δ-正規(guī)空間中的一些性質(zhì)

蘇　麗

(大連科技學(xué)院 基礎(chǔ)部, 遼寧 大連　116052)

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δ-正規(guī)空間中的一些性質(zhì)

蘇麗

(大連科技學(xué)院 基礎(chǔ)部, 遼寧 大連116052)

摘要：定義了與δ-正規(guī)空間有關(guān)的一些拓?fù)湫再|(zhì),并進(jìn)行了初步的研究，主要討論了拓?fù)淇臻g的非空子空間的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：δ-正則； 超δ-正則； δ-正規(guī)； 強(qiáng)δ-正規(guī)； 幾乎δ-正規(guī)

1基本概念

首先，在這里給出文中所涉及的一些基本概念。

為了方便，在文中X表示拓?fù)淇臻g，Y為X的非空子空間。

定義1稱空間X是δ-正規(guī)的是指如果X中的每一對不相交的閉集A,B存在X中不相交的Gδ-集U,V使得A?U,B?V。

定義2稱空間X是δ-正則的是指對X中任意一點x和不含x的閉集B存在X中不相交的Gδ-集U,V使得x∈U，B?V。

注:類似于定義Y在X中正規(guī)等的相對拓?fù)渌枷?下面給出δ-正規(guī)空間中的一些相對拓?fù)涞亩x[1]。

定義3稱Y在X中δ-正則是指如果對?y∈Y和X中任意不含y的閉子集B,都存在X中不相交的Gδ-集U,V使得y∈U,B∩Y?V。

定義4稱Y在X中δ-正規(guī)是指如果對X中不相交的閉集A,B存在X中不相交的Gδ-集U,V使得A∩Y?U,B∩Y?V。

定義5稱Y在X中幾乎δ-正規(guī)是指如果對X中每一對不相交的閉集A,B，存在Y中不相交的Gδ-集U,V使得A∩Y?U,B∩Y?V。

定義6稱Y在X中強(qiáng)δ-正規(guī)是指如果對Y中每一對不相交的閉集A,B存在X中不相交Gδ-集U,V使得A?U,B?V。

定義7稱Y在X中超δ-正則是指如果對每一個y∈Y和不含y的閉子集B,存在X中不相交的Gδ-集U,V使得y∈U,B?V。

定義8稱Y在X中強(qiáng)δ-正則是指對?y∈X 和X中閉集P,且x?P,都存在X中不相交的Gδ-集U,V使得x∈U,P∩Y?V。

定義9 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,如果X的每一個開覆蓋都有一個可數(shù)子覆蓋,則稱拓?fù)淇臻g是一個lindel?f空間。

定義10稱Y在X中l(wèi)indel?f是指如果對X的任意開覆蓋,都存在可數(shù)的子族γ,使得Y?∪γ。

2主要結(jié)論及其證明

引理1假設(shè)M?X,且M是X上Gδ-子集,如果A?M,那么A是M的Gδ-子集,當(dāng)且僅當(dāng)A是X上Gδ-子集。

證明此引理參閱文獻(xiàn)[2-4]。

定理1若Y是X的Gδ子空間, Y在X中δ-正則?Y是δ-正則空間。

證明“?”Y在X中δ-正則,對Y中的點y及Y中的閉集P，使得y?P， 存在X中的閉集A，使得P=A∩Y，因為Y在X中δ-正則,那么存在X中的不相交的Gδ-集U，V使得y∈U，P=A∩Y?V，而P=A∩Y∩Y?V∩Y，又因為y∈U，y∈Y，所以，y∈U∩Y，P?V∩Y,而U∩Y,V∩Y是Y中不相交的Gδ-集，由定義知Y是δ-正則的。

“?” 取y∈Y, Y中閉集P, y?P, 存在Y中不相交的Gδ-集U,V使得y∈U, P?V,由于Y是X的Gδ-子空間,由引理1知,U,V是X的Gδ-集,存在X中不相交的Gδ-集U′,V′使得U=U′∩Y。V=V′∩Y，所以y∈U=U′∩Y，P?V=V′∩Y,那么y∈U′,P∩Y?V∩Y=V′∩Y∩Y=V′∩Y?V。

