樣條函數(shù)在構(gòu)造債券收益率曲線中的應(yīng)用

楊　柳

(復(fù)旦大學(xué)軟件學(xué)院　上海 201203)

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樣條函數(shù)在構(gòu)造債券收益率曲線中的應(yīng)用

楊柳

(復(fù)旦大學(xué)軟件學(xué)院上海 201203)

摘要針對(duì)債券市場(chǎng)上蕪雜的行情數(shù)據(jù)，提出將DBSCAN聚類算法應(yīng)用于構(gòu)造債券收益率曲線樣條函數(shù)。通過(guò)運(yùn)用DBSCAN算法對(duì)用于構(gòu)造債券收益率曲線的行情數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析，能夠有效地剔除市場(chǎng)上的異常交易數(shù)據(jù)。在聚類分析結(jié)果的基礎(chǔ)上，再次應(yīng)用DBSCAN算法于構(gòu)造債券收益率曲線，根據(jù)市場(chǎng)上行情數(shù)據(jù)的密集區(qū)域?qū)訔l函數(shù)進(jìn)行分段。此外，針對(duì)傳統(tǒng)的依賴于經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行債券收益率曲線樣條函數(shù)分段點(diǎn)選取的缺點(diǎn)，使用DBSCAN算法可有效地提高債券收益率曲線和行情數(shù)據(jù)的符合程度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，將DBSCAN算法用于構(gòu)建債券收益率曲線樣條函數(shù)，可以提高收益率曲線反映利率期限結(jié)構(gòu)波動(dòng)及準(zhǔn)確性的效果。

關(guān)鍵詞債券收益率曲線樣條函數(shù)聚類分析DBSCAN算法利率期限結(jié)構(gòu)

0引言

債券作為一類固定收益證券，是資本市場(chǎng)的重要組成部分，債券收益率曲線對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展及金融體系的完善起著重要的作用。隨著中國(guó)資本市場(chǎng)的逐步完善，對(duì)于債券收益率曲線也受到了市場(chǎng)前所未有的關(guān)注。

市場(chǎng)上債券的交易存在著流動(dòng)性偏差以及操作方式多樣化的特點(diǎn)。券商需要知道隨市場(chǎng)波動(dòng)的債券價(jià)格以開展業(yè)務(wù)操作，因此必須對(duì)盡可能多的債券進(jìn)行估值。將市場(chǎng)上的行情數(shù)據(jù)引入樣條函數(shù)，構(gòu)造債券收益率曲線，并保證曲線的連續(xù)性以及平滑性,可以更為合理地對(duì)市場(chǎng)上發(fā)行的債券進(jìn)行估值。從收益率曲線構(gòu)造模型的研究角度出發(fā)，可以分為靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型兩類[1]。從國(guó)際上債券估值的經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，美國(guó)和日本的央行使用的曲線模型是根據(jù)Fisher、Nychka和Zervos提出的，基于McCulloch三次樣條函數(shù)的三次平滑樣條函數(shù)；英國(guó)央行的曲線模型使用的是基于平滑樣條的VRP(VariableRoughnessPenalty)方法，Waggoner(1997)地將平滑樣條常數(shù)粗糙度懲罰項(xiàng)優(yōu)化為可變的粗糙度懲罰項(xiàng)[2]；除英國(guó)以外的其他歐洲國(guó)家則都采用的是NS模型或者是NSS模型，NS模型的主要特點(diǎn)就是簡(jiǎn)潔，對(duì)于簡(jiǎn)單的收益率曲線，能夠較好地估計(jì)它的形態(tài)[3]，但是曲線的擬合程度并不高，特別是用于較為復(fù)雜的期限結(jié)構(gòu)，所以Svensson擴(kuò)展了NS模型，即NSS模型，它能夠有效地提高曲線擬合的效果[4]。除此以外Hermite差值方法在國(guó)際上也有機(jī)構(gòu)使用，比如美國(guó)的財(cái)政部。從上述國(guó)際機(jī)構(gòu)使用收益率曲線構(gòu)造模型的情況來(lái)看，基本上大部分的國(guó)際機(jī)構(gòu)都選擇使用了靜態(tài)模型，并且資本市場(chǎng)越是發(fā)達(dá)的國(guó)家，越是偏向于使用樣條函數(shù)構(gòu)造收益率曲線。

