P∞－內(nèi)射模及其刻畫

謝 晉，王芳貴，胡 晴

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

P∞－內(nèi)射模及其刻畫

謝 晉，王芳貴*，胡 晴

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

設(shè)R是任何環(huán)，模D稱為P∞－內(nèi)射模，是指對(duì)任何投射維數(shù)有限的模P，有．證明了(P∞，D∞)構(gòu)成一個(gè)余撓理論當(dāng)且僅當(dāng)l．FPD(R)＜∞，其中P∞表示投射維數(shù)有限的模類，D∞表示P∞－內(nèi)射模類;還證明了若l．gl．dim(R)＜∞，則每個(gè)P∞－內(nèi)射模是內(nèi)射模;最后證明了每個(gè)R－模是P∞－內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)l．FPD(R)=0．

投射維數(shù);P∞－內(nèi)射模;余撓理論;環(huán)的finitistic維數(shù)

本文恒設(shè)R是有單位元的結(jié)合環(huán)，所有的模均指左R－模，用RM表示所有左R－模所構(gòu)成的模類，pdRM表示模M的投射維數(shù)，gl．dim(R)表示環(huán)R的整體維數(shù)，P∞表示投射維數(shù)有限的模類，F(xiàn)∞表示平坦維數(shù)有限的模類．

余撓模作為刻畫非有限Abel群的有力工具，由D．K．Harrision［1］引入．R－模C稱為余撓模，是指對(duì)一切平坦模F，都有．之后，眾多專家學(xué)者對(duì)余撓模進(jìn)行了研究［2－6］．尤其是J．Z．Xu［2］系統(tǒng)地刻畫了余撓模的相關(guān)性質(zhì)，證明了平坦模類F與余撓模類C構(gòu)成一個(gè)余撓理論(F，C)，并進(jìn)一步證明了每個(gè)R－模是余撓模當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R是左完全環(huán)．L．Bican等在文獻(xiàn)［3］中證明了(F，C)是一個(gè)完全的余撓理論．

S．B．Lee［7］引入了弱內(nèi)射模的概念．模W稱為弱內(nèi)射模，是指對(duì)任意平坦維數(shù)不超過1的模M，有

E．E．Enochs等在文獻(xiàn)［8］中引入了n－余撓模的概念，這是一類較弱內(nèi)射模更廣的模類．模H稱為n－余撓模，是指對(duì)任意平坦維數(shù)不超過n的模M，有．Mao等在文獻(xiàn)［9］中也提到n－余撓模的概念，但兩者是不一致的．而熊濤［10］在文獻(xiàn)［8］意義下的n－余撓模作了更詳細(xì)地討論．

J．Z．Xu在文獻(xiàn)［2］中引入了強(qiáng)余撓模．R－模L稱為強(qiáng)余撓模，是指對(duì)任何平坦維數(shù)有限的模M，都有．Bennis等在文獻(xiàn)［11］中證明了若R是交換環(huán)，則每一R－模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)R是完全環(huán)．胡晴等［12］在一般的非交換環(huán)上討論了強(qiáng)余撓模的性質(zhì)，證明了每一R－模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)R是左完全環(huán)，且l．FFD(R)=0．

文獻(xiàn)［13］引入了Pn－內(nèi)射模的概念，這是n－余撓模的推廣，模D稱為Pn－內(nèi)射模，是指對(duì)任何投射維數(shù)不超過n的模P，有．本文在這些研究的基礎(chǔ)上，引入了P∞－內(nèi)射模的概念，它是作為強(qiáng)余撓模的推廣和Pn－內(nèi)射模的加強(qiáng)，還討論了P∞－內(nèi)射模的性質(zhì)，證明了每個(gè)R－模是P∞－內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)

1 P∞－內(nèi)射模

定義1．1 設(shè)R是任何環(huán)，D是R－模．如果對(duì)任意投射維數(shù)有限的模P，有，則稱D是P∞－內(nèi)射模．

下面用P∞表示投射維數(shù)有限的模類，D∞表示P∞－內(nèi)射模所構(gòu)成的模類．

例1．2 下面的事實(shí)是顯然的．

1)內(nèi)射模是P∞－內(nèi)射模;

2)對(duì)任何整數(shù)n≥0，P∞－內(nèi)射模是Pn－內(nèi)射模;

3)設(shè)R是整環(huán)，D是P∞－內(nèi)射模．對(duì)a∈R，a≠0，由于，知D是可除模;

4)設(shè){Di}是一簇R－模，則∏Di∈D∞當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Di∈D∞;

命題1．3 對(duì)R－模D，下面的陳述是等價(jià)的: 1)D是P∞－內(nèi)射模;

2)對(duì)任何模M∈P∞，以及任何整數(shù)k≥1，有

3)任何正合列0→D→B→C→0，其中pdRC＜∞，是分裂的;

