經(jīng)驗視角下的數(shù)學(xué)活動應(yīng)突出“六要”

袁志偉

【摘要】數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是2011版修訂版課標(biāo)提出的“四基”之一的重要目標(biāo)，其在課堂實踐層面存在著“虛化”和“泛化”兩種值得注意和警惕的現(xiàn)象?；顒咏?jīng)驗，離不開活動，但學(xué)生經(jīng)歷或參與了數(shù)學(xué)活動，未必就一定獲得了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。那怎樣的活動才真正利于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累？或者，數(shù)學(xué)活動又該注意些什么？本文從目標(biāo)、過程、內(nèi)涵等六個方面做探討和分析。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

活動經(jīng)驗，離不開活動，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是在參與數(shù)學(xué)活動過程的基礎(chǔ)上獲得的。學(xué)生沒有經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動，就談不上獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，但經(jīng)歷或參與了數(shù)學(xué)活動，未必就一定獲得了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。那么，怎樣的數(shù)學(xué)活動有利于經(jīng)驗的積累？或者，經(jīng)驗視角下的數(shù)學(xué)活動又該注意些什么呢？

一、 目標(biāo)要明確

為何有經(jīng)歷（活動）卻不一定有經(jīng)驗，這是一線教師普遍感到困惑也是首先需要厘清的問題?；氐缴钪?，相信我們都有過這樣的經(jīng)歷：“那次我也去了，怎么一點兒印象都沒有？”反思現(xiàn)象背后的原因，這說明要在經(jīng)歷中獲得經(jīng)驗，需要引起思想上的關(guān)注，思維上的投入，情感上的體驗。也即活動首先得有明確的目標(biāo)，漫無目標(biāo)的活動是難以積累相關(guān)活動經(jīng)驗的。因此，作為數(shù)學(xué)活動的設(shè)計者，教師在備課時應(yīng)努力擺脫只設(shè)計活動，不考慮活動經(jīng)驗積累的問題，應(yīng)把活動經(jīng)驗的達(dá)成作為教學(xué)的重要目標(biāo)之一，在設(shè)計活動之初就予以充分考慮。需要提及的是，這樣的目標(biāo)設(shè)定不是空泛的，而是真實具體的。由此，教師在認(rèn)真梳理教材中有哪些典型題材能分別承載哪些不同數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的同時，應(yīng)根據(jù)課時教學(xué)內(nèi)容有重點地確定讓學(xué)生積累哪一方面的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并依據(jù)教學(xué)內(nèi)容挖掘數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的生長點，使數(shù)學(xué)活動成為數(shù)學(xué)知識的固著點，活動經(jīng)驗的積累點。只有這樣，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗對于教師的教和學(xué)生的學(xué)而言，才不再是抽象飄緲、不可捉摸的，而是具體鮮活，能夠駕馭的。

如在教學(xué)平行四邊形、三角形面積公式的推導(dǎo)時，除要讓學(xué)生理解和掌握平行四邊形、三角形面積計算公式，會用公式計算它們的面積外，更為重要的，教師應(yīng)明確并讓學(xué)生獲得這樣的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗：在學(xué)習(xí)新知識、解決新問題時，可以通過轉(zhuǎn)化把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的，把未知的轉(zhuǎn)化為已知的。積累了這樣的活動經(jīng)驗，學(xué)生在學(xué)習(xí)梯形的面積、圓的面積時，才會借鑒這一經(jīng)驗，并自覺地運用轉(zhuǎn)化思想，通過割、補、拼、移、轉(zhuǎn)等方法把梯形、圓轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的圖形，探索其面積計算公式，并在隨后的數(shù)學(xué)活動中深化、拓展數(shù)學(xué)經(jīng)驗。數(shù)學(xué)活動是具有數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的學(xué)生主動參與的學(xué)習(xí)活動。教師只有在活動前準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo)，活動中充分調(diào)動學(xué)生的認(rèn)知能力，才能使學(xué)生在活動中獲得更多的活動經(jīng)驗，才能真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

