基于改進(jìn)核模糊C均值類間極大化聚類算法

李斌 狄嵐 王少華 于曉瞳

摘要：傳統(tǒng)的核聚類僅考慮了類內(nèi)元素的關(guān)系而忽略了類間的關(guān)系，對(duì)邊界模糊或邊界存在噪聲點(diǎn)的數(shù)據(jù)集進(jìn)行聚類分析時(shí)，會(huì)造成邊界點(diǎn)的誤分問(wèn)題。為解決上述問(wèn)題，在核模糊C均值（KFCM）聚類算法的基礎(chǔ)上提出了一種基于改進(jìn)核模糊C均值類間極大化聚類（MKFCM）算法。該算法考慮了類內(nèi)元素和類間元素的聯(lián)系，引入了高維特征空間的類間極大懲罰項(xiàng)和調(diào)控因子，拉大類中心間的距離，使得邊界處的樣本得到了較好的劃分。在各模擬數(shù)據(jù)集的實(shí)驗(yàn)中，該算法在類中心的偏移距離相對(duì)其他算法均有明顯降低。在人造高斯數(shù)據(jù)集的實(shí)驗(yàn)中，該算法的精度（ACC）、歸一化互信息（NMI）、芮氏指標(biāo)（RI）指標(biāo)分別提升至0.9132，0.7575，0.9138。

對(duì)于邊界模糊或邊界存在噪聲點(diǎn)的數(shù)據(jù)集，該聚類算法具有理論研究意義。

關(guān)鍵詞：

核聚類；模糊C均值聚類；類間極大懲罰項(xiàng)；模糊邊界

中圖分類號(hào)： TP391.4； TP18 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

聚類分析是數(shù)據(jù)挖掘和無(wú)監(jiān)督模式識(shí)別學(xué)習(xí)的主要任務(wù)之一，已廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘、圖像處理、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、生物信息和文本分析等領(lǐng)域中。針對(duì)數(shù)據(jù)的分析方法一般分為三大類，即有監(jiān)督的學(xué)習(xí)、半監(jiān)督的學(xué)習(xí)以及無(wú)監(jiān)督的學(xué)習(xí)。有監(jiān)督的學(xué)習(xí)方法中，典型代表就是K近鄰（KNearest Neighbor， KNN）算法；半監(jiān)督的學(xué)習(xí)方法中，具有代表性的是支持向量機(jī)（Support Vector Machine， SVM），以及一些相關(guān)的改進(jìn)算法[1-2]；而無(wú)監(jiān)督方法主要是以聚類分析方法為主，聚類的方法可以分為基于劃分的方法、基于分層的方法、基于密度的方法和基于網(wǎng)格的方法，其中，基于劃分的聚類算法[3]在模式識(shí)別里是最常用的聚類分析方法，本文主要是針對(duì)此類算法進(jìn)行討論的。

聚類是指將一組給定的未知類標(biāo)號(hào)的數(shù)據(jù)分類到不同的類，且保證同一個(gè)類內(nèi)的對(duì)象有較大的相似性，而類間的對(duì)象有較大的差異性[4]。聚類算法有很多，典型的算法有基于硬劃分的kmeans算法以及基于軟劃分的模糊C均值（Fuzzy CMeans， FCM）聚類算法[5]，此處的軟硬即表示隸屬度的模糊程度區(qū)別，隸屬度越模糊則“軟”的程度越大，隸屬度越精確則越偏向“硬”的程度。FCM算法存在對(duì)噪聲點(diǎn)與野值點(diǎn)敏感和只善于發(fā)現(xiàn)致密的球形結(jié)構(gòu)等缺點(diǎn)。為了克服FCM的缺點(diǎn)，在模式識(shí)別的各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)出現(xiàn)了很多以FCM為基礎(chǔ)的一些算法，比較突出的有可能性C均值（Possibilistic CMeans， PCM）聚類算法[6]、模糊可能性C均值（Possibilistic Fuzzy CMeans， FPCM）聚類算法[7]、基于核的可能C均值（Kernel Possibilistic CMeans， KPCM）聚類算法[8]等。

