DEM地形描述誤差的概率分布特征研究

楊燦燦，王　春，江　嶺，鐘文軍

(1.滁州學(xué)院 地理信息與旅游學(xué)院，安徽 滁州 239000;2.滁州學(xué)院 安徽省地理信息集成應(yīng)用協(xié)同創(chuàng)新中心,安徽 滁州 239000)

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DEM地形描述誤差的概率分布特征研究

楊燦燦1，2，王春1，2，江嶺1，2，鐘文軍1，2

(1.滁州學(xué)院 地理信息與旅游學(xué)院，安徽 滁州 239000;2.滁州學(xué)院 安徽省地理信息集成應(yīng)用協(xié)同創(chuàng)新中心,安徽 滁州 239000)

摘要：：以黃土丘陵1:1萬DEM為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，通過稀疏抽點(diǎn)法獲取不同格網(wǎng)點(diǎn)布設(shè)位置下的DEM，進(jìn)而分析不同分辨率DEM中單個(gè)地面點(diǎn)和區(qū)域地形單元的Et概率分布特征。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：對(duì)于任意格網(wǎng)分辨率DEM，無論是不同布設(shè)方案下的單個(gè)地面點(diǎn)，還是區(qū)域地形單元，其Et的概率密度均呈現(xiàn)正態(tài)分布特征。對(duì)于單個(gè)地面點(diǎn)，如果以其為中心的3×3DEM格網(wǎng)單元區(qū)域以凸地形為主，其Et概率密度呈現(xiàn)出右偏正態(tài)分布特征；如果以凹地形為主，則呈現(xiàn)左偏正態(tài)分布特征,其他區(qū)域則呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布特征。

關(guān)鍵詞：DEM;地形描述誤差;概率分布;正態(tài)分布;誤差場(chǎng)

DEM地形描述誤差(簡(jiǎn)稱Et)指在DEM格網(wǎng)點(diǎn)高程采樣誤差忽略不計(jì)的條件下，由DEM離散格網(wǎng)采樣點(diǎn)重構(gòu)的，模擬地形表面與自然地形表面點(diǎn)之間存在的高程偏差[1]。隨著現(xiàn)代高分對(duì)地觀測(cè)技術(shù)的不斷發(fā)展，DEM誤差研究的日益深入，Et已逐步成為影響國(guó)家系列比例尺DEM質(zhì)量的主要因素[1-7]。湯國(guó)安、王光霞等對(duì)地形描述精度進(jìn)行研究，并建立區(qū)域Et中誤差的初步估算模型[8-9]。王耀革、Chen C F、趙牡丹等研究指出Et具有與地形部位顯著相關(guān)的空間結(jié)構(gòu)性分布特征，并與地形因子等密切相關(guān)[10-14]。王春等研究指出，對(duì)于任意已知格網(wǎng)分辨率DEM，其Et的空間分布是一個(gè)圍繞實(shí)際地形上下波動(dòng)且具有特定厚度的誤差殼[15]。據(jù)此可以預(yù)見，對(duì)于任意已知格網(wǎng)分辨率DEM，隨著DEM格網(wǎng)點(diǎn)實(shí)際布設(shè)位置的不同，任意一點(diǎn)在其垂直方向具有無窮多不同大小的Et值，揭示其概率分布特征，有望建立Et等概率面模型，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)顧及Et空間分布特征的DEM數(shù)字地形分析不確定性的推演。鑒于此，本文以黃土丘陵1∶1萬DEM為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，采用重采樣法生成不同格網(wǎng)分辨率DEM，從單點(diǎn)和區(qū)域視角進(jìn)行Et的概率分布研究，剖析其在誤差殼中的概率分布特征，進(jìn)一步完善和發(fā)展DEM誤差分析理論與方法。

