基于奇異值分解的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法

趙　輝　金勝杰

(重慶郵電大學(xué)光通信與網(wǎng)絡(luò)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室　重慶 400065)

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基于奇異值分解的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法

趙輝金勝杰

(重慶郵電大學(xué)光通信與網(wǎng)絡(luò)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室重慶 400065)

摘要在壓縮感知CS(Compressed Sensing)理論中，測(cè)量矩陣的構(gòu)造至關(guān)重要，其性能直接影響到數(shù)據(jù)壓縮采樣的效率及信號(hào)的重構(gòu)質(zhì)量。針對(duì)Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣重構(gòu)性能不高的問(wèn)題，提出一種基于奇異值分解的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法。首先對(duì)Toeplitz矩陣進(jìn)行奇異值分解，然后通過(guò)對(duì)該矩陣的非零奇異值進(jìn)行優(yōu)化來(lái)提高矩陣的列向量獨(dú)立性，從而提高其重構(gòu)性能。仿真結(jié)果表明，相比較未優(yōu)化的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣以及當(dāng)前常用的高斯隨機(jī)矩陣，當(dāng)采用優(yōu)化后的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮感知時(shí)，信號(hào)的重構(gòu)精度得到顯著提高。

關(guān)鍵詞壓縮感知測(cè)量矩陣托普利茲結(jié)構(gòu)奇異值分解信號(hào)重構(gòu)

0引言

壓縮感知CS[1,2]理論突破了奈奎斯特采樣定理對(duì)信號(hào)采集與處理的限制，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)采集與數(shù)據(jù)壓縮的同時(shí)進(jìn)行。在很大程度上減少了數(shù)據(jù)采樣所需要的時(shí)間和存儲(chǔ)數(shù)據(jù)所需要的空間，為圖像信號(hào)的采集和壓縮的研究提供了一種新的理論依據(jù)。在壓縮感知理論中，測(cè)量矩陣性能的優(yōu)劣直接關(guān)系到信號(hào)重建精度的高低與重構(gòu)速度的快慢。當(dāng)前常用的測(cè)量矩陣大部分是隨機(jī)的，然而，這類矩陣通常不易于硬件實(shí)現(xiàn)，由于將測(cè)量矩陣予以硬件實(shí)現(xiàn)是壓縮感知理論應(yīng)用到實(shí)際中的一個(gè)重要條件。因此，構(gòu)造具有較高重構(gòu)性能并且易于硬件實(shí)現(xiàn)的的測(cè)量矩陣具有重要意義。

根據(jù)矩陣元素的隨機(jī)性和確定性可將測(cè)量矩陣分為兩類，即隨機(jī)測(cè)量矩陣和確定性測(cè)量矩陣[3]。隨機(jī)測(cè)量矩陣包含高斯隨機(jī)矩陣、稀疏投影矩陣以及貝努利矩陣等。其主要特點(diǎn)是矩陣的每個(gè)元素都服從獨(dú)立同分布，因此隨機(jī)測(cè)量矩陣的列向量具有較好的非相關(guān)性，所以只需較少的采樣值就能完成原信號(hào)的精確重建。但是，隨機(jī)測(cè)量矩陣占用存儲(chǔ)空間較大、計(jì)算復(fù)雜度高且難以硬件實(shí)現(xiàn)。確定性矩陣包括Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣、循環(huán)矩陣等，其主要特點(diǎn)是易于硬件實(shí)現(xiàn)，但相比較隨機(jī)測(cè)量矩陣，其重構(gòu)性能較低。在確定性測(cè)量矩陣中[4-7]，Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣是通過(guò)行向量的循環(huán)移位來(lái)構(gòu)造整個(gè)矩陣。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，這種循環(huán)移位非常易于硬件實(shí)現(xiàn)，并且Toeplitz矩陣是一種高度結(jié)構(gòu)化的矩陣，矩陣的結(jié)構(gòu)化可以提升計(jì)算速度及降低計(jì)算復(fù)雜度。然而同大多數(shù)確定性測(cè)量矩陣[8,9]一樣，Toeplitz矩陣相比較高斯隨機(jī)矩陣等隨機(jī)測(cè)量矩陣也存在重建精度不高的問(wèn)題[10-12]。為了確保原信號(hào)進(jìn)行較高精度的重建，通常需要較多數(shù)目的測(cè)量值，而在實(shí)際應(yīng)用中獲得較多測(cè)量值需要付出很大的代價(jià)。

