基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)模型

姚　成，　　袁宏俊

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠　233000)

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基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)模型

姚成，袁宏俊

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠233000)

摘要：將向量夾角余弦和誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均(IGOWLA)算子相結(jié)合，構(gòu)建了基于向量夾角余弦的IGOWLA算子的組合預(yù)測(cè)模型，并給出了優(yōu)性組合預(yù)測(cè)的概念；最后，根據(jù)實(shí)例驗(yàn)證了該組合預(yù)測(cè)模型是科學(xué)的和有效的，且此模型是優(yōu)性組合預(yù)測(cè).

關(guān)鍵詞：向量夾角余弦；誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均算子；組合預(yù)測(cè)；優(yōu)性預(yù)測(cè)

鑒于各個(gè)預(yù)測(cè)方法的優(yōu)劣，在對(duì)指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的過(guò)程中，僅使用一種方法，勢(shì)必會(huì)影響預(yù)測(cè)精度.基于這一問(wèn)題，Bates和Granger提出了組合預(yù)測(cè)的概念[1].在此之后，組合預(yù)測(cè)方法被廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，同時(shí)越來(lái)越多的學(xué)者將組合預(yù)測(cè)方法作為自己的研究重點(diǎn)，并獲得了很多有價(jià)值的成果[2-7].Yager提出有序加權(quán)平均(OWA)算子[8]，但傳統(tǒng)的組合預(yù)測(cè)方法仍存在對(duì)不同單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法取固定權(quán)系數(shù)的問(wèn)題，基于此，學(xué)者們從改善某種擬合誤差的角度，提出了一系列基于不同算子的組合預(yù)測(cè)方法.例如，陳華友等在文獻(xiàn)[9-11]中在以誤差平方和為準(zhǔn)則的條件下，分別依據(jù)不同的算子建立了組合預(yù)測(cè)模型，并給出了確定權(quán)系數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型；江立輝等[12]創(chuàng)新性的給出了誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均算子(IGOWLA)的概念，并構(gòu)建了根據(jù)IGOWLA算子的點(diǎn)預(yù)測(cè)的組合預(yù)測(cè)模型.傳統(tǒng)的組合預(yù)測(cè)方法大都是以不斷改善擬合誤差平方和為基礎(chǔ)來(lái)建立模型，從而求出權(quán)重系數(shù)，程玲華和陳華友[13]給出了依據(jù)向量夾角余弦的加權(quán)調(diào)和平均組合預(yù)測(cè)模型.本文在此基礎(chǔ)上，結(jié)合IGOWLA算子，從向量夾角余弦出發(fā)，建立基于向量夾角余弦的IGOWLA算子最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型，并給出了針對(duì)該模型的優(yōu)性組合預(yù)測(cè)的概念，最后，根據(jù)實(shí)例驗(yàn)證了該組合預(yù)測(cè)模型是科學(xué)的和有效的.

1基本概念及組合預(yù)測(cè)模型

1.1IGOWLA算子

定義2[14]設(shè)〈v1,a1〉,〈v2,a2〉,…,〈vm,am〉為m個(gè)二維數(shù)組，令

(1)

(2)

在此稱GOWLAw是m維廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均算子，記為GOWLA算子，將a1,a2,…am由大到小進(jìn)行排序，其中第i個(gè)數(shù)即為bi，λ∈(-∞,0)∪(0,+∞).

(3)

則稱函數(shù)IGOWLAw是m維廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均算子，簡(jiǎn)稱IGOWLA算子，其中v-index(i)是v1,v2,…,vm中第i大的元素所對(duì)應(yīng)的下標(biāo)，v1,v2,…,vm稱為誘導(dǎo)變量，λ∈(-∞,0)∪(0,+∞).特殊地，若λ=1時(shí)，IGOWLA算子退化成IOGWA算子.