1Et數(shù)值解算模型及檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

1.1Et數(shù)值解算模型

假定P的實(shí)際高程為hp，在當(dāng)前格網(wǎng)分辨率DEM中的高程為Hp_i。對(duì)于任意一點(diǎn)P的Eti(i為不同DEM格網(wǎng)布設(shè)方案的編號(hào))值被定義為

(1)

如圖1所示(虛線框?yàn)榘琍點(diǎn)的不同位置DEM的格網(wǎng)線)，假定參考真值DEM的格網(wǎng)分辨率為d，待分析的DEM格網(wǎng)分辨率為kd，對(duì)于任意一地面點(diǎn)P，只要當(dāng)前DEM格網(wǎng)的左下角點(diǎn)位于ABCD實(shí)線矩形框內(nèi)，則地面點(diǎn)P均屬于虛線所示DEM格網(wǎng)單元內(nèi)部的點(diǎn)。顯然，地面點(diǎn)P與實(shí)際DEM格網(wǎng)有著無窮多的位置關(guān)系，其Et值也會(huì)隨著實(shí)際DEM格網(wǎng)點(diǎn)布設(shè)位置的不同而不斷改變，對(duì)此，文獻(xiàn)[16]提出了支持不同DEM布設(shè)方案的Eti計(jì)算模型。

圖1　地面點(diǎn)P與DEM格網(wǎng)間位置關(guān)系

首先，以高分辨率DEM為參考真值，采用抽點(diǎn)法獲得其他分辨率不同位置的DEM數(shù)據(jù)。如圖2所示，在格網(wǎng)分辨率為d的參考真值DEM基礎(chǔ)上，采用抽點(diǎn)法獲得2d格網(wǎng)分辨率的DEM，則總共可有4種格網(wǎng)布設(shè)方法；采用抽點(diǎn)法獲得3d格網(wǎng)分辨率的DEM，則總共可有9種格網(wǎng)布設(shè)方法。以此類推，如果采用抽點(diǎn)法獲得kd格網(wǎng)分辨率的DEM，則總共可有k2種格網(wǎng)布設(shè)方法。然后，采用以4×4 DEM格網(wǎng)單元為搜索圓的完全規(guī)則樣條函數(shù)插值模型，計(jì)算出P點(diǎn)在DEM地形曲面上的高程Hp_i，減去P點(diǎn)在參考真值DEM中的高程hp，完成Eti的解算。

圖2　不同基準(zhǔn)點(diǎn)位置的DEM格網(wǎng)布設(shè)方案示意圖

1.2Et數(shù)值概率分布檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

對(duì)于Et數(shù)值概率分布特征單樣本參數(shù)進(jìn)行的檢驗(yàn)是建立在總體服從一定分布假設(shè)的基礎(chǔ)之上。本文首先假設(shè)Et數(shù)值概率分布特征服從正態(tài)分布，借鑒DEM精度評(píng)定的經(jīng)典方法——等高線套合法，通過數(shù)據(jù)序列構(gòu)成的分布曲線與假設(shè)分布曲線進(jìn)行套合對(duì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪墙y(tǒng)計(jì)學(xué)中的常用方法，亦可驗(yàn)證Et數(shù)值概率密度函數(shù)是否服從正態(tài)分布，進(jìn)而本文利用Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵约癚-Q圖檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

K-S假設(shè)檢驗(yàn)是將一組樣本值的分布和某一指定的理論分布函數(shù)進(jìn)行比較，確定兩者之間的符合程度[17]。假設(shè)樣本Xi來自正態(tài)總體，F(xiàn)(x)表示理論分布的分布函數(shù)，F(xiàn)n(x)表示一組隨機(jī)樣本的累積頻率函數(shù)，D為二者差距的最大值，則有

(2)

當(dāng)實(shí)際觀測(cè)D>D(n,α)，則拒絕假設(shè)；反之則接受其為正態(tài)分布，其中D(n,α)是顯著水平為α，樣本容量為n時(shí)，D的拒絕臨界值。為方便起見，統(tǒng)計(jì)軟件直接輸出在該統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)值下得出的相伴概率P值，并與顯著性水平α作比較，進(jìn)而得出拒絕或是接受假設(shè)的結(jié)論。