Aizerman等[9]在1964年把核函數(shù)的思想引入到機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域。1995年，基于VC理論，Cortes等[10]提出支持向量機(jī)（SVM）分類算法，SVM在一些問(wèn)題上得到比傳統(tǒng)分類器更好的性能。SVM的成功使得核函數(shù)的應(yīng)用得到重視并應(yīng)用到機(jī)器學(xué)習(xí)的其他領(lǐng)域，如核主成分分析、核Fisher鑒別分析以及基于核的聚類分析等?；诤朔椒ǖ木垲愅ㄟ^(guò)核函數(shù)把原始空間中的點(diǎn)映射到特征空間中，在特征空間直接或間接地進(jìn)行算法設(shè)計(jì)、分析與計(jì)算，從而得到原始空間的聚類劃分。在一定程度上，基于核的聚類方法提高了聚類的效果，但是，不管是傳統(tǒng)聚類或者核聚類，大部分聚類算法都只是考慮類內(nèi)關(guān)系，而忽略了類與類之間的關(guān)系。

類與類之間的關(guān)系被廣泛應(yīng)用于聚類的有效性指標(biāo)問(wèn)題中，例如：Xie等[11]提出的XB（XieBeni）指標(biāo)；Fukuyama[12]提出的有FS（FukuyamaSugeno）指標(biāo)；Zahid等[13]提出的SC指標(biāo)；Gath等[14]提出的FHV（Fuzzy Hyper Volume）和PD（Partition Density）指標(biāo)等。zdemir等[15]提出的簇間分離（InterCluster Separation， ICS）算法將分離項(xiàng)應(yīng)用到聚類目標(biāo)函數(shù)中。由于類與類之間的協(xié)方陣是表示類中心與類中心之間的距離，而它們的距離取得最大值會(huì)有更好的聚類效果。本文提到的基于核化距離的模糊C均值（Kernel Fuzzy CMeans，KFCM）聚類算法[16]，在一定程度上，該算法增強(qiáng)了對(duì)噪聲點(diǎn)或野值點(diǎn)的魯棒性，提高改善了聚類效果；但是KFCM算法始終是以模糊聚類為基礎(chǔ)且忽略了類與類之間的距離信息。

綜上，本文提出了一種基于改進(jìn)核模糊C均值類間極大化（Maximum betweencluster based on improved Kernel Fuzzy CMeans， MKFCM）聚類算法。該算法由類內(nèi)最小和類間最松散的聚類準(zhǔn)則推導(dǎo)而出，將Wu等[17]提出的算法作進(jìn)一步改進(jìn)，使得類中心與類中心之間距離極大化，構(gòu)造出全新的目標(biāo)函數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，MKFCM算法比KFCM算法對(duì)噪聲點(diǎn)或野值點(diǎn)有較好的魯棒性，對(duì)樣本不平衡數(shù)據(jù)集和邊界模糊數(shù)據(jù)集具有更佳的聚類效果。

1基于核的模糊C均值聚類算法

2改進(jìn)的基于核化距離的模糊C均值聚類算法

盡管KFCM算法在一定程度上，相對(duì)FCM算法在噪聲點(diǎn)或野值點(diǎn)的魯棒性上有所提高；但是KFCM仍存在以下兩個(gè)主要缺點(diǎn)：1）由于仍然采用基于核空間的歐氏距離，沒(méi)有考慮類與類之間的信息，而實(shí)際情況中，類與類之間的信息在聚類過(guò)程中發(fā)揮巨大的作用。2）由于采用梯度下降法迭代求解，易收斂于局部最優(yōu)值，造成了KFCM對(duì)野值點(diǎn)或噪聲點(diǎn)的魯棒性不高。本文針對(duì)上述問(wèn)題，提出了改進(jìn)的基于核化距離的模糊C均值聚類（MKFCM）算法。該算法在KFCM算法的目標(biāo)函數(shù)上引入了特征空間內(nèi)的類間極大懲罰項(xiàng)，并通過(guò)引入調(diào)控因子λ實(shí)現(xiàn)對(duì)特征空間內(nèi)類間劃分的控制，使得聚類中心之間的距離最大化，使特征空間內(nèi)類與類之間的間隔盡可能大。特征空間內(nèi)的類間極大懲罰項(xiàng)的表達(dá)式如下：

