無(wú)窮區(qū)間上多點(diǎn)邊值問(wèn)題多個(gè)正解的存在性

李夢(mèng)菲（山東協(xié)和學(xué)院，山東 濟(jì)南 250000）

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無(wú)窮區(qū)間上多點(diǎn)邊值問(wèn)題多個(gè)正解的存在性

李夢(mèng)菲
（山東協(xié)和學(xué)院，山東 濟(jì)南 250000）

摘 要：利用Leggett-Williams 不動(dòng)點(diǎn)定理，研究無(wú)窮區(qū)間邊值問(wèn)題.的多個(gè)正解的存在性

關(guān)鍵詞：邊值問(wèn)題；正解；不動(dòng)點(diǎn)

1 引言

在本文中，我們利用Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理討論了問(wèn)題

（H1）p（t）∈C［0,∞）；p（t）＞0,t∈（0,∞）且在［0,∞）任意有界子區(qū)間上可積

（H2）f：［0,∞）×［0,∞）×R→［0,∞）是連續(xù)的

記x（t）=（1+t）y1（t）,x'（t）=y2（t）,f（t,x,x'）=g（t,y1,y2）

2 預(yù)備知識(shí)

引理1 對(duì)任意常數(shù)0＜a*＜b*＜∞都存在0＜c*＜1,使得

我們稱(chēng)一個(gè)泛函α在P上非負(fù)連續(xù)的凹泛函，如果α：P→［0,∞）是連續(xù)的，且對(duì)所有x,y∈P和0≤λ≤1有α（λx+ （1-λ）y）≥λα（x）+（1-λ）α（y）成立.

令0＜a＜b,r＞0為常數(shù)，P和α如上所定義，再定義Pr｛xP|||x||1＜r｝，P（α,a,b）=｛x∈P|a≤α（x）,||x||1≤b｝.

定理1［1］（Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)P是BanachE空間E上的一個(gè)錐.α是P上非負(fù)連續(xù)凹泛函，T：Pc→Pc是全連續(xù)的，假設(shè)存在正數(shù)0＜a＜b＜d≤c使得下列條件成立

（C1）｛x∈P（α,b,d）|α（x）＞b｝≠?,且對(duì)x∈P（α,b,d）有α（Tx）＞b.

（C2）||Tx||1＜a,?||x||1≤a.（C3）?x∈P（α,b,d）滿(mǎn)足||x||1＞d,有α （Tx）＞b.

則 T至少有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn) x1,x2,x3使得||x1||1＜a.b,α（x2）, ||x3||1＞a,且α（x3）＜b.

3 主要結(jié)果

設(shè)P上算子T：

則算子T的不動(dòng)點(diǎn)x（t）就是BVP（1）的解

引理2［2］設(shè)M?Cl（［0,∞）,R）,則M在Cl（［0,∞）,R）中是相對(duì)緊的，當(dāng)且僅當(dāng)（a）M在Cl中一致有界，（b）對(duì)M中任意x（t）在［0,∞）上局部等度連續(xù)，（c）對(duì)M中任意x（t）在t=∞點(diǎn)等度連續(xù)，即?ε＞0,?T＞0,當(dāng)t≥T時(shí)，有|x（t）-x（∞）|＜ε,?x∈M.

引理3 算子T：P→P是連續(xù)的

證明 由f的非負(fù)性知（Tx）（t）≥0,且?x∈P由于（H3）有

所以（Tx）（t）∈E.另外，由引理1可知t∈［a*,b*］時(shí)，對(duì)于?u∈［0,∞）

下證T是連續(xù)的.設(shè)｛x0｝?P,x0∈P,滿(mǎn)足||xn-x0||1→0,（n→∞）.從而?M＞0,s.t||xn||1≤M.由控制收斂定理得

于是||Txn-Tx0||1→0,（n→∞）.T：P→P是連續(xù)的.

引理4 算子T：P→P是緊的

證明 設(shè)Ω?P為任意有界集.從而?M＞0,s.t||x||1≤M, ?x∈Ω.當(dāng)x∈Ω時(shí)根據(jù)（2）（3）式易知T在Ω上是一致有界的.

另一方面?T＞0,若t1,t2∈［0,T］,?x∈Ω由于（H3）,當(dāng)t1→t2時(shí)有

由T的任意性知，T在［0，∞）局部等度連續(xù)的，?x∈Ω, 有

定理2 設(shè)（H1）-（H3）成立,并設(shè)存在常數(shù)0＜2m＜a＜b＜c*c,使得

則BVP（1）至少有三個(gè)正解x1,x2,x3,滿(mǎn)足||x1||1＜a.b＜α（x2）, ||x3||1＞a,且α（x3）＜b

證明 引理3，4知,T：P→P是全連續(xù)的,又由α的定義得，α*（x）≤||x1||1,?x∈P.下面證明定理1中條件都滿(mǎn)足.

由（H）5有g(shù)（t,y1,y2）≥,t∈［a*,b*］,y1∈［a,］,|y2|≤.現(xiàn)取x∈P（α,b,）則b≤≤,x'（t）≤,t∈［a*,b*］.于是

最后驗(yàn)證定理1中條件（C3）成立.假設(shè)x∈P（α,b,c）滿(mǎn)足||Tx||＞.分兩種情況討論.

1

所以α（Tx）≥c*||Tx||0＞c*=b.

2）||Tx||1=||Tx||，則由（H5）得，

參考文獻(xiàn)：

〔1〕Leggett R,Williams L.Multiple positive fixed points of nonlinear operators on ordered banach spaces.Indiana University Math.J.,1979,28：673-688.

〔2〕Corduneanu C.Integral Equation and Stability of Feedback Systems.Academic Press,New York,1973.

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.8

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）05-0001-03

收稿日期：2016-03-24

基金項(xiàng)目：“山東協(xié)和學(xué)院科技計(jì)劃項(xiàng)目”課題（XHXY201506）階段性成果