若把觀測(cè)數(shù)據(jù)從小到大排列x(1)≤x(2)≤…≤x(n)，則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為

(3)

式中：k為數(shù)據(jù)從小到大排列的序號(hào)。由于理論分布函數(shù)近似等于樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，有

(4)

式(4)中σ表示標(biāo)準(zhǔn)差，μ為期望，若記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的函數(shù)為Φ(x)，則

(5)

故在Oux平面上，有

(6)

2實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

2.1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)樣區(qū)位于陜西省綏德韭園溝，韭園溝地處水土流失嚴(yán)重的陜北黃土高原，地表形態(tài)主要由梁、茆和分割梁茆的溝谷組成，平均坡度28.6°，平均地形起伏度7.49 m，此地區(qū)最低高程為848.697 m，最高高程為1 132.31 m。圖3為實(shí)驗(yàn)區(qū)DEM影像。

圖3　試驗(yàn)區(qū)DEM及采樣點(diǎn)示意圖

本文以實(shí)驗(yàn)區(qū)1∶1萬DEM為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，通過稀疏抽點(diǎn)法獲取不同格網(wǎng)布設(shè)位置且格網(wǎng)分辨率分別為5 m，15 m，25 m，35 m，…,125 m的DEM數(shù)據(jù)，進(jìn)而通過Et值解算模型分別獲取其Et值信息，其中5 m為參考真值。

2.2單地面點(diǎn)Et數(shù)值變化特征

在研究區(qū)域中隨機(jī)選擇54個(gè)地面采樣點(diǎn)(如圖3所示)，以25 m DEM為例通過上文布設(shè)方案得到每一個(gè)地面采樣點(diǎn)在25種格網(wǎng)位置關(guān)系下的地形描述誤差Eti值，并對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖4所示(此處只選6點(diǎn)進(jìn)行展示)。圖中曲線為Et概率密度函數(shù)曲線，橫軸表示Et值，縱軸表示概率密度，即對(duì)應(yīng)橫軸值得到的Et概率密度函數(shù)值。

Et概率密度函數(shù)曲線圖顯示單點(diǎn)在不同布設(shè)方案下的Et值統(tǒng)計(jì)特征近似服從正態(tài)分布。本文假設(shè)此系列Et值服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，繼而以1號(hào)采樣點(diǎn)為例通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線套合法以及SPSS統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)法分別對(duì)此假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。

1)曲線套合法：對(duì)任意一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的25個(gè)Et值求期望和方差，畫出正態(tài)概率密度函數(shù)曲線并與此點(diǎn)的概率密度函數(shù)曲線進(jìn)行套合。實(shí)驗(yàn)證明，兩條曲線趨勢(shì)相同(如圖5(a)所示)，且在波動(dòng)允許的范圍內(nèi)可用同一函數(shù)進(jìn)行描述，即此組數(shù)據(jù)近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

2)K-S檢驗(yàn)：在SPSS中，利用非參數(shù)檢驗(yàn)K-S方法得出相伴概率值P，并與顯著性水平0.05進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明P值為0.773大于0.05，D為0.132，查表可得D(n,α)=0.264，D

3)Q-Q圖檢驗(yàn)：依據(jù)Q-Q圖檢驗(yàn)方法，以樣本的分位數(shù)作為橫坐標(biāo)，以按照正態(tài)分布計(jì)算的相應(yīng)分位點(diǎn)作為縱坐標(biāo)，在上述平面坐標(biāo)系中做散點(diǎn)圖，經(jīng)實(shí)驗(yàn)樣本點(diǎn)成圍繞第一象限對(duì)角線的直線分布，說明此數(shù)據(jù)服近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Q-Q圖如圖5(b)所示。