傳統(tǒng)的樣條函數(shù)分段處理方式中，分段點(diǎn)的選取通常依賴于經(jīng)驗(yàn)，并且分界點(diǎn)通常取1、3、5等[5]，債券的性質(zhì)決定債券市場(chǎng)的交易具有局部性的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的處理方式不能隨著市場(chǎng)的變動(dòng)調(diào)整樣條函數(shù)參數(shù)數(shù)量，即曲線的擬合程度不足。針對(duì)以上不足，本文利用債券交易局部性的特點(diǎn)，利用DBSCAN算法對(duì)樣條函數(shù)進(jìn)行分段，DBSCAN算法是一種較為常見的基于密度的聚類方法[6], 聚類分析是數(shù)據(jù)挖掘的常用的方法之一，數(shù)據(jù)挖掘就是從大量的市場(chǎng)交易數(shù)據(jù)中提取包含在其中的隱藏的知識(shí)的過(guò)程。能夠識(shí)別出運(yùn)營(yíng)數(shù)據(jù)中的孤立點(diǎn)，去除噪音，消除數(shù)據(jù)中的不一致[7]。董樂(lè)在研究債券流動(dòng)性溢價(jià)的問(wèn)題的時(shí)候使用了聚類方法進(jìn)行樣本篩選[8]，將聚類結(jié)果用于債券溢價(jià)模型[9,10]，雖然聚類在該過(guò)程中屬于一個(gè)輔助的過(guò)程，卻增加實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可信度。許瑾在研究資產(chǎn)定價(jià)模型問(wèn)題時(shí)使用聚類分析方法對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類[11]，證明聚類分析在辨別數(shù)據(jù)有效性時(shí)具有較好的效果。特別是DBSCAN算法，它的優(yōu)點(diǎn)是能夠發(fā)現(xiàn)任意形狀的聚類簇，聚類算法執(zhí)行速度較快以及不受數(shù)據(jù)錄入順序的影響，用來(lái)根據(jù)市場(chǎng)上的交易數(shù)據(jù)來(lái)擬合債券收益率曲線，提高收益率曲線反映債券利率期限結(jié)構(gòu)波動(dòng)情況及其準(zhǔn)確性。

1債券收益率曲線擬合數(shù)據(jù)分析

用于構(gòu)造債券收益率曲線的數(shù)據(jù)往往過(guò)多地依賴于人為判斷，因此債券收益率曲線擬合時(shí)，擬合程度與光滑程度之間的平衡直接受制于人為因素，除此以外，現(xiàn)有市場(chǎng)債券收益率曲線發(fā)布的現(xiàn)狀不能滿足數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)性要求。所以如何通過(guò)應(yīng)用數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)來(lái)改善上述問(wèn)題，降低人為因素對(duì)于債券收益率曲線準(zhǔn)確性的影響、縮短市場(chǎng)和債券收益率曲線發(fā)布之間的響應(yīng)時(shí)間成了本文解決的問(wèn)題。

