在毛細管中的受力分析示意Fig.1　Illustration of forces on a slug in a capillary tube

圖2為在內(nèi)徑為 1.0 mm的毛細管內(nèi)，液塞下落時液面位置和液塞長度隨時間的變化情況。結(jié)果顯示，隨著液塞的下落，長度呈減小趨勢，到達毛細管下端出口附近時，液塞的長度只有初始長度的1/2。

應(yīng)用Matlab ODE 軟件包數(shù)值求解方程(5)，模擬液塞下落的運動過程。初始條件l0= 45 mm和V0=0。其他物理參數(shù)分別為ρ=0.998 g/cm3,η=1.002 mPa·s,γ=72 mN/m,g=980 cm/s。毛細管的靜態(tài)接觸角參數(shù)用測角儀 (上海中晨JC2000C1)測量相同材質(zhì)玻璃平板的接觸角獲得，測得θs=63°，因此式(5)的毛細阻力Δ= 0.56。如圖2實線表示可調(diào)參數(shù)αa=3和αh=1.3的模擬結(jié)果。模擬結(jié)果很好地擬合試驗結(jié)果，表明該模型能很好地描述疏水性毛細管內(nèi)的液塞下落運動。

注：液塞初始長度l0=45 mm。Note: The initial slug length l0= 45 mm.圖2　液面位置和液塞長度隨時間的變化(n=5)Fig.2　Evolution of the liquid level position and slug length(n=5)

3孔隙性質(zhì)對水分輸運的影響

有研究指出，一般土壤都或多或少具有一定程度的斥水性，稱為亞臨界斥水性現(xiàn)象(即接觸角0°<θs≤90°)。土壤的亞臨界斥水性現(xiàn)象對土壤的水文過程具有重要影響，如土壤導(dǎo)滲能力下降，引起濕潤鋒不穩(wěn)定，易發(fā)生指流現(xiàn)象等[16-17]。筆者運用式(5)進一步研究多孔介質(zhì)的物理性質(zhì)，如斥水性、孔徑分布等對液塞運動過程的影響。

一般沙質(zhì)土壤的特征孔隙半徑為0.1 mm左右，因此，在模擬試驗中選擇R=0.1 mm。圖3模擬了θs=0、35°、60° (對應(yīng)Δ= 0、0.15、0.50)的不同毛細管內(nèi)液塞下落運動時液面位置隨時間的變化情況。液塞初始長度為10 mm。從圖3可以看出，接觸角的增加對毛管孔隙內(nèi)的水分運動影響顯著，特別是在親水性強的土壤(如θs=0°)中，輕微的斥水性都將顯著降低水分運動速度，導(dǎo)致土壤導(dǎo)滲率明顯降低。

圖4表示液塞在不同管徑毛細管內(nèi)的運動和發(fā)展過程。R=0.05、0.10、0.15、0.20、0.25 mm,θs= 35°(即Δ= 0.134)液塞初始長度為10 mm。在運動初始階段(如100 s)，大管徑毛細管內(nèi)的液塞下落速度較小管徑快，液塞長度縮短也較小管徑快。如100 s后0.05 mm管徑內(nèi)的液塞僅下落12.00 mm，而0.25 mm管徑內(nèi)的液塞已經(jīng)下落390.00 mm, 前者長度基本無變化，而后者長度僅剩下1/3，即3.60 mm。運動后期階段(如400 s), 大管徑毛細管內(nèi)的液塞長度已減小到接近靜止閾值，速度也趨向于零，此時反而管徑較小的液塞下落速度快，且下落位置也超過大管徑的液塞。如400 s后0.20 mm管徑內(nèi)的液塞下落位置已超過0.25 mm管徑內(nèi)的液塞。結(jié)果表明，管徑較小的毛細管對水分的輸運速度較慢，但能使水分到達較深位置。

注：液塞初始長度為 l0=100 mm，毛細管內(nèi)徑R=0.10 mm。Note: An initial length l0 = 100 mm in the capillary tube of radius R=0.10 mm. 圖3　前端液面位置隨時間的變化Fig.3　Evolution of the slug-front position with time

注：液塞初始長度 l0=10 mm, 靜態(tài)接觸角θs=35°(即Δ = 0.134)。 毛細管半徑從左到右依次為 0.05、0.10、0.15、0.20、0.25 mm。為提高可視度，液塞長度被放大了5倍。 Note: The slug initial length is l0 = 10 mm and the contact angle θs =35°, represented by Δ = 0.134. Capillary-tube radii of 0.05, 0.10, 0.15, 0.20 and 0.25 mm were used for the simulations. The slugs length were multiplied by a factor of 5 and shown as black strips. 圖4　不同內(nèi)徑毛細管內(nèi)液塞下落100和400 s后的液面位置和長度Fig. 4　Evolution of the liquid level position and the length of slugs with the same initial length in different capillary tubes at 100 s and 400 s

