在“解決問題”中滲透數(shù)學思想方法

潘振璋

摘 要：“問題解決”是小學數(shù)學學習的重要能力，貫穿在小學數(shù)學課程的全部內(nèi)容之中。學生在“解決問題”的過程中，不僅需要獲得適應(yīng)未來社會生活所必需的數(shù)學知識以及數(shù)學技能，更需要掌握數(shù)學思想方法。在“解決問題”的教學過程中，教師要滲透分類思想方法、集合思想方法、模型思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法。

關(guān)鍵詞：解決問題；數(shù)學思想方法；滲透

在知識大爆炸的時代，掌握科學的思維方法比獲得知識更重要。數(shù)學思想是數(shù)學方法的進一步提煉和概括，它的抽象概括程度較高；數(shù)學方法則具有可操作性，數(shù)學思想要依靠數(shù)學方法來實現(xiàn)。在“解決問題”的教學過程中，教師要精心挖掘數(shù)學知識和問題背后所蘊含的數(shù)學思想方法，引導學生在掌握知識、解決問題的同時，體驗和領(lǐng)悟數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學思維。

一、滲透分類思想方法

人們面對比較復雜的問題，有時無法通過統(tǒng)一研究或者整體研究解決，需要把研究的對象按照一定的標準進行分類并逐步進行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問題得到解決。其實質(zhì)就是“分而治之、各個擊破、綜合歸納”。這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法，是數(shù)學領(lǐng)域解決問題比較常用的思想方法。

分類的思想方法從一年級下冊的“物體分類整理”到六年級的“數(shù)據(jù)整理”“正、反比例”，在小學數(shù)學中占有比較重要的地位，而且應(yīng)用廣泛。

在日常教學中，由于條件與問題之間的聯(lián)系不是單一的，情況比較復雜，用一般的思維方法難以解決。不妨根據(jù)問題的實際情況和需要恰當分類，并逐類分析思考求解，從而順利解決問題。需要注意的是，應(yīng)用分類思想方法解決問題時要抓住問題的本質(zhì)特征合理分類，做到不重復不遺漏。

例如，圖中一共有多少個三角形？

此題如果直接數(shù)，很容易數(shù)錯，可以運用分類的思想解決：最小的三角形面積為1，則面積為1的三角形有22個；面積為4的三角形有10個；面積為9的三角形有2個，因此共有三角形有34個。

二、滲透集合思想方法

小學數(shù)學的很多內(nèi)容滲透了集合思想。例如在數(shù)的概念方面，自然數(shù)可以從對等集合基數(shù)（元素的個數(shù)）的角度來理解；在一年級時通過兩組數(shù)量相等的實物建立一一對應(yīng)的關(guān)系，讓學生理解“同樣多”的概念，實際上就是在兩個對等集合的元素之間建立一一對應(yīng)；數(shù)的運算也可以從集合的角度來理解，如加法可以理解為兩個交集為空集的集合的并集。

在小學數(shù)學教學中廣泛滲透集合思想，我們要做到以下幾點。

1.正確理解有關(guān)概念。只有正確理解有關(guān)概念，我們才能運用集合進行直觀的運算。

2.正確把握集合思想的教學要求。集合思想雖然在小學數(shù)學中廣泛滲透，但是集合的知識并不是小學數(shù)學的必學內(nèi)容，因而應(yīng)注意把握好知識的難度和要求，盡量使用通俗易懂的語言滲透集合思想。文氏圖、維恩圖除了可以表示概念系統(tǒng)及概念間的關(guān)系外，利用維恩圖進行集合的直觀運算，還可以解決一些分類計數(shù)的問題。

3.集合思想的教學要貫徹小學數(shù)學的始終。如上所述，集合思想在一年級學習之初，學生在學習認數(shù)和分類等知識中就已經(jīng)有所接觸，一直到高年級學習公因數(shù)和公倍數(shù)、三角形和四邊形的分類、數(shù)的分類（正數(shù)、0、負數(shù)）、六年級（下）總復習中對各領(lǐng)域知識的系統(tǒng)整理和復習等等，在不同年級和不同知識領(lǐng)域中都有所滲透。這里涉及了用集合語言表示概念及概念間的關(guān)系、集合的元素之間的對應(yīng)關(guān)系、集合的運算等等。因此，集合思想的滲透不是一朝一夕的事情，而是堅持不懈的長期的過程。