二、 過程要充分

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果。經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程既是積累基本活動經(jīng)驗的基本前提，也是唯一的一條通道。需要提及的是，這里所說的“經(jīng)歷過程”并不僅僅是指看得見、摸得著的、物化了的動手操作的過程，也不僅僅是指讓學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程，更為重要的是指讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預(yù)測的過程、推理的過程、反思的過程等等?；诖?，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生在充分感知的基礎(chǔ)上，適時觀察、思考、發(fā)現(xiàn)、比較，揭示出感性經(jīng)驗背后理性、抽象的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，讓學(xué)生獲取具有概括性、普遍性的數(shù)學(xué)知識，積累發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的經(jīng)驗。

例如，教學(xué)《長方體和正方體的體積》，筆者引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了這樣的學(xué)習(xí)過程——第一層次：拿出12個1立方厘米的正方體，擺放成長方體，可以擺出長、寬、高分別是多少的長方體？說一說，怎樣計算長方體的體積？學(xué)生得出：每一行的體積單位數(shù)×行數(shù)×層數(shù)=一共的體積單位數(shù)。第二層次：要求學(xué)生仍然用著12個1立方厘米的正方體，擺一擺，并想象出一個體積要比12立方厘米更大的長方體。學(xué)生對長方體的體積與從它的一個頂點引出的三條棱之間的關(guān)系，有了更清楚的認(rèn)識。第三層次：出示一個長方體圖，求長方體的體積。學(xué)生很快有了自己的理解和感悟：長方體的體積=長×寬×高。第四層次：用字母公式鞏固運用。從這四個層次的活動過程，可以看出“數(shù)學(xué)化”的四個步驟：具體操作—表象操作—抽象概括—數(shù)學(xué)公式。充分展開的過程，不僅豐富了感覺、知覺的經(jīng)驗，而且也為相互之間的思維碰撞提供了豐富的資源，從而實現(xiàn)了操作經(jīng)驗與思考經(jīng)驗、策略性經(jīng)驗的有機融合。這顯然是常見的“擺一擺、總結(jié)公式”，動手不動腦的教學(xué)所無可比擬的。

三、 內(nèi)涵要豐富

當(dāng)下的一些數(shù)學(xué)活動盡管重視了學(xué)生多樣化的“個人體驗”，但卻缺失了應(yīng)有的“活動內(nèi)涵”，導(dǎo)致學(xué)生無法真正獲得有價值的活動經(jīng)驗。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的核心是思維活動的經(jīng)驗，“沒有某種思維的因素便不能產(chǎn)生有意義的經(jīng)驗”。由此，設(shè)計數(shù)學(xué)活動時，教者除需對活動所蘊含的教育價值、知識間的實質(zhì)性聯(lián)系、學(xué)生思維水平和思維路徑作深入的了解外，更需思考所設(shè)計的數(shù)學(xué)活動是否富有思考意義和討論價值，能否引發(fā)認(rèn)知沖突，是否具有濃厚情趣并能觸動學(xué)生的心靈深處。只有給學(xué)生留出足夠的思維空間，不斷提出具有適度挑戰(zhàn)性的問題，并不失時機地加以啟發(fā)和引導(dǎo)，數(shù)學(xué)活動才能充分、有效展開，學(xué)生也才能夠在思維、情感共鳴的基礎(chǔ)上真正完成活動經(jīng)驗的內(nèi)化和高質(zhì)量的積累。