4結(jié)語

毛細管內(nèi)的流體動力學(xué)模型是多孔介質(zhì)水分入滲模型的基本單元，經(jīng)典的毛細管水分運動模型(Lucas-Washburn模型)假設(shè)流體在毛細管內(nèi)連續(xù)分布，使得以Lucas-Washburn模型為基礎(chǔ)的水分入滲模型只能適用于充分供水入滲情形。對于非充分供水入滲情形，如雨滴入滲、噴墨入滲等，毛管內(nèi)的水分成非連續(xù)的液塞式分布，每個液塞具有前后2個液面，同時液塞運動時尾部留下附著于管壁的液體薄膜。文獻中一般忽略液體薄膜對液塞長度的改變，將液塞運動做準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)近似。當(dāng)毛細管徑較大或液塞運動距離較遠時，需要考慮液體薄膜對液塞長度變化的影響。

筆者在前期建立的接觸角為零的液塞非穩(wěn)態(tài)運動模型的基礎(chǔ)上，將模型進一步擴展為包含非零接觸角的運動模型，使得該模型適用于斥水性毛細管。并應(yīng)用該模型研究不同接觸角、不同管徑下的液塞運動。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，接觸角的增加對毛管內(nèi)的水分運動影響顯著，表明對于親水性強的土壤(如θs=0°)，輕微的斥水性增加都將顯著降低土壤導(dǎo)滲率。液塞在管徑大的毛細管中運動前期速度較快，但是速度降低也較快，因此能夠到達的深度較小，而在管徑小的毛細管中雖然運動速度慢，但最終能到達的深度大。這表明當(dāng)供水量一定時，質(zhì)地較粗的土壤滲水較快，但滲潤區(qū)域較小，而質(zhì)地細的土壤，滲水較慢，滲潤區(qū)域較大。

該研究建立的毛細管內(nèi)液塞的非穩(wěn)態(tài)運動模型，結(jié)合恰當(dāng)?shù)目紫督Y(jié)構(gòu)表征模型(如具有一定孔隙分布的毛細管束模型等)，可以建立描述宏觀入滲過程的數(shù)學(xué)模型。未來研究將考慮在實際土壤中進行水分入滲試驗，建立與完善定量土壤水分入滲的數(shù)學(xué)模型。

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基金項目安徽省對外國際合作項目(1403062027)；安徽省質(zhì)量工程項目(2014zy047，201510371088)；高校優(yōu)秀中青年骨干人才國內(nèi)外訪學(xué)研修重點項目(gxfxZD2016166)；阜陽師范學(xué)院質(zhì)量工程項目(2013ZYJS04)。

作者簡介童燕(1994- )，女，浙江金華人，本科生，專業(yè)：科學(xué)教育。*通訊作者，講師，博士，從事土壤物理學(xué)研究。

收稿日期2016-04-27

中圖分類號S 153

文獻標(biāo)識碼A

文章編號0517-6611(2016)15-143-03

Study on Unsteady Motion of Gravity-driven Water Droplets in Soil Pores

TONG Yan1, YANG Qing-shan1, ZHANG Yu-long2, WANG Qiu-ling1*

(1. School of Physics and Electronics, Fuyang Normal College, Fuyang, Anhui 236037; 2. School of Physics and Mathematics, Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang, Jiangsu 212003)

AbstractInfiltration of liquid droplets into dry porous media has been widely modeled as liquid slug flow in capillaries. In this work, a mathematical model was developed to model the gravity-driven slug motion in vertically oriented capillary tubes. Experiments on water slugs were conducted in partially wettable capillary tubes. Good agreements between the experimental and theoretical results demonstrated that the present model is capable of describing the unsteady-state dynamics of slugs fall in partially wettable capillaries. Then the developed model was applied to study the effects of contact angle and pore radium on slug dynamics. It showed that the slug falls down a longer distance at a larger average velocity for a smaller contact angle, and in a wide tube the slug had a larger average velocity than that in a narrow one. The model developed in this work could be employed to study how slugs propagate in porous media such as soils and help to explore the liquid droplets infiltration from a new point of view.

Key wordsSoil porosity; Slug dynamics; Thin film; Vertical capillary; Unsteady-state; Contact angle