圖4　Et分布概率密度曲線

圖5　單地面點(diǎn)Et值服從正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)規(guī)律的檢驗(yàn)

在進(jìn)行凸地形為主的5號(hào)點(diǎn)和以下凹地形為主的6號(hào)點(diǎn)進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)5號(hào)點(diǎn)的P值為0.663大于0.05，D值為0.146小于D(n,α)，偏度系數(shù)Skewness為0.944大于0且偏度較大，說明此數(shù)據(jù)為正態(tài)分布呈右偏狀態(tài)。6號(hào)點(diǎn)中，偏度系數(shù)為-0.503小于0，說明此組數(shù)據(jù)服從左偏態(tài)分布。具體分析則會(huì)發(fā)現(xiàn)，以地面點(diǎn)為中心的3×3 DEM格網(wǎng)分辨率下，若以上凸地形為主，地面起伏較大時(shí)，格網(wǎng)間隔大于凸起地形的一半，或者是格網(wǎng)間隔恰巧包含了地形凸起部分，則會(huì)使DEM的描述值小于真實(shí)地形的高程，從而使地形描述誤差絕對(duì)值較大且Et值表現(xiàn)為右偏態(tài)；同樣，在下凹地形中，DEM格網(wǎng)間隔大于地形中兩高峰之間的距離，或者下凹地形長(zhǎng)度恰為格網(wǎng)間隔，則會(huì)使概率密度曲線表現(xiàn)為朝向偏左的偏態(tài)分布。

利用同一方法，對(duì)其余地面采樣點(diǎn)進(jìn)行正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)，結(jié)果表明實(shí)驗(yàn)區(qū)內(nèi)任意單一地面點(diǎn)在不同布設(shè)方案下的Et值，以其為中心的3×3 DEM格網(wǎng)分辨率區(qū)域以上凸地形為主，其Et概率密度呈現(xiàn)出右偏正態(tài)分布特征；如果以下凹地形為主，則呈現(xiàn)出左偏正態(tài)分布特征；其他區(qū)域則呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布特征。

2.3區(qū)域地形單元Et概率變化特征

單點(diǎn)Et數(shù)值的變化特征能夠?yàn)榈雀怕拭娴臉?gòu)建提供前提和基礎(chǔ)，但是還需從整體上研究區(qū)域地形單元Et概率變化特征，從而科學(xué)有效的進(jìn)行Et誤差傳播和不確定性應(yīng)用研究。本文以5 m、15 m格網(wǎng)分辨率為例進(jìn)行區(qū)域地形單元的Et概率變化特征的分析。

圖6(a)為格網(wǎng)分辨率15 mDEM中區(qū)域地形單元的Et數(shù)值統(tǒng)計(jì)直方圖，通過目視可以看出Et的統(tǒng)計(jì)規(guī)律近似服從正態(tài)分布，由統(tǒng)計(jì)指標(biāo)偏度系數(shù)為0.344，圖6(b)Q-Q圖中各點(diǎn)表現(xiàn)為圍繞對(duì)角線近似直線分布，此數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)特征。利用此方法分別對(duì)不同布設(shè)方案下的Et值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明在15 m格網(wǎng)分辨率下，區(qū)域單元地形描述誤差的期望和標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)因布設(shè)方案的不同略微變動(dòng)，但是整體的地形描述誤差服從正態(tài)分布，而且可以用期望為-0.02，方差為11.916 7的概率密度函數(shù)來描述。不同布設(shè)方案下區(qū)域單元Et值的概率密度曲線疊加情況見圖6(c)，其中±0.18以及±0.06分別表示期望和方差的波動(dòng)范圍。

圖6　區(qū)域單元Et值服從正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)規(guī)律的檢驗(yàn)