例如，教學(xué)《游戲規(guī)則的公平性》，單純的摸球活動本身并不具備多少數(shù)學(xué)意義。那怎樣設(shè)計突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、富有數(shù)學(xué)內(nèi)涵的數(shù)學(xué)活動呢？以下是一位老師的教學(xué)——師：大家認(rèn)為剛才的游戲還是不公平，現(xiàn)在該怎樣改變袋中的球，才能使游戲變得公平呢？生：紅球和白球的個數(shù)一樣多，游戲就公平了。教師將袋中的紅球和白球調(diào)整為同樣多。師：現(xiàn)在紅球和白球的個數(shù)一樣多了，摸球的結(jié)果又可能會怎樣呢？生1：兩種球摸到的次數(shù)應(yīng)該相等。生2：兩種球摸到的次數(shù)應(yīng)該差不多?！瓗煟涸?規(guī)則公平的情況下摸球的結(jié)果到底會怎樣呢？實踐出真知，大家再分小組自己動手試一試。學(xué)生進(jìn)行摸球游戲，教師巡視，學(xué)生匯報。師：觀察各小組的活動記錄大家有什么發(fā)現(xiàn)？生：各組的情況也不一樣。有的摸到紅球多一些，有點摸到白球多一些，也有相等的。師：為什么會這樣呢？生：公平只是可能性相同，機會均等，摸球的結(jié)果并不一定每次都一樣多，這還得看“運氣”。師：看來游戲規(guī)則公平，只表示雙方贏的機會是均等的，即使在規(guī)則公平的情況下，游戲的結(jié)果仍然是“一起皆有可能”！假如我們把各組的結(jié)果都匯總起來又會有什么發(fā)現(xiàn)呢？課后有興趣的同學(xué)可以自己去探索。

數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)是思維活動，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中逐步積淀。上例中，活動前的預(yù)測，既暴露了學(xué)生的真實思維，又幫助學(xué)生明晰了隨后活動的目的性和必要性；活動后的比較，則是一種分析方法上的引領(lǐng)和審視視角上的指導(dǎo)。學(xué)生在“做”與“思”的結(jié)合中，已有經(jīng)驗不斷被激活，有缺陷的經(jīng)驗逐漸被修正，粗糙的經(jīng)驗漸漸趨于精致，淺層次的經(jīng)驗獲得有效的提升，新生成的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗很自然地嵌入學(xué)生的經(jīng)驗系統(tǒng)中。

四、 交流要及時

經(jīng)驗是屬于個體的，同一數(shù)學(xué)活動由于學(xué)生認(rèn)知、思維方式的不同，不同的學(xué)生會形成不同的經(jīng)驗，這是一個方面；另一方面更為一般的情況是雖然學(xué)生經(jīng)歷了充分的活動，但學(xué)生個體在經(jīng)歷活動過程后所形成的經(jīng)驗往往是零散、膚淺、模糊的。要克服個體數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的局限性，要將這些零散、膚淺的經(jīng)驗清晰化、條理化、結(jié)構(gòu)化，在數(shù)學(xué)活動后，教師就應(yīng)及時給學(xué)生提供一個合作交流的平臺，這樣做既可以讓學(xué)生快樂地分享每一個人獨特的思考與經(jīng)驗，又可以讓個體的活動經(jīng)驗在群體的經(jīng)驗交流中相互補充，相互充實，不斷豐富、發(fā)展。這顯然有利于促進(jìn)學(xué)生對問題的深入理解和深刻感悟，幫助學(xué)生完成經(jīng)驗由低層次到高層次的超越，實現(xiàn)經(jīng)驗的優(yōu)化和內(nèi)化。

請看《梯形的面積》教學(xué)片段——師：探索平行四邊形、三角形的面積計算公式時，同學(xué)們已經(jīng)積累了一定的探索圖形面積的經(jīng)驗，回想一下，都有哪些？生1：把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的。生2：把未知的轉(zhuǎn)化為已知的。師：不錯。今天我們就借助已有的經(jīng)驗來探索梯形的面積。那如何把梯形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形呢？（學(xué)生思考后動手操作，教師提供充分的活動時間）師：現(xiàn)在交流一下你們是怎樣轉(zhuǎn)化的，說說為什么會這樣想。生：我用兩個完全一樣的梯形拼成了一個平行四邊形，因為探究三角形面積時就是這樣轉(zhuǎn)化的。（該同學(xué)的想法得到了大部分同學(xué)的認(rèn)可。）師：你能借助已有的經(jīng)驗并靈活動用，真不錯！其他同學(xué)還有別的方法嗎？生：我是這樣轉(zhuǎn)化的（圖1），我把梯形轉(zhuǎn)化成了一個平行四邊形與一個三角形，因為這兩個圖形的面積我們都學(xué)過了，只要求出這兩個圖形的面積，加起來就是梯形的面積了。師：這方法怎樣？誰來說說想法？生：這個方法不錯，而且與前面轉(zhuǎn)化的方法不一樣，我沒有想到。師：老師也覺得這方法與眾不同，能有自己獨特的想法，往往就是發(fā)明創(chuàng)造的開始。還有其他想法？生：我還有一種方法（圖2）。師：你為什么這樣想？生：因為探究三角形面積計算公式時，就要這樣的做法（圖3）。師：交流使我們的認(rèn)識更全面，更深刻了，那這樣不同方法的背后是否又有什么相同的地方的？同學(xué)們的討論交流在繼續(xù)……