1.2基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)模型

假設(shè)某指標(biāo)數(shù)據(jù)的實(shí)際值為xt(t=1,2,…,N)，此指標(biāo)數(shù)據(jù)可以通過(guò)m種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，xit是第i種預(yù)測(cè)方法t時(shí)刻相應(yīng)的預(yù)測(cè)值(i=1,2,…,m;t=1,2,…,N).

定義5稱vit為在第t時(shí)刻第i種預(yù)測(cè)方法相應(yīng)的預(yù)測(cè)精度，滿足

(4)

由(4)式知vit∈[0,1]，將vit記為xit的誘導(dǎo)值，因此，第t時(shí)刻可以得到預(yù)測(cè)精度和其對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值的m個(gè)二維數(shù)組〈v1,x1〉,〈v2,x2〉,…,〈vm,xm〉.

設(shè)W=(w1,w2,…wm)T為IGOWLA算子中m種不同預(yù)測(cè)方法的加權(quán)向量，將第t時(shí)刻m種預(yù)測(cè)精度數(shù)據(jù)列v1,v2,…,vm由大到小進(jìn)行排序，記v-index(i)是第i個(gè)預(yù)測(cè)精度的下標(biāo)，根據(jù)定義4，可得預(yù)測(cè)精度序列v1,v2,…,vm所產(chǎn)生的IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)值，記為：

在誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均算子的組合預(yù)測(cè)模型中，為了方便測(cè)算，對(duì)其時(shí)間序列取對(duì)數(shù)λ次冪.

對(duì)(5)式兩邊取對(duì)數(shù)λ次冪，得到：

(6)

定義6令τi和τ分別為：

(7)

(8)

(9)

根據(jù)(9)式，(8)也可表示為：

(10)

τi和τ分別是第i種預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)列、組合預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)列與實(shí)際值數(shù)據(jù)列的向量夾角余弦.顯然τi，τ∈[0,1],且向量夾角余弦值越大表示組合預(yù)測(cè)精度越高.

式(9)表明基于IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際觀察值序列的向量夾角余弦是組合預(yù)測(cè)方法的權(quán)重系數(shù)w1,w2,…wm的函數(shù)，且向量夾角余弦越大，表示組合預(yù)測(cè)方法效果越好.

因此，基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)模型表示為式(10)的最優(yōu)化模型：

(11)

定義7如果τ>τmax，在此將權(quán)重w1,w2,…wm決定的組合預(yù)測(cè)模型稱為優(yōu)性組合預(yù)測(cè)；如果τmin≤τ≤τmax，在此將此組合預(yù)測(cè)模型稱為非劣性組合預(yù)測(cè)；如果τ<τmin，在此將此組合預(yù)測(cè)模型稱為劣性組合預(yù)測(cè).

定義7說(shuō)明當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)列與實(shí)際值數(shù)據(jù)列的向量夾角余弦最大值低于組合預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)列與實(shí)際值數(shù)據(jù)列向量夾角余弦值時(shí)，將此組合預(yù)測(cè)模型稱為優(yōu)性組合預(yù)測(cè)模型.

2實(shí)例分析

為了驗(yàn)證本文提出的組合預(yù)測(cè)模型的優(yōu)越性，選出五種誤差對(duì)模型精度進(jìn)行評(píng)價(jià)：

其中，i=1,2,…,m，表示第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法.

本文利用文獻(xiàn)[16]的數(shù)據(jù)進(jìn)行基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)模型的分析，實(shí)際值和預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)見(jiàn)表1.

表1　實(shí)際值與預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)

依據(jù)(4)式測(cè)算出2種預(yù)測(cè)方法在11個(gè)時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度，見(jiàn)表2.

表2　預(yù)測(cè)精度

將表2的數(shù)據(jù)代入模型(11)中，分別取λ為1、2、3，得到基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)模型的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)，見(jiàn)表3所示.

