穩(wěn)健的雙基地MIMO雷達(dá)目標(biāo)角度跟蹤算法*

張正言,周青松,黃中瑞,徐旭宇

(1.電子工程學(xué)院,安徽 合肥　230037；2.中國人民解放軍73677部隊，江蘇 南京　210016)

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探測跟蹤技術(shù)

穩(wěn)健的雙基地MIMO雷達(dá)目標(biāo)角度跟蹤算法*

張正言1,周青松1,黃中瑞1,徐旭宇2

(1.電子工程學(xué)院,安徽 合肥230037；2.中國人民解放軍73677部隊，江蘇 南京210016)

摘要：針對雙基地多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)變速目標(biāo)角度跟蹤問題，提出了基于變遺忘因子的跟蹤算法。首先研究了遺忘因子對算法的收斂速率和跟蹤性能的影響；其次借鑒變步長最小均方(LMS)算法的思路，提出遺忘因子的遞推公式；最后將遺忘因子遞推公式引入PASTd算法中，實現(xiàn)變速目標(biāo)的收發(fā)角度跟蹤。實驗表明：算法的收斂速度和性能都有較大的提高，穩(wěn)定性得到了增強。

關(guān)鍵詞：雙基地MIMO雷達(dá)；變速目標(biāo)；角度跟蹤；變遺忘因子；旋轉(zhuǎn)不變子空間技術(shù)；緊縮近似投影子空間跟蹤

0引言

近年來，多輸入多輸出(multiple-inputmultiple-output,MIMO)雷達(dá)作為一種新的雷達(dá)體制受到了廣泛關(guān)注，與傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)不同的是，MIMO雷達(dá)能顯著提高系統(tǒng)的目標(biāo)檢測、跟蹤、識別和參數(shù)估計等性能[1]。在雙基地MIMO雷達(dá)目標(biāo)定位中，目標(biāo)的發(fā)射角(DOD)和接收角(DOA)是需要被估計的主要參數(shù)[2-6]。但是當(dāng)目標(biāo)運動時，文獻(xiàn)[2-7]中的算法性能會急劇下降甚至失效。目前大部分關(guān)于雙基地MIMIO的文獻(xiàn)都是針對目標(biāo)靜止的情況，不能適用于目標(biāo)運動的情況，因為這類算法大多是基于子空間類算法，需要進(jìn)行協(xié)方差矩陣的估計和分解，這就會出現(xiàn)2個問題：一是協(xié)方差矩陣的估計需要大量的快拍數(shù)，而目標(biāo)運動時，接收的數(shù)據(jù)對應(yīng)的角度在不同快拍數(shù)是不同的，大量的快拍數(shù)會造成目標(biāo)角度的失真；二是協(xié)方差矩陣的估計與分解，運算量較大，不能夠?qū)崟r的給出目標(biāo)位置，而運動目標(biāo)位置是變化的，需要給出目標(biāo)的實時位置，否則跟蹤算法是沒有意義的。

關(guān)于MIMO雷達(dá)角度跟蹤的研究還處于起步階段，文獻(xiàn)[8]提出PARAFAC自適應(yīng)算法并且應(yīng)用到單基地MIMO雷達(dá)，成功實現(xiàn)了目標(biāo)角度的跟蹤。文獻(xiàn)[9]簡單的利用PASTd算法實現(xiàn)了雙基地MIMO雷達(dá)角度的跟蹤，但是上述算法需要額外的數(shù)據(jù)相關(guān)運算。文獻(xiàn)[10]提出Kalman-PASTd算法，應(yīng)用到單基地MIMO雷達(dá)中，能夠?qū)崿F(xiàn)自動相關(guān)運算。然而PARAFAC算法、PASTd算法和Kalman-PASTd算法都有較高的運算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[11]提出了一種適合單基地MIMO雷達(dá)的低復(fù)雜度角度跟蹤算法，但是該算法只適用于單基地MIMO雷達(dá)，而雙基地MIMO雷達(dá)的聯(lián)合方向矢量更加復(fù)雜，文獻(xiàn)[11]的算法不再適用。

