影子變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型及視頻信息的確定

楊坤++鄭繼明++劉慧鵬++肖敏

摘 要：通過分析被攝物體的太陽影子變化規(guī)律，建立非線性模型，確定視頻拍攝地點(diǎn)和日期信息。采用多項(xiàng)式擬合確定當(dāng)?shù)爻霈F(xiàn)影長(zhǎng)最短的時(shí)刻，并通過與北京時(shí)間比較，求得被攝物體所處經(jīng)度；利用影子頂點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)給出太陽方位角和影子長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律，并反解出被攝物體所處緯度和拍攝日期。實(shí)例表明，在參照物體尺寸未知的情況下，該方法也能實(shí)現(xiàn)拍攝信息的提取。

關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式擬合；影子長(zhǎng)度；太陽方位角；非線性模型

中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2016.14.009

在智能手機(jī)等電子產(chǎn)品普及的今天，拍攝視頻已經(jīng)不是少數(shù)專業(yè)人員的工作。在生活中，人們喜歡拿起手中的手機(jī)記錄下一段視頻。一般情況下，使用手機(jī)等電子產(chǎn)品拍攝的視頻會(huì)根據(jù)手機(jī)的定位功能和時(shí)間記錄下視頻拍攝的地點(diǎn)和日期。但是在實(shí)際生活中，視頻在傳播過程經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)拍攝信息不同程度丟失的情況。與此同時(shí)，在分析視頻數(shù)據(jù)時(shí)，拍攝信息的有無直接影響視頻數(shù)據(jù)分析的結(jié)果。目前，對(duì)于傳統(tǒng)拍攝信息的確定，有一些比較成熟的方法，比如文獻(xiàn)主要利用網(wǎng)絡(luò)攝像機(jī)拍攝目標(biāo)圖像，多傳感器采集目標(biāo)數(shù)據(jù)，經(jīng)過處理后送入攝像機(jī)進(jìn)行三維定位運(yùn)算，從而獲得地址信息的方法。然而，該方法需要大量的傳感器來采集數(shù)據(jù)，對(duì)于已經(jīng)拍攝好且失去了拍攝信息的視頻來說，顯然不適用。目前，很多視頻拍攝設(shè)備都內(nèi)置了世界主要的幾種衛(wèi)星定位模塊，但是該模塊記錄的信息在實(shí)際的視頻傳播中很容易丟失或者被人為地刪除。要恢復(fù)丟失的拍攝信息，需要具備較高的技術(shù)水平。因此，根據(jù)視頻中已有的信息來獲得拍攝地點(diǎn)和日期等信息，對(duì)于解決拍攝信息不同程度丟失的問題具有一定的應(yīng)用價(jià)值。本文運(yùn)用太陽影子定位技術(shù)，通過分析視頻中被攝物體的太陽影子變化規(guī)律，給出一種確定視頻拍攝地點(diǎn)和日期的方法，在一定精度范圍內(nèi)恢復(fù)結(jié)果較為理想。

1 模型的準(zhǔn)備

為分析被攝物體的太陽影子變化規(guī)律，先給出建模的一些假設(shè)：①在一天內(nèi)，太陽直射地球的緯度保持不變，即赤緯角保持不變；②閏年對(duì)赤緯角沒有影；③太陽直射在地球上的光都是平行光；④忽略極端天氣對(duì)太陽方位角的影響；⑤一般情況下，鏡頭所在平面與被攝物體平行。

為計(jì)算物體影子長(zhǎng)度，記ts為太陽時(shí)（單位為h），n為日期序號(hào)，并設(shè)n=1表示1月1日，n=365表示12月31日，則時(shí)角ω和赤緯角δ的計(jì)算公式分別為：

太陽高度角α是以太陽為幾何中心的視盤面與理想地平線的夾角。下面設(shè)被攝物體的長(zhǎng)度和影子長(zhǎng)度分別為H和L，且物體所處的緯度為φ，則太陽高度角的正弦可近似表示為：

由式（3）知，如果已知太陽高度角α ，則根據(jù)

2 模型的建立與求解

2.1 影子頂點(diǎn)視頻中坐標(biāo)與世界坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換