選取5 m DEM，利用相同的方法對(duì)研究區(qū)域內(nèi)Et值進(jìn)行分析，結(jié)果如圖6(d)所示。此圖說明5 m格網(wǎng)分辨率下，期望和方差也會(huì)因布設(shè)方案的不同而有所變化，期望的變化范圍為±0.02以及±0.013，區(qū)域地形單元Et數(shù)值的變化特征可近似用期望為-0.108 8，方差為2.142 2的概率密度函數(shù)表示。利用相同的方法對(duì)其他任意格網(wǎng)分辨率下的區(qū)域地形單元Et數(shù)值進(jìn)行分析，結(jié)果表明，區(qū)域地形單元Et的概率密度均呈現(xiàn)理想的正態(tài)分布特征。

3結(jié)束語

基于Et解算模型，獲取了任一地面點(diǎn)在不同格網(wǎng)分辨率及不同格網(wǎng)位置下的Et值，在此基礎(chǔ)上分別對(duì)單點(diǎn)和區(qū)域單元的Et值進(jìn)行概率分布及數(shù)值變化特征分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：對(duì)于任意確定格網(wǎng)分辨率的DEM，無論是單點(diǎn)Et值，還是區(qū)域單元的Et值，均近似服從正態(tài)分布；同時(shí)在以當(dāng)前地面點(diǎn)為中心的3×3 DEM格網(wǎng)分辨率范圍內(nèi)，當(dāng)其地表曲面呈現(xiàn)顯著的以凸地形為主(或以下凹地形)為主時(shí)，Et值的概率分布曲線也會(huì)在出現(xiàn)一定的右偏態(tài)(或左偏態(tài))的現(xiàn)象，其余皆服從正態(tài)分布。

依據(jù)Et值正態(tài)分布特點(diǎn)，由1σ，2σ，3σ，……不同倍率的Et標(biāo)準(zhǔn)差，構(gòu)建Et誤差殼等概率面模型，將為實(shí)現(xiàn)顧及Et空間場(chǎng)分布特征的DEM數(shù)字地形分析誤差傳播推演奠定基礎(chǔ)。然而，要實(shí)現(xiàn)完整意義的上述誤差傳播推演，還需在等概率面基礎(chǔ)上研究揭示Et值在橫向空間相關(guān)性特征，即各格網(wǎng)單元Et值與其相鄰格網(wǎng)單元Et值之間的空間相關(guān)關(guān)系。

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[責(zé)任編輯：李銘娜]

DOI:10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.08.005

收稿日期：2015-09-07

基金項(xiàng)目：安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1408085MD77);教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(212078);安徽省高校自然科學(xué)研究一般項(xiàng)目(KJ2015B13);滁州學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目(2014KJ02)

作者簡(jiǎn)介：楊燦燦(1988-)女，碩士，助教.

中圖分類號(hào)：P208

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1006-7949(2016)08-0019-05

Probability distribution characteristics of DEM terrainrepresentation error

YANG Cancan1,2, WANG Chun1,2, JIANG Ling1,2，ZHONG Wenjun1,2

(1.Geographic Znformation and Tovrism College,Chuzhou University,Chuzhou 239000,China;2.Anhui Center for Collaborative Innovation in Geographical Information Integration and Application, Chuzhou University, Chuzhou 239000, China)

Abstract：Taking a 1∶10 000 DEM of loess hill as the source data, this paper analyzes the probability distribution characteristics of Et for individual points and regional terrain units via getting DEMs with different layout schemes through sparse resampling technique. Experimental results show that:for any resolution of DEM, the probability density of Et appears in the characteristics of a normal distribution, no matter it is gotten from individual points or regional terrain units;for a single ground point, if located in an area corresponding to 3×3 grid cells with this point as the center and this area has mainly a convex terrain on the earth, the probability density of Et shows a right skewed normal distribution. If this area corresponds mainly to a concave surface, the probability density of Et shows a left skewed normal distribution, and it shows a standard normal distribution for the area with other surface forms.

Key words：DEM; terrain representation error; probability distribution; normal distribution; error field