文獻(xiàn)[8-11]的算法只適合目標(biāo)運動速度不變的情況，在PASTd算法中的遺忘因子是恒定的。PASTd算法基本思想是將RLS-like(recursiveleasesquare-like)算法應(yīng)用到信號子空間跟蹤中。在RLS算法中，遺忘因子λ在收斂性、精度和穩(wěn)定性起到至關(guān)重要的作用，遺忘因子的取值范圍在0～1，當(dāng)遺忘因子接近1時，算法有較好的穩(wěn)定性和跟蹤性能，但是收斂速度較慢，跟蹤能力較差；當(dāng)遺忘因子降低時，收斂速度變快，跟蹤能力加強，但是穩(wěn)定性和跟蹤性能變差。目前最小二乘變步長算法已經(jīng)很成熟，有大量的變步長算法，變步長算法和變遺忘因子算法有相似之處。因此，為了解決RLS算法對遺忘因子要求的矛盾，本文借鑒LMS算法中變步長的思想，提出基于變遺忘因子的雙基地MIMO雷達(dá)的角度跟蹤算法。

1信號模型

假設(shè)雙基地MIMO雷達(dá)收發(fā)陣元均是均勻分布的，收發(fā)陣元個數(shù)為N和M個，陣元間距dt和dr為波長λ的一半。雙基地MIMO雷達(dá)的配置如圖1所示。

圖1　雙基地MIMO雷達(dá)收發(fā)陣元配置Fig.1　Arrays configuration of bistatic MIMO radar transceiver

假設(shè)有P個遠(yuǎn)場運動目標(biāo)，假設(shè)目標(biāo)是非相干的，在t時的目標(biāo)的收發(fā)角度為[(θt,1,φt,1),(θt,2,φt,2),…，(θt,P,φt,P)]，則到達(dá)第N個接收陣元的信號為

(1)

(2)

2算法描述

2.1遺忘因子的遞推公式

首先，考慮目標(biāo)運動過程中速度發(fā)生變化的情況，即目標(biāo)角度變化速率不能再看做恒定時。當(dāng)遺忘因子固定時，只對某一運動速度具有較好的跟蹤性能，對于其他速率的跟蹤性能較差。文獻(xiàn)[12]已經(jīng)證明LMS變步長方法中的步長與RLS算法中的1-λ的作用相同，文獻(xiàn)[13]已經(jīng)成功將變步長的思想應(yīng)用到了RLS算法中，因此，本文將變步長的思想應(yīng)用到PASTd算法中。在LMS算法中，有如下的變步長策略：

(3)

式中：β為最大步長;ρ為控制μ(n)形狀的參數(shù)；e(n)為誤差;e(n)的變化用來控制步長的變化。

由于u(n)與1-λ(n)的作用相同，不妨設(shè)u(n)=1-λ(n)，則λ(n)=(1-β)+βe-ρ|e(n)|2=λmin+(1-λmin)e-ρ|e(n)|2，

(4)

由于β是最大步長，所以λmin=1-β，λmin為極小遺忘因子。

(5)

式中：y(k)=WH-(k-1)x(k)。

Rxy(k)=λRxy(k-1)+x(k)yH-(k)，

(6)

Ryy(k)=λRyy(k-1)+y(k)yH-(k).