針對(duì)易于硬件實(shí)現(xiàn)的Toeplitz矩陣重構(gòu)性能較低的問(wèn)題，本文提出一種基于奇異值分解的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法。通過(guò)對(duì)該矩陣的奇異值進(jìn)行優(yōu)化來(lái)提高測(cè)量矩陣的列向量獨(dú)立性，從而提高其重構(gòu)性能。仿真結(jié)果表明：在相同的稀疏基和重構(gòu)算法下，無(wú)論是重構(gòu)圖像的視覺(jué)效果還是重構(gòu)圖像的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)值，當(dāng)采用本文方法優(yōu)化后的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣進(jìn)行壓縮感知時(shí)，總體上圖像信號(hào)重構(gòu)結(jié)果要好于采用未優(yōu)化的Toeplitz測(cè)量矩陣和高斯隨機(jī)矩陣時(shí)的情況，即本文構(gòu)造的基于奇異值分解的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣具有較好的重構(gòu)性能。

1壓縮感知理論框架

1.1壓縮感知理論的數(shù)學(xué)模型

(1)

其中，式(1)中Ψ=[ψ1,ψ2,…,ψN]為N×N的正交基矩陣，θ=[θ1,θ2,…,θN]T為系數(shù)向量。若系數(shù)向量θ中只有K(K?N)個(gè)非零系數(shù)，那么稱信號(hào)x在基矩陣Ψ下為K稀疏信號(hào)。將信號(hào)x投影到與稀疏基不相關(guān)的測(cè)量矩陣ΦM×N(M?N)上，即對(duì)信號(hào)x執(zhí)行壓縮觀測(cè)，可得：

y=Φx=ΦΨθ

(2)

信號(hào)的重建就是通過(guò)M維的測(cè)量值y來(lái)恢復(fù)N維的原始信號(hào)x，由于測(cè)量值維數(shù)M?N，因此求解式(2)的過(guò)程是病態(tài)的，即無(wú)法直接求解。但是若原信號(hào)x是稀疏的或可壓縮的，且測(cè)量矩陣滿足有限等距性質(zhì)RIP(RestrictedIsometryPrinciple)[1,2]，那么可通過(guò)求解下述最小l0范數(shù)問(wèn)題來(lái)精確求解原始信號(hào)x，即：

(3)

由于對(duì)l0范數(shù)問(wèn)題的求解是NP-hard的，且最小l0范數(shù)問(wèn)題和最小l1范數(shù)問(wèn)題在測(cè)量矩陣滿足RIP的條件下是等價(jià)的[1]，因此式(3)可轉(zhuǎn)化為：

(4)

壓縮感知過(guò)程如圖1所示。

圖1壓縮感知過(guò)程

1.2測(cè)量矩陣滿足的約束條件

測(cè)量矩陣是壓縮感知理論的重要組成部分，為了確保信號(hào)進(jìn)行有效的壓縮和精確的重構(gòu)，測(cè)量矩陣應(yīng)滿足一定的條件。Candes等人提出了測(cè)量矩陣所滿足的RIP準(zhǔn)則[13]，該準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)描述為：對(duì)于任意K稀疏信號(hào)x和常數(shù)δK∈(0,1)，如果：

(5)

成立，則稱測(cè)量矩陣滿足有限等距性質(zhì)。

在測(cè)量矩陣的構(gòu)造過(guò)程中，幾乎很難驗(yàn)證矩陣是否滿足RIP條件。通?？梢圆捎猛琑IP準(zhǔn)則等價(jià)的性質(zhì)，即矩陣非相干性[14,15]來(lái)作為測(cè)量矩陣構(gòu)造的理論指導(dǎo)。研究表明：在正交稀疏基Ψ確定的情況下，可從測(cè)量矩陣的列向量相關(guān)性方面入手設(shè)計(jì)測(cè)量矩陣。為了指導(dǎo)構(gòu)造測(cè)量矩陣，在文獻(xiàn)[1]中Donoho給出了測(cè)量矩陣所要滿足的三個(gè)基本特征：(1) 由測(cè)量矩陣的列向量組成的子矩陣的最小奇異值必須大于一定的常數(shù)，即測(cè)量矩陣的列向量在一定程度上要具有較好的線性非相干性；(2) 測(cè)量矩陣的列向量要滿足一定程度上的隨機(jī)性；(3) 在一定稀疏度條件下的解則為滿足1-范數(shù)最小的列向量。這三個(gè)特征為測(cè)量矩陣的構(gòu)造提供了重要指導(dǎo)，同時(shí)也是本文測(cè)量矩陣優(yōu)化算法的重要理論依據(jù)。