定理2Y是X的既開又閉的Gδ-子空間,則Y在X中δ-正則?Y在X中超δ-正則。

證明“?”顯然[5-6]。

“?”已知Y在X中δ-正則,對?y∈Y及X中閉集P,使得y?P,存在X中不相交的Gδ-集U,V使得y∈U,P∩Y?V,因為y∈Y,所以y∈U∩Y 而Y為X的開Gδ-子空間，那么U∩Y為X的開Gδ-子集。令U′=U∩Y，又已知Y是X的閉Gδ-子空間，故X-Y為X開Gδ-子集。

令V′=V∪(X-Y)，則P?V′，故Y在X中超δ-正則。

定理3若Y為X的閉Gδ-子空間，Y在X中幾乎δ-正規(guī)?Y是δ-正規(guī)空間。

證明“?”證明略[7]。

“?”對Y中任意兩個閉集A，B且A∩B=φ，Y為X的閉Gδ-子空間，所以A，B為X的閉集，即A?X，B?X，因為Y在X中幾乎δ-正規(guī)，存在Y中不相交的Gδ-集U，V，使得A∩Y?U，B∩Y?V，而A=A∩Y，B=B∩Y，即A?U，B?V，于是證得Y是δ-正規(guī)空間。

推論1若拓?fù)淇臻gY為X的閉的Gδ-子空間，則下面命題等價。

1)Y在X中幾乎δ-正規(guī)。

2)Y在X中δ-正規(guī)。

3)Y在X中強(qiáng)δ-正規(guī)。

推論2設(shè)X,Y,Z為拓?fù)淇臻g，若Y?Z?X則有:

1)Y在X中δ-正規(guī)，Z為X的Gδ-閉子空間?Y在Z中δ-正規(guī)。

2)Y在Z中強(qiáng)δ-正規(guī),Z為X的Gδ-子空間?Y在X中。

3)Y在X中幾乎δ-正規(guī), Z為X的閉子空間? Y在Z中幾乎δ-正規(guī)。

證明只需證明1),2)和3)的證明方法類似[8]。

因為Z為X的閉的Gδ-子空間,所以?A,B?Z,A∩B=φ,若A,B為Z-閉集,則A,B為X-閉集,又因為Y在X中δ-正規(guī)。所以存在X中的Gδ-集U′,V′使得A∩Y?U′,B∩Y?V′,令U=U′∩Z,V=V′∩Z,則A∩Y?U,B∩Y?V,于是Y在Z中δ-正規(guī)。

定理4Y在X中強(qiáng)δ-正則，Y在X中l(wèi)indel?f,且Y為X的Gδ-子集，則Y在X中δ-正規(guī)。

Y在X中l(wèi)indel?f,存在可數(shù)集A1?A,使得

那么

所以

同理有

由強(qiáng)δ正則的定義知存在不相交的Gδ集U,V對于x∈A,x?B,而B?X-A,那么

由此可以推出

A∩Y?Y-V

同理

B∩Y?Y-U

又因為Y為X的Gδ子集，因此Y在X中δ-正規(guī)[6]。

參考文獻(xiàn)：

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Somepropertiesofδ-normalspaces

SULi

(DepartmentofBasic,DalianInstituteofScienceandTechnology,Dalian116052,China)

Abstract：Sometopologicalpropertiesrelatedwithδ-normalspacearedefined.Thepropertiesofnon-emptyspaceintopologicalspacesarediscussed.

Keywords：δ-regular;superδ-regular; δ-normal;stronglyδ-normal;almostδ-normal.

收稿日期：2016-03-23

基金項目：遼寧省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃(青年科研骨干專項JGZXQDB038)

作者簡介：蘇麗(1981-)，女，漢族，吉林通化人，大連科技學(xué)院講師，碩士，主要從事一般拓?fù)鋵W(xué)方向研究,E-mail:suli_ye05118@sina.com.

DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2016.3.03

中圖分類號：O189.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1674-1374(2016)03-0221-03