(7)

由先驗信息得到估計誤差

e(k)=x(k)-W(k-1)y(k)，

(8)

式中：x(k)為當(dāng)前接收到的數(shù)據(jù)；W(k-1)為滿足上一時刻代價函數(shù)最小的子空間，當(dāng)信號角度變化速率小時，誤差e(k)小，當(dāng)信號角度變化速率大時，誤差e(k)變大。信號角度速率變化大時，需要相對較小的遺忘因子提高收斂速度，提高跟蹤能力。信號角度速率變化較小時，需要相對較大的遺忘因子提高跟蹤的性能和穩(wěn)定性?？梢钥闯鯬ASTd算法中的誤差e(k)與式(4)中的e(n)作用相同，因此可以用e(k)代替e(n)。式(4)計算較復(fù)雜，用2代替e作為底數(shù)，對其改進(jìn)得到PASTd算法的遺忘因子遞推公式：

(9)

從式(9)中可以看出，當(dāng)目標(biāo)角度變化速率增大時，e(k)的模值增大，λ(n)接近于極小值λmin，保證收斂速度，當(dāng)目標(biāo)角度變化速率減小時，e(k)的模值減小，λ(n)接近于1，保證算法的性能。ρ是一個參數(shù)，控制系統(tǒng)敏感度。

在開始跟蹤的初始階段，或者當(dāng)目標(biāo)運動速度相對較大時，稱為目標(biāo)位置發(fā)生突變，這時系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，算法未收斂，誤差e(k)極大，式(9)中的極小值λmin無法滿足此時的收斂速度要求，需要設(shè)置一個最小的遺忘因子λzmin。下面給出這種情況下的遺忘因子選取策略：

If|e(k)|2>δ

λ(n)=λzmin

(10)

End

式中：δ為門限，當(dāng)誤差的模值大于δ，認(rèn)為此時系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，選取遺忘因子等于最小值λzmin，加快收斂速度，使系統(tǒng)盡快進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。

2.2PASTd算法

在PASTd算法中，信號子空間可以通過最小化下面的目標(biāo)函數(shù)得到：

tr(C(t))-2tr(WH(t)C(t)W(t))+

tr(WH(t)C(t)W(t)WH(t)W(t))，

(11)

在1≤i≤t內(nèi)的所有數(shù)據(jù)都被用來估計時刻t的信號子空間，當(dāng)目標(biāo)運動時，λ用來確定時刻t之前數(shù)據(jù)的權(quán)重，能夠更好地滿足跟蹤要求，提高跟蹤效果。

可以采用快速遞歸最小二乘法求解目標(biāo)函數(shù)的最小值，當(dāng)信號處于慢變或靜止時，W(i)r(i)可以和W(i-1)r(i-1)非常接近，算法收斂。

下面給出PASTd算法的具體步驟：

Fort=1:Ns

x1(t)=r(t)

(12)

Fork=1:P

(13)

βk(t)=λβk(t-1)+|yk(t)|2

(14)

(15)

xk+1(t)=xk(t)-Wk(t)yk(t)

(16)

Endfor

Endfor

可以證明由W(i)張成的信號子空間與Us(t)張成的信號子空間相同，即span{W(t)}=span{Us(t)}，因此可以通過PASTd算法獲得信號子空間，避免了互相關(guān)矩陣的特征值分解，減小了大量的計算量，因此PASTd算法適合跟蹤運動目標(biāo)的DOD和DOA。

2.3基于變遺忘因子的改進(jìn)算法

把變遺忘因子遞推公式引入到PASTd算法中，將改進(jìn)后的PASTd算法歸納如下：

Fort=1:Ns

x1(t)=y(t)

(17)

Fork=1:K

(18)

βk(t)=λ(t-1)βk(t-1)+|yk(t)|2

(19)

e(t-1)=xk(t)-wk(t-1)yk(t)

(20)

(21)

xk+1(t)=xk(t)-Wk(t)yk(t)

(22)

If|e(k)|2>δ

(23)

else

λ(t)=λmin+(1-λmin)2-ρ|e(t-1)|2

(24)

End

Endfor

Endfor

2.4正交化過程

(25)

wr+1(t)=v/‖v‖，

(26)

通過上面的步驟得到了信號子空間W(t)。

2.5收發(fā)角度的估計及配對

Ur2=Ur1Ψr.

(27)

對Ψr特征值分解得到Φr，Φr包含所有的DOA的信息[14]，

Ψr=T-1ΦrT.