2樣條函數(shù)的應(yīng)用過(guò)程

目前市場(chǎng)上發(fā)布債券收益率曲線的機(jī)構(gòu)每日只在市場(chǎng)收盤時(shí)發(fā)布一次，比如中國(guó)在債券收益率曲線編制方面最具影響力的公司——中國(guó)債券登記結(jié)算有限公司，也僅僅在每日盤終向市場(chǎng)發(fā)布數(shù)據(jù)。從某種程度上而言，用債券收益率曲線來(lái)反映債券市場(chǎng)波動(dòng)，在時(shí)效性方面是不足的，特別是除了“11超日債”成為了中國(guó)債券歷史上首例違約的事件之外，還有類似于“PR青州債”在盤中被交易所公告“重大事項(xiàng)未公布，暫停交易”的情況發(fā)生?？梢哉J(rèn)為中國(guó)債市也同樣存在風(fēng)險(xiǎn)，捕捉市場(chǎng)對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的反映往往比給風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)更為重要。目前為止國(guó)內(nèi)大部分的研究都集中于提升收益率曲線模型有效性，而輕于數(shù)據(jù)的處理，個(gè)人認(rèn)為，數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性比模型的可用性更為重要，所以債券收益率曲線擬合的效果受到用于擬合曲線的行情數(shù)據(jù)處理效果的影響。

雖然DBSCAN算法在執(zhí)行時(shí)需要預(yù)先制定相關(guān)參數(shù)，并且也存在諸如OPTICS算法對(duì)于該方面進(jìn)行了改進(jìn)[12]，但是在擬合債券收益率曲線時(shí)，本文卻使用了DBSCAN算法?，F(xiàn)代金融學(xué)雖然是建立在理性人假設(shè)基礎(chǔ)之上的，但是金融市場(chǎng)在理論實(shí)踐方面仍然是個(gè)弱有效的市場(chǎng)，所以在樣條函數(shù)應(yīng)用過(guò)程中，使用聚類算法必須將經(jīng)驗(yàn)效用納入考量范圍，因此使用預(yù)先制定參數(shù)的DBSCAN算法更為合適。

2.1DBSCAN聚類算法及交易數(shù)據(jù)篩選

對(duì)幾個(gè)基本的密度聚類算法的定義做以下簡(jiǎn)單的介紹。

(1) ε領(lǐng)域

對(duì)于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)p，其半徑長(zhǎng)度為ε內(nèi)的區(qū)域稱為該數(shù)據(jù)點(diǎn)的ε領(lǐng)域。

(2) 核心對(duì)象

假設(shè)MinPs為某數(shù)據(jù)點(diǎn)ε領(lǐng)域內(nèi)，最少包含的MinPs個(gè)數(shù)的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

(3) 密度可達(dá)

假設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)集Ω，如果存在一組數(shù)據(jù)點(diǎn)p1,p2,…,pn;p1=a;pn=b，對(duì)于任意的pi,1≤i≤n都存在一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)pj,i≠j的ε領(lǐng)域εj，使得pi∈εj，那么則稱數(shù)據(jù)點(diǎn)a與數(shù)據(jù)點(diǎn)b密度可達(dá)。

(4) 噪音的定義

基于密度可達(dá)的最大的ε領(lǐng)域的集合稱之為簇，如果存在一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)p∈Ω，p不屬于任何一個(gè)簇，則該數(shù)據(jù)點(diǎn)p被稱之為噪音。

數(shù)據(jù)挖掘中的DBSCAN算法是基于密度的聚類算法中一個(gè)非常典型的聚類算法, 能夠發(fā)現(xiàn)任意形狀的聚類?；舅枷胧牵涸跀?shù)據(jù)點(diǎn)集Ω的某一個(gè)點(diǎn)p,如果要判斷它是否歸于某一個(gè)簇，在點(diǎn)未分配到某個(gè)簇的時(shí)候，首先判斷點(diǎn)p是否為核心對(duì)象，若p是核心對(duì)象，就對(duì)點(diǎn)p的ε領(lǐng)域進(jìn)行查詢，查詢出所有密度可達(dá)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，形成密度連通集。重復(fù)迭代該過(guò)程，得到所有的密度連通集，最后剩下的不屬于任何密度連通集的數(shù)據(jù)點(diǎn)就被稱為噪音。DBSCAN算法的特點(diǎn)是由核心對(duì)象向周圍進(jìn)行搜索，用以保證密度連通逐個(gè)形成[6]。DBSCAN算法通過(guò)索引相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)，對(duì)于全部的數(shù)據(jù)點(diǎn)只索引一次，加快索引速度。在選擇下一個(gè)待處理的數(shù)據(jù)點(diǎn)前，排除當(dāng)前ε領(lǐng)域內(nèi)的點(diǎn)，減少重復(fù)查詢的次數(shù)[13]。