2基于奇異值分解的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣構(gòu)造方法

奇異值分解SVD(SingularValueDecomposition)廣泛應(yīng)用于信號(hào)與圖像處理、最小二乘問(wèn)題、酉不變范數(shù)理論、特征值問(wèn)題以及優(yōu)化問(wèn)題等領(lǐng)域。它是矩陣論和線性代數(shù)中一種很重要的矩陣分解算法[16-21]。

2.1矩陣奇異值分解

(6)

其中，Σ=diag(δ1,δ2,…,δr)，U滿足UHAAHU是對(duì)角矩陣，V滿足VHAHAV是對(duì)角矩陣。那么稱式(6)為矩陣A的奇異值分解。矩陣奇異值分解具有以下主要性質(zhì)：

性質(zhì)1矩陣非零奇異值的個(gè)數(shù)與該矩陣的秩相等。設(shè)矩陣A∈Cm×n，且其秩rank(A)=r，則A的奇異值滿足σ1≥σ2≥…≥σr>σr+1=…=σm=0。

2.2基于奇異值分解的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣優(yōu)化算法

測(cè)量矩陣要滿足的第一個(gè)特征指出：測(cè)量矩陣的列向量要具有比較好的線性非相關(guān)性，然而矩陣的線性非相關(guān)性與矩陣的最小奇異值密切相關(guān)。若矩陣的最小奇異值越小，那么矩陣的線性相關(guān)性越大，即其獨(dú)立性越弱。當(dāng)測(cè)量矩陣最小的奇異值近似為0時(shí)，則矩陣列向量的線性獨(dú)立性趨于最小。因此，本文提出了一種基于奇異值分解的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)方法，目的是通過(guò)增大矩陣的奇異值來(lái)提高矩陣列向量的線性獨(dú)立性。

通常情況下，理論上常用的測(cè)量矩陣在實(shí)際應(yīng)用中具有局限性，難以硬件實(shí)現(xiàn)，滿足一定條件的測(cè)量矩陣才能更好地予以硬件實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[3]給出了能在實(shí)際中應(yīng)用的測(cè)量矩陣應(yīng)滿足以下性質(zhì)：(1) 測(cè)量矩陣和稀疏基矩陣要具有較強(qiáng)的不相干性，以確保信號(hào)進(jìn)行較高精度的重建；(2) 測(cè)量值的數(shù)目要盡量與理論值相接近，以降低獲取測(cè)量值的成本；(3) 矩陣要具有較強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性，以減小采樣與重建的復(fù)雜度；(4) 占用存儲(chǔ)空間小，構(gòu)造元素簡(jiǎn)單，并且易于硬件實(shí)現(xiàn)。因此，為了使構(gòu)造的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，并且能夠更好地通過(guò)實(shí)際硬件予以實(shí)現(xiàn)，那么該矩陣的元素可由0、1來(lái)組成。

綜上，該方法首先生成一個(gè)元素由0、1隨機(jī)組成的行向量u=(u1,u2,…,uN,uN+1,…,uN+M-1)。然后根據(jù)向量u來(lái)構(gòu)造Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣Φ，接下來(lái)對(duì)測(cè)量矩陣Φ進(jìn)行奇異值分解，并對(duì)奇異值進(jìn)行優(yōu)化處理，得到新的測(cè)量矩陣Φ′。并且該優(yōu)化過(guò)程并沒(méi)有改變矩陣非零奇異值的個(gè)數(shù)，因此，由性質(zhì)1可知，該優(yōu)化過(guò)程并沒(méi)有改變矩陣的秩。然后再根據(jù)性質(zhì)2和推論1，對(duì)新構(gòu)造的測(cè)量矩陣Φ′作負(fù)元素置0，非負(fù)元素置1的近似處理，得到最終由0、1元素組成的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣Φ″。具體步驟如下：

步驟1生成一個(gè)隨機(jī)向量u，其元素由滿足隨機(jī)分布的0、1組成，即u=(u1,u2,…,uN,uN+1,…,uN+M-1)；

步驟2利用步驟1生成的向量u構(gòu)造Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣Φ∈RM×N(M

(7)

步驟3對(duì)矩陣Φ∈RM×N(M

(8)

其中矩陣U、V分別為M×M維和N×N維的酉矩陣，Σ=diag(σ1,σ2,…,σM)，σ1≥σ2≥…≥σM為矩陣Φ的非零奇異值；

步驟5構(gòu)造新的測(cè)量矩陣Φ′。

(9)

步驟6將矩陣Φ′的元素進(jìn)行近似處理，即將測(cè)量矩陣Φ′中非負(fù)元素置1，負(fù)元素置0，得到最終所求測(cè)量矩陣Φ″。

對(duì)Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣進(jìn)行優(yōu)化的流程如圖2所示。