2.1參數(shù)優(yōu)化

2.2MKFCM的算法描述

根據(jù)定理1的推導(dǎo)，可得MKFCM算法的具體執(zhí)行步驟如下：

步驟1設(shè)定核函數(shù)參數(shù)σ、聚類個(gè)數(shù)c和模糊指數(shù)m及收斂精度ε；初始化調(diào)控因子λ=1/n；最大迭代次數(shù)tmax；令迭代次數(shù)k=0。

步驟2用FCM算法初始化中心矩陣V（0）。

步驟3用式（12）計(jì)算U（k+1）。

步驟4用式（13）計(jì)算V（k+1）。

步驟5如果‖U（k）-U（k-1）‖≤ε，停止迭代；否則，k=k+1，轉(zhuǎn)到步驟2。

當(dāng)滿足終止條件時(shí)，隸屬度矩陣U和聚類中心矩陣V為算法的最優(yōu)解。

3實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)是基于Matlab R2012a的編程環(huán)境中進(jìn)行的。為了驗(yàn)證本文提出的算法的有效性，本文擬通過(guò)與FCM[5]、PCM[6]、FPCM[7]、KPCM[8]、KFCM[16]在模擬數(shù)據(jù)集和UCI真實(shí)數(shù)據(jù)集上進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，對(duì)本文所提出的算法進(jìn)行評(píng)估和性能驗(yàn)證。

3.1評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文將選用以下三個(gè)指標(biāo)，對(duì)聚類的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，通過(guò)3個(gè)指標(biāo)可以直觀的評(píng)價(jià)本文算法的性能。

1）精度（ACCuracy， ACC）評(píng)價(jià)指標(biāo)[19]。

ACC=[∑Ni=1δ（yi，map（ci））]/N（19）

其中：N表示數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)；yi表示真實(shí)的類標(biāo)簽，ci表示聚類過(guò)后的類標(biāo)簽；如果y=c，那么δ（y，c）=1，否則δ（y，c）=0a2+b2此處是否書(shū)寫有誤，是0乘以平方根嗎？不就等于0嗎？若有誤，請(qǐng)作相應(yīng)調(diào)整。；map（·）表示每個(gè)聚類過(guò)后的類標(biāo)簽到真實(shí)的類標(biāo)簽的一個(gè)置換函數(shù)，并且可以通過(guò)匈牙利算法獲得最佳匹配。

2）歸一化互信息（Normalized Mutual Information， NMI）評(píng)價(jià)指標(biāo)[20]。

NMI=∑ci=1∑cj=1Nij lgN×NijNi×Nj（∑ci=1Ni lg Ni/N）×（∑cj=1Nj lg Nj/N）（20）

其中：Nij表示第i個(gè)聚類與類j之間的契合度；N表示樣容量的大??；Nij表示第i個(gè)聚類的樣本數(shù)目；Nj表示第j個(gè)聚類的樣本數(shù)目。

3）芮氏（Rand Index， RI）評(píng)價(jià)指標(biāo)[20]。

RI=f00+f11N（N-1）/2（21）

其中： f00表示數(shù)據(jù)點(diǎn)具有不同的類標(biāo)簽，且屬于不同類的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目； f11表示具有相同的類標(biāo)簽，且屬于同一類別的數(shù)