表3　最優(yōu)權(quán)重系數(shù)

將最優(yōu)權(quán)重系數(shù)代入(12)式的基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)模型:

(12)

可以計(jì)算出不同參數(shù)λ對(duì)應(yīng)的基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)值，數(shù)據(jù)見(jiàn)表4所示.

表4　實(shí)際值及基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)值

利用文中給出的基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)模型的精度評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，可以分別計(jì)算出兩種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法和基于不同參數(shù)λ對(duì)應(yīng)的IGOWLA組合預(yù)測(cè)方法的對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)誤差，如表5所示.

表5　預(yù)測(cè)誤差

由表5可以看出，在λ取1、2、3這三個(gè)值時(shí)，兩種預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)誤差值遠(yuǎn)大于本文給出的組合預(yù)測(cè)模型的誤差值，表明了本文提出的組合預(yù)測(cè)方法好于以上兩種預(yù)測(cè)方法，可以給出精度更高的預(yù)測(cè)結(jié)果.

此外，通過(guò)(7)式能夠測(cè)算出兩種預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)列與實(shí)際值數(shù)據(jù)列的向量夾角余弦，當(dāng)λ取1時(shí)，得τ1=0.999981，τ2=0.999882；當(dāng)λ取2時(shí)，τ1=0.999929，τ2=0.999571；當(dāng)λ取3時(shí)，τ1=0.999849,τ2=0.999107.基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)模型測(cè)算出的預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)列與實(shí)際值數(shù)據(jù)列的向量夾角余弦，在λ取1、2、3時(shí)分別為0.999982、0.999931、0.999850，均大于max(τ1,τ2)，故根據(jù)定義7的表述可知本文給出的組合預(yù)測(cè)模型是優(yōu)性組合預(yù)測(cè).

綜上所述，可以得出基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預(yù)測(cè)模型能夠很好地提高預(yù)測(cè)精度，是一種行之有效的預(yù)測(cè)方法.

3結(jié)語(yǔ)

本文將向量夾角余弦和誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均(IGOWLA)算子相結(jié)合，建立了基于向量夾角余弦的IGOWLA算子的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型，并給出了優(yōu)性組合預(yù)測(cè)的概念，最后，根據(jù)實(shí)例驗(yàn)證了該組合預(yù)測(cè)模型是科學(xué)的和有效的，且此模型是優(yōu)性組合預(yù)測(cè).然而本文對(duì)基于向量夾角余弦的IGOWLA算子的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型的一些性質(zhì)，例如優(yōu)性組合預(yù)測(cè)的存在性等理論問(wèn)題缺乏具體的討論，這些問(wèn)題有待更深入的研究.

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Combination Forecasting Model Based on Vectorial Angle Cosine and IGOWLA Operator

YAO Cheng，YUAN Hong-jun

(AnhuiUniversityofFinanceandEconomics,Bengbu,Anhui233000)

Abstract：An optimal combination forecasting model is proposed based on the combination of vectorial angle cosine and the induced generalized ordered weighted logarithmic averaging(IGOWLA)operator．The conception of superior combination forecasting are given.And it is shown that the model can improve the accuracy of combination forecasting effectively by an example calculation.

Key words：vectorial angle cosine；induced generalized ordered weighted logarithmic averaging(IGOWLA)operator；combination forecasting；superior forecasting

收稿日期：2016-03-21

基金項(xiàng)目：教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金項(xiàng)目：區(qū)間型組合預(yù)測(cè)創(chuàng)新方法及其有效性的研究(12YJC630277)；安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)重點(diǎn)科研基金資助項(xiàng)目：廣義信息集成算子的構(gòu)成及其應(yīng)用的研究(ACKY1612ZDB).

作者簡(jiǎn)介：姚成，1990年生，男，安徽亳州人，碩士研究生，研究方向：經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)；

中圖分類號(hào)：O224

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-9743(2016)05-0025-05

袁宏俊，1978年生，男，安徽廬江人，副教授，碩導(dǎo)，研究方向：組合預(yù)測(cè).