經(jīng)驗的生成來源于彼此間基于思考的交流和實踐。上例教學(xué)的成功恰在于此。上例中，操作活動后，教者為學(xué)生搭建了對話交流的平臺，讓學(xué)生最大限度地去交流理解、體驗感悟，學(xué)生在對話交流中找到了原有經(jīng)驗與新知的聯(lián)系，在比較溝通中達(dá)成了對已有經(jīng)驗的改造、生長和建構(gòu)，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在辨析中去粗取精，不斷豐富、完善和提升。

五、 指導(dǎo)要到位

縱觀當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂，數(shù)學(xué)活動得到了前所未有的重視，但學(xué)生充分地活動是否就是“自由地”活動呢？答案是否定的。這一方面是因為缺少組織、規(guī)劃、引領(lǐng)的數(shù)學(xué)活動，不僅活動本身的效益低下，而且活動經(jīng)驗的積累也往往雜亂低效、無從談起；另一方面，也正如荷蘭數(shù)學(xué)家弗蘭登塔爾所言：“在積極倡導(dǎo)學(xué)生‘再創(chuàng)造（即通過再創(chuàng)造來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)）的同時，我們也應(yīng)清楚地指明這種‘再創(chuàng)造應(yīng)是‘教師指導(dǎo)下的再創(chuàng)造?！碑?dāng)然，這樣的指導(dǎo)顯然不是簡單的越俎代庖，由“幕后”躍居“臺前”。教師應(yīng)該是智慧的挖掘者，方法的指導(dǎo)者，策略的引領(lǐng)者。應(yīng)通過精心設(shè)計的問題，去點燃思維火花，激發(fā)探究欲望，為學(xué)生解疑解惑架設(shè)橋梁、提供階梯。應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生善于深入地思考問題，幫助學(xué)生從復(fù)雜的表面現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)和抓住事物的規(guī)律和本質(zhì)，從而使學(xué)生充分積累“數(shù)學(xué)化”的活動經(jīng)驗。

例如，教學(xué)執(zhí)教《軸對稱圖形》一課，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識“軸對稱圖形”的特征后，教師出示三角形、五邊形、梯形、平行四邊形、圓這五種圖形，讓學(xué)生判斷這些圖形是否是軸對稱圖形。在交流過程中，針對“平行四邊形是不是軸對稱圖形”，課堂上出現(xiàn)了兩種不同的聲音：一種認(rèn)為是軸對稱圖形，理由是從中間畫一條線，可以把平行四邊形分成形狀大小完全一樣的兩個小平行四邊形；另一種認(rèn)為不是，理由是對折之后，兩邊的圖形沒有完全重合。兩種意見僵持不下，各不相讓，這對教師的指導(dǎo)提出了挑戰(zhàn)。值得肯定的是，課中教師并沒有作簡單提醒或直接告訴，而是用“想一想，左右兩邊大小一樣是否就一定對稱？看一個圖形是不是軸對稱圖形，關(guān)鍵看什么？”這兩個問題去啟發(fā)學(xué)生作更為深入的思考，學(xué)生在激烈的認(rèn)知沖突中，在再次深入的思考、爭議、辯論中，逐漸把握了軸對稱圖形概念的關(guān)鍵：“對折”和“完全重合”，學(xué)生對軸對稱圖形的本質(zhì)形成了新的認(rèn)識。有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必定是在新問題情境下運用已有的知識經(jīng)驗來成功處理新信息、新問題的活動，而教師的恰當(dāng)引領(lǐng)則提升了活動的有效性。