據(jù)點(diǎn)數(shù)目；N表示樣本的容量大小。

以上的3種評(píng)價(jià)指標(biāo)的取值范圍均為[0，1]，且數(shù)值越大，顯示出算法的性能越優(yōu)越。

3.2模擬數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

在模擬實(shí)驗(yàn)部分采用Diamond數(shù)據(jù)集[21]、Square數(shù)據(jù)集[22]、Bensaid數(shù)據(jù)集[23]，這3個(gè)數(shù)據(jù)集都是基于原始數(shù)據(jù)中存在噪聲點(diǎn)或野值點(diǎn)的數(shù)據(jù)集，可以很好地驗(yàn)證MKFCM對(duì)噪聲點(diǎn)和野值點(diǎn)的魯棒性；采用人造高斯數(shù)據(jù)集，這個(gè)數(shù)據(jù)集中3個(gè)類邊界非常模糊，對(duì)聚類過(guò)程的影響非常大，可以用來(lái)檢測(cè)MKFCM對(duì)邊界模糊數(shù)據(jù)集的聚類效果。

3.2.1Diamond數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)

Diamond數(shù)據(jù)集包含了12個(gè)樣本點(diǎn)，其中10個(gè)點(diǎn)是關(guān)于Y軸對(duì)稱的兩個(gè)類，兩類的準(zhǔn)確中心分別為C1（-3.34，0）與C2（3.34，0），中間位置的兩個(gè)樣本點(diǎn)分別是噪聲點(diǎn)和野值點(diǎn)，且它們到中心的距離相等。相關(guān)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示，較小的“+”表示第一類數(shù)據(jù)集，“△”表示第一類數(shù)據(jù)集的聚類中心；“o”表示第二類數(shù)據(jù)集，“·”表示第二類數(shù)據(jù)集的聚類中心。相關(guān)的中心偏移距離如表1所示。

3.2.2Square數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)

Square數(shù)據(jù)集則包括一個(gè)小正方形數(shù)據(jù)集、一個(gè)大正方形數(shù)據(jù)行和部分噪聲點(diǎn)，兩個(gè)類的中心分別為C1（5.25，0.25）和C2（17，0），實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖2所示，“o”表示第一類數(shù)據(jù)集，“·”表示第一類數(shù)據(jù)集的聚類中心；“+”表示第二類數(shù)據(jù)集，“*”表示第二類數(shù)據(jù)集的聚類中心。實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)如表2所示。

3.2.3Bensaid數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)

Bensaid數(shù)據(jù)集包括兩個(gè)小的類和一個(gè)大的類以及各類之間的噪聲點(diǎn)構(gòu)成的，其3個(gè)準(zhǔn)確的類中心為C1（3.2904，48.7730）、C2（55.3239，52.0772）和C3（112.1437，49.1043），實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示和，“o”表示第一類數(shù)據(jù)集，“·”表示第一類數(shù)據(jù)集的聚類中心；“+”表示第二類數(shù)據(jù)集，“☆”表示第二類數(shù)據(jù)集的聚類中心；“*”表示第三類數(shù)據(jù)集，“△”表示第三類數(shù)據(jù)集的聚類中心。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

通過(guò)圖1～3以及圖表1～3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出MKFCM相比其他算法聚類中心偏離的最小，聚類效果更佳，對(duì)噪聲點(diǎn)和野值點(diǎn)具有較好的魯棒性。

通過(guò)上述3組數(shù)據(jù)集的實(shí)驗(yàn)可以看出：傳統(tǒng)的FCM、KFCM對(duì)存在噪聲點(diǎn)或野值點(diǎn)的數(shù)據(jù)集進(jìn)行聚類分析時(shí)，易受噪聲點(diǎn)或野值點(diǎn)的影響，因此聚類中心會(huì)發(fā)生較大的偏移。PCM、KPCM雖通過(guò)解除了隸屬度和為1的約束，對(duì)噪聲點(diǎn)或野值點(diǎn)具有較好的魯棒性；但是它們?cè)趯?duì)邊界模糊的數(shù)據(jù)集進(jìn)行聚類時(shí)，會(huì)出現(xiàn)聚類中心重合的現(xiàn)象；本文算法通過(guò)類間極大懲罰項(xiàng)本文算法通過(guò)添加類間極大懲罰項(xiàng)此句完整嗎？感覺(jué)未完或者描述有些問(wèn)題？請(qǐng)作相應(yīng)調(diào)整。，同時(shí)考慮了類內(nèi)元素的緊密性和類間元素的相異性，對(duì)噪聲點(diǎn)和野值點(diǎn)有很好的魯棒性；同時(shí)對(duì)邊界模糊的數(shù)據(jù)集可以通過(guò)拉大類中心間距離，使得邊界處的數(shù)據(jù)集得到最佳分類。

