頁巖氣藏體積壓裂數(shù)學(xué)模型研究

董浩，王立婷，王麗娜，王芳，樊文靜，周亞楠

（1.西北大學(xué)地質(zhì)學(xué)系，陜西 西安710069；2.西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安710069；3.中國石油天然氣管道局第四工程分公司，河北 廊坊065000）

對(duì)頁巖氣藏進(jìn)行產(chǎn)能預(yù)測需要解決2 個(gè)問題：一是對(duì)復(fù)雜天然裂縫網(wǎng)絡(luò)的描述。頁巖儲(chǔ)層具有一定密度和連通性的天然裂縫，是運(yùn)用大規(guī)模水力壓裂開發(fā)頁巖氣藏的前提條件，但復(fù)雜天然裂縫網(wǎng)絡(luò)的描述非常困難。二是弄清頁巖氣的滲流機(jī)理。頁巖氣的滲流不同于常規(guī)低滲透油氣藏，它不僅存在達(dá)西流動(dòng)，還存在氣體吸附解吸過程和擴(kuò)散流動(dòng)，滲流規(guī)律復(fù)雜。

1 單一介質(zhì)模型

黑油模型適用于非揮發(fā)性原油的模型，它是目前最完善、最成熟的模型，也是應(yīng)用最廣泛的模型［1］。黑油模型可以考慮油、氣、水三相的滲流問題，其中氣相以自由氣和溶解氣的形式存在。

1.1 黑油模型

黑油模型的基本假設(shè)條件：

1）最多存在油氣水三相，滲流規(guī)律遵循達(dá)西定律；

2）油氣二相瞬間達(dá)到平衡狀態(tài)，油水不互溶，且氣不溶于水；

3）若存在溶解氣，只考慮氣組分溶解于油組分，不考慮油組分向氣組分的揮發(fā)；

4）油藏中的滲流為等溫滲流；

5）油藏和流體為微可壓縮。

則油氣水三相黑油模型可表示為

輔助方程如下：

式中：K 為地層滲透率，μm2；Kro，Krg，Krw分別為油、 氣、水三相的相對(duì)滲透率；ρo，ρgd，ρg，ρw分別為油、 溶解氣、氣、水的密度，kg/m3；po，pg，pw分別為油、氣、水三相的壓力，MPa；γog，γo，γg，γw分別為含有溶解氣的油、 油、氣、水相的重度，kg·m-2·s-2，其中γog=γo+γgd，γo=ρog，γgd=ρgdg，γw=ρwg；D 為某一基準(zhǔn)面算起的深度，m；φ 為地層孔隙度；So，Sg，Sw分別為油、氣、水三相的飽和度；t 為時(shí)間，s；pcow為油水毛細(xì)管壓力，MPa；pcog為油氣毛細(xì)管壓力，MPa。

式（1）—（6）為完整的油氣水三相黑油模型。從這6 個(gè)方程中可以看出，方程組有po，pg，pw，So，Sg，Sw共6個(gè)未知數(shù)，因此方程組是封閉的。加上一些邊界條件和初始條件，就可以對(duì)方程組進(jìn)行求解。

1.2 吸附氣處理方法

吸附氣從基質(zhì)中的解吸使氣體產(chǎn)量相對(duì)穩(wěn)定，因此吸附氣量是影響頁巖氣開發(fā)后期產(chǎn)能的重要因素。如果頁巖氣從基質(zhì)到裂縫中的解吸速度比在裂縫中的流動(dòng)速度快得多，在模擬頁巖氣開采過程中解吸作用就相對(duì)不重要，因此可假定解吸過程是瞬間完成的?；谶@一假設(shè)，頁巖氣的吸附作用可用氣體在不流動(dòng)油的溶解過程來模擬［2-3］。也就是說，在一個(gè)給定的壓力下，頁巖氣吸附在基質(zhì)中的氣體量類似于相應(yīng)壓力下溶解于原油中的氣體量，朗格繆爾曲線可用溶解氣油比曲線來模擬。油相的引入，需要增加模型中儲(chǔ)層的孔隙度，并對(duì)飽和度適當(dāng)修改，同時(shí)還需要對(duì)氣水相對(duì)滲透率曲線相應(yīng)修改。