圖2　優(yōu)化算法流程圖

3仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文提出的基于奇異值分解算法構(gòu)造的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣的性能，采用兩幅標(biāo)準(zhǔn)灰度測(cè)試圖像Lena和Peppers進(jìn)行仿真，且這兩幅圖像的分辨率均為256×256。各個(gè)測(cè)量矩陣在圖像的壓縮感知過(guò)程中采用相同的稀疏變換基和重構(gòu)算法，即首先對(duì)這兩幅圖像采用小波變換進(jìn)行稀疏表示。然后再分別利用高斯隨機(jī)矩陣、元素由0、1組成的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣以及采用本文算法優(yōu)化后的由0、1元素組成的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣對(duì)稀疏變換后的圖像信號(hào)進(jìn)行壓縮投影。最后選用OMP重構(gòu)算法來(lái)重構(gòu)原始圖像。

本文通過(guò)重構(gòu)圖像的峰值信噪比PSNR和圖像匹配度match兩項(xiàng)指標(biāo)來(lái)對(duì)圖像的重構(gòu)質(zhì)量進(jìn)行衡量。峰值信噪比和匹配度的定義如下：

PSNR=10lg(2552/MSE)

(10)

同樣地，重構(gòu)圖像匹配度match可表示為：

(11)

表1和表2分別表示當(dāng)測(cè)量矩陣為未優(yōu)化的Toeplitz測(cè)量矩陣、高斯隨機(jī)矩陣以及本文算法優(yōu)化后的Toeplitz測(cè)量矩陣時(shí)，重構(gòu)圖像的峰值信噪比及圖像匹配度隨采樣率變化的仿真結(jié)果比較。

表1　測(cè)試圖像仿真結(jié)果峰值信噪比值比較

表2　測(cè)試圖像仿真結(jié)果匹配度值比較

由表1和表2可知，重構(gòu)圖像的峰值信噪比和圖像匹配度均隨著采樣率的增大而增加。從表1可以明顯看出，當(dāng)信號(hào)采樣率一定的情況下，采用優(yōu)化后的Toeplitz結(jié)構(gòu)矩陣作為測(cè)量矩陣時(shí)，重構(gòu)圖像的PSNR值要高于采用高斯隨機(jī)矩陣和未優(yōu)化的Toeplitz矩陣作為測(cè)量矩陣時(shí)的情況。同樣地，從表2可以得到，當(dāng)測(cè)量矩陣為優(yōu)化后的Toeplitz矩陣時(shí)，在采樣率相同的條件下，重構(gòu)圖像的匹配度要高于采用其他兩種測(cè)量矩陣時(shí)的情況。表1和表2的仿真結(jié)果說(shuō)明采用本文算法優(yōu)化后的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣的重構(gòu)性能得到顯著提高。

為了直觀驗(yàn)證優(yōu)化后的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣的重構(gòu)性能，圖3與圖4分別給出了不同采樣率下Lena圖像與Peppers圖像采用高斯隨機(jī)矩陣、Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣及優(yōu)化后的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣進(jìn)行觀測(cè)時(shí)的峰值信噪比對(duì)比圖；同樣地，圖5與圖6分別給出了不同采樣率下這兩幅圖像采用高斯隨機(jī)矩陣、Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣及優(yōu)化后的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣進(jìn)行觀測(cè)時(shí)的匹配度對(duì)比圖。

圖3　Lena圖像在不同測(cè)量矩陣下的PSNR值比較

圖4　Peppers圖像在不同測(cè)量矩陣下的PSNR值比較

圖5　Lena圖像在不同測(cè)量矩陣下的match值比較

圖6　Peppers圖像在不同測(cè)量矩陣下的match值比較

從圖3和圖4可以看出，隨著采樣率的增大，圖像的峰值信噪比逐漸增加，表明這幾種測(cè)量矩陣的重構(gòu)效果隨著采樣率的增大逐漸增強(qiáng)。此外，在相同的采樣率下，當(dāng)測(cè)量矩陣為高斯隨機(jī)矩陣時(shí)，重構(gòu)圖像的PSNR值大于測(cè)量矩陣為未優(yōu)化的Toeplitz矩陣時(shí)的情況。而本文對(duì)Toeplitz矩陣進(jìn)行優(yōu)化處理后，其重構(gòu)圖像的PSNR值又大于采用高斯隨機(jī)矩陣時(shí)的情況。并且在采樣率大于0.5時(shí)，重構(gòu)圖像PSNR值趨于近似線性增加。