3.2.4人造高斯數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)

人造高斯數(shù)據(jù)集由三類組成的，類之間邊界模糊，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示?！皁”表示第一類數(shù)據(jù)集，“·”表示第一類數(shù)據(jù)集的聚類中心；“+”表示第二類數(shù)據(jù)集，“☆”表示第二類數(shù)據(jù)集的聚類中心；“*”表示第三類數(shù)據(jù)集，“△”表示第三類數(shù)據(jù)集的聚類中心。

從圖4以及表4可以看出：FCM、PCM、FPCM、KPCM和KFCM由于邊界處的數(shù)據(jù)較模糊，因此容易造成誤分的問(wèn)題；而MKFCM則通過(guò)拉大類中心間的距離，同時(shí)考慮了類內(nèi)與類間的關(guān)系，使得邊界處的模糊數(shù)據(jù)得到了較好的劃分，因此分類性能較其他4種算法有了一定的提高。

3.3UCI真實(shí)數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)

為了更好地證明本文算法的聚類優(yōu)越性以及魯棒性，與相關(guān)的傳統(tǒng)算法進(jìn)行比較，本文采用4個(gè)經(jīng)典的UCI真實(shí)數(shù)據(jù)集進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。表5為本文采用的UCI數(shù)據(jù)集詳細(xì)描述。

通過(guò)表6可以看出，MKFCM在公認(rèn)的高維數(shù)據(jù)集中的聚類性能較之其余4種算法也有了明顯的提升。

通過(guò)表2～4以及表6中MKFCM與傳統(tǒng)的聚類算法在ACC、NMI、RI三種性能指標(biāo)上的比較，可以得到一個(gè)結(jié)論：即本文算法能夠很好地通過(guò)調(diào)節(jié)中心之間的距離來(lái)提高聚類效果，并且特別是對(duì)帶有噪聲和邊界模糊的數(shù)據(jù)集有很好的魯棒性。MKFCM算法，既繼承了傳統(tǒng)算法的可以很好地劃分非線性可分?jǐn)?shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)，又降低了對(duì)噪聲點(diǎn)的敏感程度，還能較好地對(duì)邊界模糊數(shù)據(jù)集進(jìn)行聚類。通過(guò)幾組實(shí)驗(yàn)，很好地證明了類間極大化的KFCM算法，相比其他幾種聚類算法，在ACC、NMI、RI三種性能指標(biāo)上有著明顯的精度提升；但是本文提出的算法也有一些不足，即對(duì)聚類中心初始化以及參數(shù)選擇問(wèn)題仍有待改進(jìn)。

4結(jié)語(yǔ)

KFCM是FCM在高維特征空間中的推廣，本文從特征空間中類與類之間的距離關(guān)系進(jìn)行改進(jìn)，引入了類間極大懲罰項(xiàng)，并引入懲罰因子實(shí)現(xiàn)對(duì)類間劃分的控制，提出了一種基于改進(jìn)型核模糊C均值類間極大化（MKFCM）聚類算法。該算法優(yōu)于現(xiàn)有的FCM、PCM、FPCM、KFCM等算法，聚類的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性有明顯提高，對(duì)噪聲點(diǎn)的魯棒性較佳，對(duì)樣本不平衡數(shù)據(jù)集和邊界模糊數(shù)據(jù)集的聚類效果較好；但是該算法引入了新的參數(shù)且對(duì)參數(shù)的確定沒(méi)有較好的辦法，所以接下來(lái)的方向主要是研究如何確定參數(shù)使得聚類的效果最好。

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