在行情交易數(shù)據(jù)篩選中使用密度聚類的過(guò)程就是，首先基于歷史數(shù)據(jù)找出在發(fā)生行情的債券剩余期限附近的價(jià)格波動(dòng)區(qū)間，在區(qū)間之外的可以認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)；然后在異常數(shù)據(jù)附近尋找臨近的數(shù)據(jù)點(diǎn)，如果低于某個(gè)閾值，就可以認(rèn)為該數(shù)據(jù)為噪音。密度聚類的目標(biāo)就是提供給樣條函數(shù)用于收益率曲線擬合的有效行情數(shù)據(jù)，過(guò)濾掉異常行情數(shù)據(jù)，進(jìn)一步縮小樣條函數(shù)擬合數(shù)據(jù)的范圍，提高擬合曲線效率。使用密度聚類為樣條函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)準(zhǔn)備，首先要去掉那些明顯的異常行情數(shù)據(jù)，即行情數(shù)據(jù)中的孤立點(diǎn)。其次計(jì)算對(duì)應(yīng)收益率曲線在該債券剩余期限處20天內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差，如果這個(gè)債券的交易行情的值在6倍標(biāo)準(zhǔn)差之外，或者在臨近該債券剩余期限的范圍之內(nèi)及2倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，不存在其他的交易行情數(shù)據(jù)，這樣的行情記錄可以刪除，如圖1所示。

圖1　數(shù)據(jù)準(zhǔn)備中刪除數(shù)據(jù)示意圖

2.2樣條函數(shù)分段點(diǎn)的選取

在上述對(duì)于將DBSCAN算法用于判斷異常數(shù)據(jù)是否為噪音，將該算法還可以用于在有效行情中判斷分界點(diǎn)。

(1) 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)指定收益率曲線分界點(diǎn)

根據(jù)陳震構(gòu)造收益率曲線的結(jié)論[5]，首先按照債券期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)上的分段點(diǎn)的選取。一年內(nèi)的債券為到期債券密集的區(qū)域，每0.1年設(shè)置一個(gè)分界點(diǎn)；1至10年為市場(chǎng)上交易比較密集的區(qū)域，每0.5年設(shè)置一個(gè)分界點(diǎn)；10年以上交易量急劇下降，每10年設(shè)置一個(gè)分界點(diǎn)。

(2) 根據(jù)交易密度指定收益率曲線分界點(diǎn)

使用DBSCAN算法，尋找ε為0.01年的行情數(shù)據(jù)領(lǐng)域，尋找交易數(shù)據(jù)的密集區(qū)域，在經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分段的基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)據(jù)密集領(lǐng)域再次進(jìn)行分段。

除此以外，隨著市場(chǎng)交易的繼續(xù)進(jìn)行，原先被判定為異常交易的附近出現(xiàn)了更多的期限結(jié)構(gòu)上臨近的交易行情，則可以認(rèn)為該區(qū)域的行情為合理行情，即孤立點(diǎn)區(qū)間交易密度達(dá)到密度聚類的下限，該數(shù)據(jù)將不被剔除。保留高密度區(qū)域數(shù)據(jù)的示意如圖2所示。

圖2　保留高密度區(qū)域數(shù)據(jù)

2.3樣條函數(shù)的參數(shù)估計(jì)

根據(jù)債券的價(jià)格理論，即債券的估值等于所有未來(lái)現(xiàn)金流的現(xiàn)值之和如下：

(1)

其中，Pj為第j個(gè)債券的估值價(jià)格，Nj為該券現(xiàn)金流的數(shù)量，tm為第m筆現(xiàn)金流的剩余期限，Cj(tm)為第m筆現(xiàn)金流的值，D(tm)為tm時(shí)刻的貼現(xiàn)函數(shù)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后，可以得到函數(shù)式：

(2)