對(duì)于視頻數(shù)據(jù)，由于經(jīng)過相機(jī)的成像變形，因此不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為視頻中的影子長(zhǎng)度與實(shí)際影子的長(zhǎng)度有比例關(guān)系。建立Q1-xyz的世界坐標(biāo)，如圖2所示。設(shè)攝像機(jī)的光心坐標(biāo)為O（p，q，r），則視線方向 （-p，-q，O），其中，Q3（O，O，r）為鏡頭沿著視線方向?qū)?yīng)被攝物體上的點(diǎn)。

圖2 相機(jī)成像示意圖

我們假設(shè)k為被攝物體真實(shí)長(zhǎng)度與像長(zhǎng)的比值，即物像比，則：

. （5）

根據(jù)三角形相似定理，可得到像平面的點(diǎn)法式方程為：

. （6）

由于Pi，O，Pi'三點(diǎn)共線，且從鏡頭沿著視線反方向?qū)?yīng)于像平面被攝物體上的點(diǎn)Q3'（a，b，r）在像平面上，因此，由式（5）和（6）可得：

于是，被攝物體在t時(shí)刻的影子長(zhǎng)度為：

2.2 經(jīng)度、緯度和日期求解模型

2.2.1 經(jīng)度求解模型

生活經(jīng)驗(yàn)和研究數(shù)據(jù)表明，在一天內(nèi)，影子長(zhǎng)度關(guān)于當(dāng)?shù)貢r(shí)間的變化曲線呈現(xiàn)“上午和下午影子長(zhǎng)度在對(duì)稱時(shí)刻是相等的”，滿足開口向上的一元二次函數(shù)圖像的特征。因此，可以根據(jù)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。根據(jù)多項(xiàng)式曲線擬合原理，求解出關(guān)于影長(zhǎng)和時(shí)間的擬合函數(shù)為：

其中，a>0，b，c均為常數(shù)。由式（10）可知，被攝物體

的影子在 時(shí)的影長(zhǎng)最短。

假設(shè)某地被攝物體影長(zhǎng)最短的時(shí)刻出現(xiàn)在當(dāng)?shù)貢r(shí)間正午12：00，物體所處的經(jīng)度為φ，根據(jù)當(dāng)?shù)貢r(shí)間和北京時(shí)間tsb（東經(jīng)120°時(shí)間），則可以得到經(jīng)度為：

2.2.2 緯度和日期求解模型

根據(jù)式（4）影子長(zhǎng)度與各個(gè)參數(shù)關(guān)系的模型可知，要求得影子的長(zhǎng)度，必須知道被攝物體的長(zhǎng)度。因此，需要在被攝物體長(zhǎng)度未知的情況下，建立一個(gè)與被攝物體長(zhǎng)度無關(guān)的模型。為此，在式（4）的基礎(chǔ)上采用了不同時(shí)刻影長(zhǎng)兩兩相比的方式，避開了被攝物體長(zhǎng)度對(duì)模型求解的影響。具體做法如下。

根據(jù)式（4）影子長(zhǎng)度與各個(gè)參數(shù)關(guān)系的模型，在t1，t2時(shí)刻的影長(zhǎng)分別為：

式（14）與被攝物體的長(zhǎng)度無關(guān)。

下面利用太陽方位角來確定緯度和日期。設(shè)太陽方位角為A，則 .于是，在t′=t1-t2的時(shí)間段中，太陽方位角的增量可以表示為：

同時(shí)，在坐標(biāo)系中oxyz中，如果已知t1，t2時(shí)刻影子頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（Xt1，Yt1）和（Xt2，Yt2），則由圖3可得：

式（15）和（17）給出了在t′時(shí)間段中太陽方位角增量ΔA的兩種計(jì)算方法。在實(shí)際計(jì)算過程中，由于t′的時(shí)間段中太陽方位角增量ΔA的實(shí)際值與理論值存在一定的偏差，因此不能用ΔA根據(jù)坐標(biāo)求解得到的實(shí)際值代替理論值，需要再帶回式（15）中反解出緯度和日期。本文根據(jù)實(shí)際情況，建立ΔA的實(shí)際值與理論值的相對(duì)誤差最小模型，再利用式（15）反解出緯度和日期，具體解法如下。