(28)

Ut2=Ut1Ψt,

(29)

對Ψt特征值分解得到Φt，Φt包含所有的DOD的信息，

Ψt=T-1ΦtT.

(30)

(31)

根據(jù)式(28)與式(31)可以看出Q，T-1與Ψr的特征向量是線性關(guān)系[15]，所以

Q=T-1F,

(32)

式中：F為變換矩陣。將式(32)代入(31)，與式(28)比較得

(33)

構(gòu)造如下矩陣

(34)

并將式(30)和式(32)代入式(34)得

(35)

至此，完成了目標(biāo)收發(fā)角度的自動配對，通過式(36)獲得配對后的收發(fā)角

(36)

式中：angle為去相運算；p=1,2,…，P。

2.6算法流程

步驟1使用變遺忘因子算法中式(17)～(24)得到特征向量矩陣W；

步驟2利用2.4節(jié)式(25)和式(26)進(jìn)行正交化；

步驟3根據(jù)2.5節(jié)ESPRIT算法得到包含目標(biāo)收發(fā)角度的對角矩陣Φr和Φt，由配對方法進(jìn)行自動配對，由式(36)得到收發(fā)角度；

步驟4重復(fù)步驟1～4估計下一時刻的角度。

3實驗仿真及結(jié)果分析

雙基地MIMO雷達(dá)收發(fā)陣元分別為N=5和M=8，噪聲為高斯加性白噪聲，目標(biāo)位遠(yuǎn)場目標(biāo)。定義

實驗1：驗證算法的有效性

假設(shè)空中存在一個目標(biāo)，在前30s目標(biāo)每秒變化1°，且在30s時發(fā)生突變，后30s內(nèi)目標(biāo)角度每秒變化速率降低，信噪比為SNR=10dB，誤差e(k)的模值和遺忘因子如圖2所示。

從圖2a)可以看出，在開始跟蹤的初始階段，和t=30s時，目標(biāo)角度發(fā)生突變時，誤差變大，且超過了門限δ，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，此時需要最小的遺忘因子λzmin，增加收斂速度，使系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。在前30s內(nèi)信號角度變化較快，此時誤差較大且不穩(wěn)定，需要極小遺忘因子，后30s內(nèi)信號角度變化較慢，誤差較小且相對穩(wěn)定，需要相對較大的遺忘因子。圖2b)可以看出在開始跟蹤和信號角度處于突變階段，遺忘因子等于最小值λzmin，前30s內(nèi)遺忘因子相對較小，而后30s內(nèi)遺忘因子相對較大，符合遺忘因子選取原則，驗證了算法的有效性。

空中存在一個目標(biāo)，在前30s目標(biāo)每秒變化1°，后30s內(nèi)目標(biāo)角度每秒變化速率降低，信噪比為SNR=10dB，本文算法與文獻(xiàn)[8]算法(Wu-Method)仿真結(jié)果如圖3所示。

從圖3可以看出在前30s內(nèi)本文算法性能比Wu-Method性能要好，后30s內(nèi)本文算法與Wu-Method性能相當(dāng)。在t=30s時，本文算法有效，而Wu-Method跟蹤性能較差，基本失效。這是因為Wu-Method的遺忘因子固定為0.97，適合慢速運動的目標(biāo)，所以后30s目標(biāo)運動較慢時，性能略好，而當(dāng)前30s目標(biāo)運動速度快時。Wu-Method跟蹤性能低于本文算法，本文算法是根據(jù)運動速度選取遺忘因子，能夠適應(yīng)于目標(biāo)速度的變化，特別是信號角度

圖2　誤差和遺忘因子隨快拍數(shù)的變化Fig.2　Error and forgetting factor along with the number of snapshots