其中Tn為樣條函數(shù)的分界點(diǎn)。上述公式的標(biāo)準(zhǔn)公式如下：

(3)

其中：

(4)

式中的W是一個(gè)對(duì)角矩陣，處于計(jì)算方便的角度考慮，將債券的權(quán)重皆設(shè)置成1，矩陣上的每個(gè)元素代表相關(guān)債券的權(quán)重，將債券的久期的導(dǎo)數(shù)作為權(quán)重如下：

(5)

其中，Duri為第i個(gè)債券的久期，三次分段懲罰項(xiàng)的平滑樣條需要解決的問(wèn)題就是：

(6)

這樣就轉(zhuǎn)化為一個(gè)最小二乘擬合問(wèn)題，通過(guò)迭代擬合求解。

3債券收益率曲線擬合結(jié)果分析

3.1與行情數(shù)據(jù)擬合效果分析

以2013年10月之后將近一個(gè)月的國(guó)債交易數(shù)據(jù)為例，采用上述樣條模型應(yīng)用過(guò)程進(jìn)行實(shí)證分析。表1市場(chǎng)上實(shí)際存在行情數(shù)據(jù)的債券與其估值價(jià)格的偏差分析。

表1　行情價(jià)格數(shù)據(jù)與估值結(jié)果偏差統(tǒng)計(jì)表

其中估值日為20131108那天，行情偏差最小值存在異常數(shù)據(jù)，經(jīng)查證為“光大烏龍指”數(shù)據(jù)如圖3所示。圖中圓圈為發(fā)生異常債券的期限處，并且在行情收益率曲線擬合的時(shí)候已經(jīng)將該異常數(shù)據(jù)予以排除，故并未對(duì)該期限處的收益率曲線波動(dòng)造成太大的影響，體現(xiàn)出在異常數(shù)據(jù)篩選時(shí)密度聚類的有效性。從結(jié)果中還可以發(fā)現(xiàn)，平均的行情數(shù)據(jù)與估值結(jié)果的偏差不足0.1元，所以對(duì)市場(chǎng)上存在行情數(shù)據(jù)的債券來(lái)說(shuō)有很好的估值效果。

圖3　國(guó)債收益率曲線生成效果圖

從收益率曲線幾個(gè)關(guān)鍵的期限來(lái)看，1年內(nèi)、1至3年、3至5年、5至于7年以及7至10年之內(nèi)行情收益率數(shù)據(jù)與曲線收益率數(shù)據(jù)的偏差如表2所示。平均收益率的偏差最大在6BP左右，具有較好的擬合效果。

表2　行情價(jià)格數(shù)據(jù)與估值結(jié)果偏差統(tǒng)計(jì)表

3.2與其他模型生成的收益率曲線數(shù)據(jù)比對(duì)

圖4是使用2014年9月12日中國(guó)債市行情數(shù)據(jù)生成的國(guó)債收益率曲線效果對(duì)比圖。Hermite曲線為中債公司使用Hermite插值方法生成的收益率曲線；Splines曲線為本文通過(guò)樣條函數(shù)的應(yīng)用過(guò)程生成收益率曲線?？梢钥闯鯯plines曲線在10年以內(nèi)的波動(dòng)更大，對(duì)那一天中國(guó)債市的行情數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到表3所示。

圖4　國(guó)債收益率曲線生成效果對(duì)比圖

偏差期限 Hermite均值(%)Hermite中位數(shù)(%)Splines平均值(%)Splines中位數(shù)(%)(0,1]-0.08942-0.06634-0.010280.03767(1,3]-0.06367-0.035830.00444-0.00048(3,5]-0.00651-0.00246-0.00693-0.00030(5,7]0.004470.000130.001520.001866(7,10]0.020700.022800.00051-0.00115