根據(jù)式（15）和（17），對(duì)ΔA的實(shí)際值和理論值做差，并取絕對(duì)值的平方，得到的目標(biāo)函數(shù)為：

再結(jié)合式（1）（2）（3）和（14），可以得到緯度φ和日期n應(yīng)滿足的約束條件，并可以建立以下非線性優(yōu)化模型：

模型（19）的求解方法如下：①取任意時(shí)刻t1，t2，根據(jù)圖2計(jì)算出L t1，L t2，L t′及ωt1，ωt2；②將所得計(jì)算數(shù)據(jù)代入模型（19）的目標(biāo)函數(shù)和約束條件中，得到只含變量φ和n的優(yōu)化問題；③由于存在日期關(guān)于夏至、冬至日對(duì)稱而引起的多解，因此根據(jù)夏至日（n=173）、冬至日（n=365）將n的取值范圍分為兩段，再根據(jù)文獻(xiàn)[5]和[6]的思想，利用LINGO軟件編程求解，分別得到目標(biāo)函數(shù)值最小時(shí)φ和n的取值；④對(duì)多組數(shù)據(jù)，重復(fù)上述步驟，對(duì)合理的值取平均值后得到最后結(jié)果。

注：根據(jù)地球公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，太陽的直射緯度在南北回歸線之間，無論是在北半球，還是在南半球，在一年中，同一地點(diǎn)被攝物體影子出現(xiàn)相同運(yùn)動(dòng)規(guī)律一定會(huì)出現(xiàn)兩次，且這兩次的日期關(guān)于夏至日或者冬至日對(duì)稱。因此，求解的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)由于日期關(guān)于夏至、冬至日對(duì)稱而引起多種拍攝日期與地點(diǎn)組合的可能結(jié)果。

3 實(shí)例應(yīng)用

根據(jù)2015年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題的附件4視頻數(shù)據(jù)，應(yīng)用本文提出的方法確定視頻拍攝地點(diǎn)和日期信息。先建立以一條過被攝物體且平行鏡頭平面的直線為x軸，以垂直于x軸背對(duì)鏡頭方向的直線為y軸的坐標(biāo)系，如圖4所示。

再運(yùn)用MATLAB軟件的VideoReader函數(shù)，對(duì)視頻每隔4 min提取一幀，求解得到不同時(shí)段的影子端點(diǎn)的像坐標(biāo)。根據(jù)（7）（8）和（9）式可以求得視頻時(shí)間換算與端點(diǎn)影長(zhǎng)的關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1所示。

對(duì)表1中的數(shù)據(jù)運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，再利用式（11）求得該拍攝地點(diǎn)的經(jīng)度為東經(jīng)114°29'10"。最后根據(jù)2.2.2節(jié)中的求解方法，對(duì)式（19）利用LINGO軟件編程求解，得到視頻拍攝地點(diǎn)的緯度為北緯26°44'9"，拍攝日期為7月15日或5月29日。

4 結(jié)束語

根據(jù)被攝物體影子一天中隨時(shí)間的變化可以得到該影子測(cè)量點(diǎn)的地理位置信息，這對(duì)當(dāng)前比較熱門的研究課題——影子定位技術(shù)有很好的利用價(jià)值。利用相機(jī)小孔成像的知識(shí)，從一段含有影子軌跡的視頻中讀取出視頻拍攝的日期和地理位置，為利用太陽影子定位技術(shù)提供可行的理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)

[1]邵撼薪.基于Davinci平臺(tái)的目標(biāo)圖像定位系統(tǒng)[D].昆明：昆明理工大學(xué)，2014.

[2]邢佩旭.世界主要幾種衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)的現(xiàn)狀與發(fā)展[J].港工技術(shù)，2003（1）.

[3]劉海波，王建芳，于海芹.太陽能工程中幾種相關(guān)角度的計(jì)算及應(yīng)用[J].陽光能源，2013，10（2）.

[4]游步東.關(guān)于軸測(cè)體視投影的原形[J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào)（工科版），1995，17（1）.

[5]葉留青，常興邦，張曙光.非線性規(guī)劃問題的全局最優(yōu)解的充要條件及其算法模型[J].河南科學(xué)，2005，23（5）.

[6]龍強(qiáng).一種求解帶等式約束非線性規(guī)劃問題全局最優(yōu)解的方法[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，29（1）.

〔編輯：劉曉芳〕