利用溶解氣模擬吸附氣時(shí)，要保證黑油模型中水和氣的總量與頁巖中水和氣的總量相等, 在模型中Sgm+Swm+Som=1，則

式中：Som為模型中的含油飽和度；φm為模型孔隙度。

式（7）將頁巖實(shí)際的孔隙度與黑油模型的孔隙度聯(lián)系在一起。由于含油飽和度的值是隨機(jī)選定的，所以油相的飽和度必須保持恒定。

對(duì)氣水相對(duì)滲透率曲線進(jìn)行調(diào)整： 對(duì)應(yīng)于頁巖儲(chǔ)層實(shí)際Sg和Sw的相對(duì)滲透率值，應(yīng)該被賦予模型中相應(yīng)的Sgm和Swm，假設(shè)油是不流動(dòng)的，可用相對(duì)滲透率為0 或設(shè)置超大黏度來表示。若取Som=0.45，則實(shí)際相滲曲線與修改后的相滲曲線如表1所示。

表1 實(shí)際相滲曲線與修改后的相滲曲線數(shù)據(jù)

由于吸附氣量取決于頁巖質(zhì)量而不是體積，因此，另一種朗格繆爾方程更為適合表達(dá)頁巖的吸附特征：

式中：V 為氣體吸附量，m3/kg；Vm為朗格繆爾等溫常數(shù)，m3/kg；b為朗格繆爾壓力常數(shù)，MPa-1；p 為壓力，MPa。

為了保證物質(zhì)平衡，體積系數(shù)須為恒定值，即

式中：ρB為頁巖的體積密度，kg/m3；Rs為溶解氣油比，m3/m3；Bo為原油地層體積系數(shù)。

式（9）用于將頁巖基質(zhì)中的吸附氣量轉(zhuǎn)換為不流動(dòng)原油中的溶解氣量。通過以上方程式的轉(zhuǎn)換，可以得到油氣水三相黑油模型，從而對(duì)頁巖氣藏的產(chǎn)能進(jìn)行評(píng)價(jià)。

頁巖儲(chǔ)層中的吸附氣量與溶解氣油比對(duì)比如表2所示。計(jì)算過程中，式（9）中其他參數(shù)分別取值：ρB=1 500 kg/m3，Vm=0.024 4 m3/kg，Bo=1.2，b=0.3 MPa-1，φm=0.36，Som=0.45。

表2 頁巖儲(chǔ)層中的吸附氣量與溶解氣油比

2 雙重介質(zhì)模型

在頁巖氣藏中，氣體在基質(zhì)內(nèi)是不流動(dòng)的。氣體進(jìn)入裂縫參與流動(dòng)的條件是，基質(zhì)與裂縫之間存在使吸附氣體發(fā)生解吸作用的壓力差。本文采用雙孔單滲模型對(duì)頁巖氣的流動(dòng)情況進(jìn)行模擬。

2.1 頁巖氣的吸附解吸

吸附作用是指氣體附著在固體表面上的現(xiàn)象，其發(fā)生的根本原因是，氣體與固體接觸時(shí)，彼此之間沒有達(dá)到熱力學(xué)平衡［4-5］。頁巖基質(zhì)的吸附作用在開始階段比較快，隨著吸附的進(jìn)行，吸附速度越來越慢，直至達(dá)到吸附平衡［6-7］。

對(duì)于氣體吸附現(xiàn)象的表述普遍采用的是朗格繆爾方程。隨著壓力的升高，吸附氣量逐漸增加，直至達(dá)到最大吸附量，即朗格繆爾體積。

2.2 氣體的擴(kuò)散

2.2.1 孔隙系統(tǒng)

在孔隙系統(tǒng)中，氣體大多處于吸附狀態(tài)。在靠近裂縫面的基質(zhì)孔隙中的氣體解吸速度快，與自由氣處于平衡狀態(tài)，可用朗格繆爾方程模擬；在遠(yuǎn)離裂縫面的基質(zhì)孔隙中的氣體與自由氣處于非平衡狀態(tài)［8］。頁巖氣在基質(zhì)孔隙中的運(yùn)移規(guī)律遵循第一擴(kuò)散定律，即Fick第一定律［9］，其關(guān)系式為：

式中:qs為頁巖基質(zhì)中擴(kuò)散出來的頁巖氣量，m3/d；T為擴(kuò)散系數(shù)，m2/d；σ 為頁巖基質(zhì)的形狀因子，m-2；Vn為頁巖基質(zhì)體積，m3；為頁巖基質(zhì)中的平均氣體體積分?jǐn)?shù)，m3/m3；C（p）為頁巖裂隙界面上的氣體體積分?jǐn)?shù)，m3/m3。

2.2.2 裂縫系統(tǒng)