同樣由圖5和圖6可得，采用優(yōu)化后的Toeplitz矩陣作為測(cè)量矩陣時(shí)，在同樣的采樣率下，重構(gòu)圖像的匹配度值大于采用高斯隨機(jī)矩陣和未優(yōu)化的Toeplitz矩陣時(shí)的情況，表明優(yōu)化后的Toeplitz矩陣具有較高的重構(gòu)精度。因此，本文對(duì)Toeplitz矩陣優(yōu)化后，可顯著提高重建圖像的PSNR值及匹配度值。

為了進(jìn)一步對(duì)比高斯隨機(jī)矩陣、Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣、優(yōu)化后的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣的重構(gòu)性能，圖7和圖8分別給出了Lena與Peppers圖像在相同的稀疏基和重構(gòu)算法下，當(dāng)采樣率為0.5時(shí)重構(gòu)圖像的視覺(jué)效果比較。

圖7　Lena圖像在采樣率為0.5時(shí)的重構(gòu)效果圖

圖8　Peppers圖像在采樣率為0.5時(shí)的重構(gòu)效果圖

從圖7和圖8可以看出，當(dāng)采樣率取值0.5時(shí)，測(cè)量矩陣為高斯隨機(jī)矩陣時(shí)重構(gòu)圖像的視覺(jué)效果要優(yōu)于測(cè)量矩陣為未優(yōu)化的Toeplitz矩陣的情況。并且當(dāng)測(cè)量矩陣為優(yōu)化后的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣時(shí)，重構(gòu)圖像的視覺(jué)效果又好于采用高斯隨機(jī)矩陣的情況。尤其是采用優(yōu)化后的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣對(duì)圖像進(jìn)行壓縮觀測(cè)時(shí)，重構(gòu)圖像的邊緣及輪廓更加清晰，塊效應(yīng)較弱，即顯著提高了圖像重建質(zhì)量。

4結(jié)語(yǔ)

針對(duì)易于硬件實(shí)現(xiàn)的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣重建精度不高的問(wèn)題，本文提出了一種基于奇異值分解的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣優(yōu)化方法。將Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣進(jìn)行奇異值分解，并對(duì)該矩陣的奇異值進(jìn)行優(yōu)化處理，通過(guò)增大矩陣的奇異值來(lái)提其列向量線性獨(dú)立性，進(jìn)而提高其重構(gòu)性能。仿真結(jié)果表明：相比較當(dāng)前常用的高斯隨機(jī)矩陣以及未優(yōu)化的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣，采用本文提出的基于奇異值分解的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣作為測(cè)量矩陣進(jìn)行圖像信號(hào)壓縮感知時(shí)，重構(gòu)圖像的匹配度、PSNR值均得到了顯著提高，并且重構(gòu)圖像的主觀視覺(jué)效果也得到了明顯提升。因此，本文提出的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣優(yōu)化方法有效提高了該測(cè)量矩陣的重構(gòu)性能。

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TOEPLITZ STRUCTURE MEASUREMENT MATRIX CONSTRUCTION METHOD BASEDONSINGULARVALUEDECOMPOSITION

Zhao HuiJin Shengjie

(Key Laboratory of Optical Communication and Networks,Chongqing University of Posts and Telecommunictions,Chongqing 400065,China)

AbstractThe construction of measurement matrix is crucial to compressed sensing theory, its performance directly affects the efficiency of data sampling compression and the quality of signal reconstruction. In view of the fact that the performance of Toeplitz structure measurement matrix reconstruction is not high, we proposed a singular value decomposition-based construction method for Toeplitz structure measurement matrix. First, it decomposes the Toeplitz matrix by using singular value decomposition algorithm, then it enhances the independence of column vectors of the matrix by optimising its nonzero singular values, so as to improve the reconstruction performance. Simulation results showed that compared with the non-optimised Toeplitz structure measurement matrix and the frequently used Gauss random matrix, the signal reconstruction accuracy gained significant improvement when using the optimized Toeplitz structure measurement matrix to carry out compressed sensing on signals.

KeywordsCompressed sensingMeasurement matrixToeplitz structureSingular value decompositionSignal reconstruction

收稿日期：2014-12-10。國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61271261)；重慶市科委自然科學(xué)基金項(xiàng)目(CSTC2012jjA40048)。趙輝，副教授，主研領(lǐng)域：現(xiàn)代信號(hào)與圖像處理，空間光通信及光信息處理。金勝杰，碩士生。

中圖分類號(hào)TP301

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

DOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2016.06.044