從表3中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，通過(guò)樣條函數(shù)應(yīng)用過(guò)程得到的Splines曲線，雖然在十年之內(nèi)波動(dòng)較大，但是它對(duì)市場(chǎng)上的債券價(jià)格波動(dòng)擬合程度更好。Hermite曲線在不同期限上，與行情發(fā)生價(jià)格偏差最大可達(dá)到9BP、最小接近0.4BP；Splines曲線最大接近4BP、最小只有0.03BP。Hermite曲線構(gòu)造的一個(gè)重要的問(wèn)題就是確定用于插值用的數(shù)據(jù)點(diǎn)，這需要依賴于一個(gè)強(qiáng)大的研究團(tuán)隊(duì)，這樣就無(wú)法發(fā)揮出數(shù)據(jù)挖掘的智能性。

將用于擬合Splines曲線的數(shù)據(jù)用于NSS模型，由于NSS模型的參數(shù)個(gè)數(shù)是確定的，可以使用R程序中的fBonds工具包進(jìn)行優(yōu)化求解，得到模型參數(shù)估計(jì)值，見表4所示。

表4　Nelson Siegel Svensson模型參數(shù)估計(jì)

將NSS模型擬合收益率曲線的結(jié)果與Splines曲線進(jìn)行比對(duì)，就可以發(fā)現(xiàn)NSS模型在擬合收益率曲線方面并不見長(zhǎng)，特別是在行情波動(dòng)比較大的區(qū)域，如圖5所示。

綜上所述，在樣條函數(shù)構(gòu)造債券收益率曲線的過(guò)程中應(yīng)用密度聚類，可以有效地過(guò)濾掉異常數(shù)據(jù)，并且通過(guò)樣條函數(shù)分段點(diǎn)的選取，可以有效提高與市場(chǎng)債券價(jià)格波動(dòng)的符合程度。

圖5　國(guó)債收益率NSS模型曲線生成效果對(duì)比圖

4結(jié)語(yǔ)

傳統(tǒng)的樣條模型分段處理方式中，分界點(diǎn)的選取通常依賴于經(jīng)驗(yàn)，并且分界點(diǎn)通常取1、3、5等[5]。債券的性質(zhì)決定債券市場(chǎng)的交易具有局部性的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的處理方式不能隨著市場(chǎng)的變動(dòng)調(diào)整樣條模型參數(shù)數(shù)量，即曲線的擬合程度以及實(shí)時(shí)性方面存在不足。本文基于DBSCAN算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)于樣條模型分界點(diǎn)的自動(dòng)選取，并在交易不足的區(qū)域保留了分段點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)選取的方式，能夠在交易密集區(qū)提高曲線的擬合程度；在交易稀疏區(qū)指導(dǎo)曲線的走向，從而更好地生成符合市場(chǎng)波動(dòng)的債券收益率曲線。

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APPLICATION OF SPLINE FUNCTION IN CONSTRUCTING BOND YIELD CURVE

Yang Liu

(School of Software Engineering,Fudan University,Shanghai 201203,China)

AbstractIn light of the miscellaneous quotation data in bond market, we proposed to apply the DBSCAN algorithm to constructing the spline function of bond yield curve. By employing DBSCAN algorithm to the cluster analysis of the quotation data, which is used to construct bond yield curve, it is able to eliminate effectively the abnormal transaction data on the market. On the basis of cluster analysis results, we used the DBSCAN algorithm once again to construct the bond yield curve, and segmented the spline function into sections according to the dense regions of quotation data on the market. Besides, targeted at the defect of traditional way that it selects the segment points of spline function of bond yield curve depending on experience, the use of DBSCAN algorithm can effectively improve the conformance between the bond yield curve and the bond quotation data. From the experimental results it is illustrated that to apply the DBSCAN algorithm to constructing the spline function of bond yield curve can improve the effects of reflecting the fluctuations of interest term structure by bond yield curve and its accuracy.

KeywordsBond yield curveSpline functionCluster analysisDBSCAN algorithmInterest term structure

收稿日期：2015-01-13。楊柳，碩士，主研領(lǐng)域：數(shù)據(jù)挖掘。

中圖分類號(hào)TP311

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

DOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2016.06.023