裂縫系統(tǒng)中的氣體流動(dòng)遵循達(dá)西定律，只考慮氣水二相。

氣相的滲流方程為

水相的滲流方程，即式（3）：

輔助方程如下：

式中：pcgw為油水毛細(xì)管壓力，MPa。

3 單一、雙重介質(zhì)模型對(duì)比

分別對(duì)單一介質(zhì)模型和雙重介質(zhì)模型建立概念模型。其中單一介質(zhì)中的吸附氣用油相中的溶解氣表示，雙重介質(zhì)的天然裂縫系統(tǒng)以串流系數(shù)表示［10-11］。2種模型均采用80×49×5 的網(wǎng)格劃分模式，平面上每個(gè)網(wǎng)格均為正方形，邊長為25 m，垂向上每個(gè)網(wǎng)格的高度為10 m。水平井長1 000 m，人工裂縫為6 條，縫長200 m，通過局部網(wǎng)格加密方法對(duì)人工裂縫和天然裂縫進(jìn)行模擬。

模擬的地層深度為3 000 m，地層壓力為30 MPa，地層的平均滲透率為0.001×10-3μm2，平均孔隙度為0.05，原油的地面密度為850 kg/m3，水的壓縮系數(shù)為1.0×10-4MPa-1，水的黏度為0.2 mPa·s，巖石的壓縮系數(shù)為1.0×10-5MPa-1。若取Som=0.40，Bo=1.2，得出雙重介質(zhì)中的吸附氣量和對(duì)應(yīng)的氣水相對(duì)滲透率曲線，并根據(jù)以上參數(shù)分別對(duì)單一介質(zhì)和雙重介質(zhì)進(jìn)行了模擬計(jì)算，得到壓力隨時(shí)間的變化關(guān)系（見圖1）。

圖1 單一介質(zhì)和雙重介質(zhì)的壓力變化對(duì)比

由圖1可以看出，2 種模型模擬得到的壓力變化相差不多。對(duì)于單一介質(zhì)，利用Fracman 生成的天然裂縫與人工裂縫實(shí)現(xiàn)正交，壓力傳播隨人工裂縫和天然裂縫擴(kuò)展，呈網(wǎng)狀分布；而在雙重介質(zhì)中，由于天然裂縫通過裂縫系統(tǒng)與基質(zhì)系統(tǒng)串流，壓力傳播只沿人工裂縫擴(kuò)展，而天然裂縫中的壓力擴(kuò)展無法用圖形顯示出來。隨著生產(chǎn)過程中水平井筒與人工裂縫的周圍逐漸出現(xiàn)壓力虧空，壓力不斷向外擴(kuò)散，在人工裂縫周圍均出現(xiàn)比較嚴(yán)重的壓力降。

對(duì)于單一介質(zhì)，假設(shè)油相不流動(dòng)，隨著壓力的下降，氣體不斷從油相中釋放出來。而對(duì)于雙重介質(zhì)，經(jīng)歷了前期自由氣的開采，隨著壓力的下降，吸附氣不斷解吸出來，成為保證產(chǎn)量的主要因素。

從圖1還可以發(fā)現(xiàn)，頁巖氣藏進(jìn)行人工壓裂之后，裂縫周圍的泄油面積形狀接近于長方形（圖中藍(lán)色區(qū)域）。這是因?yàn)轫搸r氣藏的滲透率低，滲流條件差，壓力擴(kuò)展慢，當(dāng)2 點(diǎn)的壓差小于氣體流動(dòng)所需的阻力時(shí)，壓力停止向前擴(kuò)展。由于每條裂縫的泄油面積很小，因此多條裂縫的泄油面積疊加起來更為接近長方形。

通過2 種模型日產(chǎn)氣量和累計(jì)產(chǎn)氣量的對(duì)比發(fā)現(xiàn)（見圖2），雙重介質(zhì)模擬的3 a 產(chǎn)氣量稍高于單一介質(zhì)，這主要跟2 種模型對(duì)天然裂縫的處理方式有關(guān)。對(duì)于單一介質(zhì)，除了人工裂縫這個(gè)主要的滲流通道外，受計(jì)算機(jī)內(nèi)存的限制，人為將天然裂縫分布在井筒周圍；而雙重介質(zhì)中天然裂縫分布在整個(gè)模擬區(qū)域內(nèi)，因此當(dāng)壓力擴(kuò)展超出天然裂縫的范圍時(shí)，單一介質(zhì)中的氣體幾乎無法再流動(dòng)，而雙重介質(zhì)則不受此因素的影響。但綜合來看，2 種方法對(duì)于頁巖氣開采的模擬都是合理的。

4 結(jié)束語

本文提出了以黑油模型為基礎(chǔ)模型、 以溶解氣代替吸附氣的方法對(duì)頁巖氣藏進(jìn)行模擬，并與雙孔單滲的雙重介質(zhì)模型進(jìn)行了對(duì)比。雖然對(duì)于天然裂縫的處理方式不同，但2 種模型的模擬結(jié)果非常接近，由此驗(yàn)證了以溶解氣代替吸附氣的方法是可行的。

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