圖3　目標(biāo)角度跟蹤Fig.3　Target angle tracking

突變時，Wu-Method的算法基本失效，而本文算法仍然有效，實驗結(jié)果驗證算法的有效性。多目標(biāo)時本文算法仍然有效，因為文中的算法是改變PASTd算法中的遺忘因子，PASTd算法能夠解決多目標(biāo)角度跟蹤問題，變遺忘因子遞推公式是針對誤差的變化，多目標(biāo)時時針對整體誤差的變化，對單個目標(biāo)可能不是最佳的遺忘因子，但是對整體目標(biāo)是最佳的。PASTd算法在目標(biāo)運動相交時跟蹤精度變低，可以結(jié)合經(jīng)典的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法如卡爾曼預(yù)測算法[10]，解決目標(biāo)運動相交的問題。因此本文算法在多目標(biāo)時仍然有效，跟蹤性能較好，穩(wěn)健性較強。

實驗2：算法的RMSE隨信噪比的變化

信噪比SNR=0～15dB，F(xiàn)=500，其余條件與實驗1相同，算法性能的仿真結(jié)果如圖4所示。

從圖4中可以看出本文算法的RMSE隨著信噪比的增大而減小，在信噪比相同的情況下，本文算法的性能明顯高于Wu-Method，Wu-Method已基本失效，說明了本文算法能夠成功跟蹤變速運動目標(biāo)的角度。

圖4　RMSE與信噪比的關(guān)系Fig.4　Change of RMSE along with signal-to-noise ratio

4結(jié)束語

本文研究了變速目標(biāo)條件下雙基地MIMO雷達(dá)目標(biāo)角度跟蹤問題。首先分析了遺忘因子對于跟蹤算法的影響，借鑒LMS變步長算法的思想，應(yīng)用到雙基地MIMO雷達(dá)目標(biāo)角度跟蹤中，提出基于變遺忘因子的方法。首先針對目標(biāo)速度變化時，推導(dǎo)了遺忘因子的遞推公式，然后考慮跟蹤開始和目標(biāo)角度發(fā)生突變時的情況，提出判別方法，將遺忘因子變?yōu)樽钚≈担涌焓諗克俣?，使跟蹤系統(tǒng)盡快進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。本文算法的遺忘因子可以隨著目標(biāo)的運動情況發(fā)生改變，能夠自適應(yīng)目標(biāo)的速度變化，具有較好的跟蹤速度和跟蹤性能，在跟蹤的初始階段和目標(biāo)角度發(fā)生突變時，本文算法的遺忘因子可以變?yōu)轭A(yù)設(shè)的最小遺忘因子，可以使系統(tǒng)最快的進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，快速跟蹤目標(biāo)的角度。

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Target Angle Tracking Algorithm Based on the Covariance MatrixforBistaticMIMORadar

ZHANG Zheng-yan1，ZHOU Qing-song1，HUANG Zhong-rui1，XU Xu-yu2

(1.Electronic Engineering Institute,Anhui Hefei 230037, China；2.PLA，No73677Troop,JingsuNanjing210016China)

Abstract:A new algorithm based on variable forgetting factor is put forward for MIMO radar tracking problem among the target whose speed is changing. Firstly, how the forgetting factor impacts the algorithm convergence speed and estimated performance is analyzed. Secondly, the forgetting factor recursive formula is put forward by referring the variable step size least mean square (LMS) algorithm. Lastly the tracking problem under the variable speed target is solved by brought the forgetting factor recursive formula into PASTd algorithm. Simulation results verify that the convergence speed and performance of the algorithm are greatly improved and the algorithm robustness is enhanced.

Key words:bistatic MIMO radar；variable speed target；angle tracking ；variable forgetting factor；ESPRT；PASTd

*收稿日期：2015-05-05；修回日期：2016-01-10

作者簡介：張正言(1991-)，男，安徽宿州人。博士生，主要研究方向為MIMO雷達(dá)信號處理，陣列信號處理。

通信地址：230037安徽省合肥市黃山路460號，雷抗系502教研室E-mail：981890451@qq.com

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2016.03.022

中圖分類號：TN953+.5；TP301.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1009-086X(2016)-03-0134-07