六、 反思要跟進(jìn)

比較眾多專家學(xué)者對經(jīng)驗的分析，筆者更為認(rèn)同劉加霞教授的觀點，也即：經(jīng)驗的獲得需要“領(lǐng)悟”與“轉(zhuǎn)化”，通過參與具體活動直接獲得具體經(jīng)驗；然后對所經(jīng)歷的活動進(jìn)行回顧、反思等，內(nèi)化為能夠理解的合乎邏輯的、抽象的經(jīng)驗（最后還要將獲得的經(jīng)驗在解決新問題中進(jìn)行證實和運用）。由此，當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累到一定程度后，教師就要引導(dǎo)學(xué)生在回顧的基礎(chǔ)上進(jìn)行深度反思，這樣一方面可以發(fā)揮經(jīng)驗因素在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的積極作用，另一方面也能使學(xué)生有意識地避免經(jīng)驗因素的消極作用，使積累起來的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?zāi)軌蚋玫貫閷W(xué)生所用，并逐漸建立起屬于他們自己的數(shù)學(xué)直觀，而這正是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的核心和關(guān)鍵所在。

例如，教學(xué)“厘米的認(rèn)識”一課，當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了豐富的動手操作活動獲得了對測量單位的感性認(rèn)識后，某教師這樣引導(dǎo)：“回想一下，剛才我們是怎樣認(rèn)識1厘米的？”學(xué)生紛紛總結(jié)了自己的做法：“我是從米尺上找到1厘米的。”“我的手指甲寬約是1厘米。”“我知道1厘米有這么長（用手比劃）?！薄拔疫€閉起眼睛想1厘米有多長。”“根據(jù)1厘米的長度，我估計數(shù)學(xué)書大約寬18厘米?！薄安挥霉?，測量一下就知道數(shù)學(xué)書的寬度?！薄鎸W(xué)生的具體經(jīng)驗，教師進(jìn)一步引導(dǎo)：“同學(xué)們回想起了學(xué)習(xí)1厘米長度的各種活動，誰能完整地說說我們可通過哪些活動來認(rèn)識厘米？”學(xué)生交流后，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：學(xué)習(xí)1厘米的活動有認(rèn)一認(rèn)（認(rèn)識1厘米有多長）；比一比（比畫1厘米有多長）；找一找（身體上或生活中的1厘米在哪里）；估一估（估測具體物品長有幾厘米）；量一量（測量物體的長度，并和預(yù)估的結(jié)果進(jìn)行比較）。在這里教師十分注重學(xué)生經(jīng)歷1厘米認(rèn)識操作活動后的反思，學(xué)生獲得了建立1厘米概念的清晰的、有條理的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，這為以后學(xué)習(xí)同類或相似知識積累了經(jīng)驗。

倘若活動沒有圍繞本質(zhì)內(nèi)涵進(jìn)行適時的反思和交流，學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗便將失去數(shù)學(xué)意義；如果不能將體驗抽象、提煉為經(jīng)驗，那么，這種經(jīng)歷、體驗將白白喪失其應(yīng)有的價值。經(jīng)歷豐富的數(shù)學(xué)活動后，教師經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生反思以下問題：“剛才我們一起進(jìn)行什么活動？為什么要做這個活動？”“在活動中你獲得了什么？你有哪些困難？又是如何克服的？”“我們是用哪些方法獲得結(jié)論的？這些方法在什么地方還能用到？”“通過學(xué)習(xí)又引發(fā)了你的哪些思考？你能提出哪些新的問題？”……顯然更有利于學(xué)生在理性思辨和內(nèi)省領(lǐng)悟中提升、豐富并積累教學(xué)活動經(jīng)驗。

總之，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的獲得離不開數(shù)學(xué)活動，而數(shù)學(xué)活動的成效則直接影響經(jīng)驗積累的質(zhì)量和層次，在這方面，還需要我們進(jìn)行更多的實踐探索和理性思考。