三、滲透模型思想方法

數(shù)學模型是用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征，及數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學符號表達式、圖形和圖表，因而它與符號化思想有很多的相通之處，同樣具有普遍的意義。數(shù)學模型是運用數(shù)學的語言和工具，對現(xiàn)實的一些信息進行適當簡潔化，經(jīng)過推理和運算，對相應(yīng)的數(shù)據(jù)進行分析、預(yù)測、決策和控制，并要經(jīng)過實踐的檢驗。

模型思想在小學數(shù)學中廣泛滲透，在教學中要做到幾點：1.讓學生學習的過程經(jīng)歷類似于數(shù)學家建模的再創(chuàng)造；2.根據(jù)對現(xiàn)實情景的分析，利用已有的數(shù)學知識建構(gòu)模型；3.應(yīng)用已有的數(shù)學知識分析數(shù)量關(guān)系和空間形式，經(jīng)過抽象建立模型，進行解決各種問題。

以植樹問題為例，可以封閉圓圈植樹問題為核心模型，再演示出其他模型。封閉圓圈植樹中的點與間隔一一對應(yīng)，長度÷間隔=棵數(shù)。再根據(jù)實際情況演示出其他模型：（1）一端栽一端不栽與封閉圓圈植樹模型相同：長度÷間隔=棵數(shù)；（2）兩端都栽：長度÷間隔+1=棵數(shù)；（3）兩端都不栽：長度÷間隔-1=棵數(shù)。

四、滲透數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)形結(jié)合思想方法，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式相互滲透、相互轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形結(jié)合起來，使得抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化、生動化、簡單化，有利于學生準確把握數(shù)學問題的本質(zhì)。數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學中的應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助數(shù)的精確性、程序性和可操作性來明確闡述形的某些屬性，可稱為“以數(shù)解形”；二是借助形的幾何直觀性來闡述某些概念和數(shù)之間的關(guān)系，可稱為“以形助數(shù)”。

數(shù)形結(jié)合思想的教學，我們要注意：1.正確理解數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合中的“形”主要是幾何圖形和圖像；2.適當拓展數(shù)形結(jié)合思想的運用。數(shù)形結(jié)合思想中的以數(shù)解形在中學應(yīng)用得較多，小學數(shù)學中常見的就是計算圖形的周長、面積和體積等內(nèi)容。

正如數(shù)學家華羅庚的論述：“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微?！苯鉀Q一些數(shù)量關(guān)系復雜、一般思考方法難以解決的問題時，可以把問題中的數(shù)量關(guān)系用圖形直觀形象地表示出來，變抽象思維為形象思維，然后“按圖索驥”，迅速發(fā)現(xiàn)解決問題的方法和途徑。

例如，六年級同學表演團體操，如果每排少站3人，正好排10行；如果每排多站5人，正好排6行。六年級有多少名同學參加團體操表演？

題中數(shù)量關(guān)系比較抽象復雜，可以用長方形ABCD 的長表示團體操隊列的排數(shù)，寬表示每排的人數(shù)，用長方形的面積表示參加團體操表演的人數(shù)?！叭绻颗派僬?人，正好排10行”即長方形ABCD 的寬減少3，長增加到10；“如果每排多站5人，正好排6行”即長方形的寬增加5，長減少到6。由于參加團體操表演的人數(shù)不變，也就是長方形的面積不變，即長方形ABCD 的面積=長方形ALJG 的面積=長方形AEFH 的面積，所以圖中S1（長方形ELJK ）=S2（長方形GKFH ） ，而長方形ALJG = 6×（ 3 + 5 ）÷（10-6 ）×10=120 ，即六年級有120 名同學參加團體操表演。

正如杜甫的詩句“好雨知時節(jié)，當春乃發(fā)生。隨風潛入夜，潤物細無聲”所表達的心境一樣，數(shù)學思想方法的教學也應(yīng)像春雨一樣，不斷地滋潤著學生的心田。在“解決問題”中滲透數(shù)學思想方法，可以實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)的真正提高。

作者單位：福建省永春縣達埔中心小學校