4)若0→A→B→C→0是正合列，其中pdRC＜∞，則序列

也是正合的．

證明 1)?3)?4)和2)?1)是顯然的．

1)?2) k=1的情形顯然成立．現(xiàn)假設(shè)k＞1．設(shè)M∈P∞，則有正合列:0→A→P→M→0，其中P是投射模．故有．顯然有pdRA=pdRM－1＜∞．故對(duì)k使用歸納法有

命題1．4 設(shè)0→A→B→C→0是正合列，則:

1)如果C∈P∞，則A∈P∞當(dāng)且僅當(dāng)B∈P∞;

2)如果A∈D∞，則B∈D∞當(dāng)且僅當(dāng)C∈D∞;

證明 顯然．

設(shè)M是R－模，

是M的投射分解．令K0=M，K1=ker(P0→M)，對(duì)n≥2，令Kn:=ker(Pn－1→Pn－2)．Kn稱為M的第n個(gè)合沖．

對(duì)應(yīng)地，設(shè)N是R－模，

是N的內(nèi)射分解．令 L0=N，對(duì) n≥1，令 Ln:= Im(En－1→En)．Ln稱為N的第n個(gè)上合沖．

定理1．5 設(shè)D是P∞－內(nèi)射模．則D的任何上合沖是P∞－內(nèi)射模．

證明 設(shè)W是D的第m個(gè)上合沖(m≥0)，則有正合列

其中E0，E1，…，Em是內(nèi)射模．對(duì)任何M∈P∞，設(shè)Km是M的第m個(gè)合沖，則pdRKm＜∞．故．從而有W是 P∞－內(nèi)射模．

易知每個(gè)內(nèi)射模都是P∞－內(nèi)射模，下面給出P∞－內(nèi)射模是內(nèi)射模的一個(gè)充分條件．

定理1．6 設(shè)D是P∞－內(nèi)射模．若pdRD＜∞，且pdRE(D)＜∞，其中E(D)是模D的內(nèi)射包，則D是內(nèi)射模．

證明 考慮正合列0→D→E(D)→C→0，由條件有pdRC≤max{pdRD，pdRE(D)}+1＜∞，則由命題1．3，此正合列分裂，因此D是內(nèi)射模．

推論1．7 若l．gl．dim(R)＜∞，則每個(gè)P∞－內(nèi)射模都是內(nèi)射模．

證明 設(shè)W是P∞－內(nèi)射模，M是任意R－模，由假設(shè)，pdRM＜∞，從而有，故W是內(nèi)射模．

2 模類P∞與模類D∞

設(shè)A，B是2個(gè)左R－模類．記

A⊥={B∈RM|對(duì)任何A∈A，

以及

⊥B={A∈RM|對(duì)任何B∈B，

回顧左R－模類對(duì)(A，B)稱為一個(gè)余撓理論，是指A⊥=B，且⊥B=A．

設(shè)(A，B)是一個(gè)余撓理論．如果對(duì)正合列0→A→B→C→0，由B，C∈A能推出A∈A，則稱(A，B)是遺傳的余撓理論;等價(jià)地，對(duì)正合列0→A→B→C→0，由A，B∈B能推出C∈B．(A，B)稱為完全的余撓理論，是指每個(gè)模都有一個(gè)A蓋．等價(jià)地，每個(gè)模都有一個(gè) B包，則由定義1．1可知，D∞=．下面來證明一般地有(P∞，D∞)不構(gòu)成余撓理論．

命題2．1 P∞=

證明 這是顯然的．

設(shè)R是環(huán)，H．Bass［14］引入了環(huán)R的左finitistic維數(shù):

M是R－模，且pdRM ＜∞}．

命題2．2 若FPD(R)=∞，則存在R－模M，使得pdRM=∞，但對(duì)任何D∈D∞，有=0．

證明 由條件FPD(R)=∞，有對(duì)任何正整數(shù)n，存在R－模Mn，使得pdRMn=n．令，則pdRM=sup{pdRMn}=∞．由于對(duì)任何D∈D∞，有，因此有

3)?4) 這是平凡的．

4)?1) 設(shè)M是R－模，pdRM＜∞，則對(duì)任何D∈Dn，由條件，D是P∞－內(nèi)射模，故0．由引理2．4知，pdRM≤n．于是有FPD(R)≤n＜∞．

2)+3)?(5) 由文獻(xiàn)［13］知，(Pn，Dn)構(gòu)成一個(gè)余撓理論．

推論2．3 若FPD(R)=∞，則(P∞，D∞)不構(gòu)成余撓理論．

下面將證明在FPD(R)＜∞的條件下，(P∞，D∞)構(gòu)成一個(gè)余撓理論．并且由命題1．4可知，這時(shí)，(P∞，D∞)還構(gòu)成一個(gè)遺傳的余撓理論．為此，需要下面的引理．

引理2．4 設(shè) n是自然數(shù)，M、D是 R－模，則有:

1)M∈Pn當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何D∈Dn，D)=0;

2)D∈Dn當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何M∈Pn，D)=0．

證明 由文獻(xiàn)［13］(Pn，Dn)構(gòu)成一個(gè)遺傳的余撓理論可得證．

定理2．5 對(duì)環(huán)R，以下各條等價(jià):

1)FPD(R)＜∞;

2)存在自然數(shù)n，使得Pn=P∞;

3)存在自然數(shù)n，使得Dn=D∞;

4)存在自然數(shù)n，使得每一Pn－內(nèi)射模是P∞－內(nèi)射模;

5)(P∞，D∞)構(gòu)成余撓理論．

證明 1)?2) 設(shè)FPD(R)=n，則當(dāng)pdRM＜∞時(shí)，就有pdRM≤n．由此得到Pn=P∞．

2)?3) 顯然，這是因?yàn)?/p>

5)?1) 由推論2．3知FPD(R)=∞是矛盾的，故FPD(R)＜∞．

對(duì)定理2．5的證明作適當(dāng)變更，容易得到下一個(gè)定理．

定理2．6 設(shè)n是自然數(shù)．對(duì)環(huán)R，以下各條等價(jià):

1)FPD(R)≤n;

2)Pn=P∞;

3)Dn=D∞;

4)每一Pn－內(nèi)射模是P∞－內(nèi)射模．

推論2．7 若FPD(R)=∞，則對(duì)任意自然數(shù)n，存在一個(gè)Pn－內(nèi)射模不是P∞－內(nèi)射模．

證明 由FPD(R)=∞ ＞n及定理2．6即可得證．

上面的推論告訴Pn－內(nèi)射模不一定是P∞－內(nèi)射模．例如，取R為域，向R上添加可數(shù)無限多個(gè)未定元x1，x2，…，xn，…，可得環(huán)R1=R［x1，x2，…，xn，…］，則FPD(R1)=∞．從而對(duì)任意自然數(shù)n，存在一個(gè)Pn－內(nèi)射模不是P∞－內(nèi)射模．

當(dāng)R是非交換環(huán)時(shí)，H．Bass在文獻(xiàn)［14］中指出左完全環(huán)與l．FPD(R)=0是不一致的．文獻(xiàn)［13］給出了滿足l．FPD(R)=0的環(huán)R的一個(gè)刻畫: l．FPD(R)=0當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)模是Pn－內(nèi)射模．下面將給出滿足l．FPD(R)=0的環(huán)R的另一刻畫．

定理2．8 對(duì)環(huán)R，以下各條等價(jià):

1)每個(gè)模都是P∞－內(nèi)射模;

2)若M∈P∞，則M是投射模;

3)l．FPD(R)=0．

證明 1)?2) 設(shè)N是任何R－模．由假設(shè)，N是P∞－內(nèi)射模，故有．因此，M是投射模．

2)?3) 證明是顯然的．

3)?1) 由定理2．6即可得．

當(dāng)R是交換環(huán)時(shí)，由文獻(xiàn)［15］知R是完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)FPD(R)=0，則有以下推論．

推論2．9 交換環(huán)R是完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)R－模都是P∞－內(nèi)射模．

下面的例子證明 P∞－內(nèi)射模不一定是內(nèi)射模．

例1．8 設(shè)R是交換QF環(huán)，但非半單環(huán):例R =Z4，則R為完全環(huán)，故FPD(R)=0．所以對(duì)任意R－模M，M是P∞－內(nèi)射模．由于R非半單環(huán)，所以并非每個(gè)R－模是內(nèi)射模．因此，對(duì)這樣的R，存在R－模N為P∞－內(nèi)射模，但N非內(nèi)射模．事實(shí)上，設(shè)N為R－模，pdRN=∞，則N非投射模，從而非內(nèi)射模．

致謝 四川師范大學(xué)研究生優(yōu)秀論文培育基金(201554)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意．

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The Characterizations on P∞-injective Modules

XIE Jin，WANG Fanggui，HU Qing

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring．An R-module D is called a P∞-injective module iffor any R-module P with finite projective dimension．In this paper，we prove that(P∞，D∞)is a Cotorsion theory if and only if l．FPD(R)＜∞，where P∞is the class of all R-modules with finite projective dimension，and D∞is the class of all P∞-injective modules．It is also shown that if l．gl．dim(R)＜∞，then every P∞-injective module is injective．Finally，we prove that every R-module is P∞-injective module if and only if l．FPD(R)=0．

projective dimension;P∞-injective module;Cotorsion theory;finitistic dimension

O154

A

1001－8395(2016)04－0475－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．002

(編輯 周 俊)

2015－04－27

國家自然科學(xué)基金(11171240)

*通信作者簡介:王芳貴(1955—)，男，教授，主要從事交換代數(shù)、同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K－理論的研究，E－mail:wangfg2004@163．com

2010 MSC:16D50;16E30