矩陣的初等變換在幾何學(xué)上的應(yīng)用

孫 衛(wèi) 衛(wèi)

(青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院，山東 青島 266106)

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矩陣的初等變換在幾何學(xué)上的應(yīng)用

孫 衛(wèi) 衛(wèi)

(青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院，山東 青島 266106)

摘要：基于矩陣的初等變換法化簡二次型為標(biāo)準(zhǔn)形思想，給出了求與實對稱矩陣合同的對角矩陣的定理，并應(yīng)用到幾何學(xué)上，即運用矩陣的初等變換來推斷一類二次曲線和一類二次曲面的大體形狀，并給出了相應(yīng)的定理性結(jié)論。

關(guān)鍵詞：初等變換；二次曲線；二次曲面；實對稱矩陣；二次型

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.02.029

對于一般的二次曲線與二次曲面的形狀的推斷是困難的，用矩陣的初等變換法可以解決這一問題。

1求與實對稱矩陣合同的對角矩陣的初等變換法

引入實對稱矩陣A與向量x、y：

A所對應(yīng)的二次型為

f(x1,x2,…,xn)=xTAx

(1)

對于二次型(1)總存在可逆的線性變換[1-2]x=Cy，將其代入(1)式得到此二次型的標(biāo)準(zhǔn)形：

f(x1,x2,…,xn)=yTAy

定理1對實對稱矩陣A施行一次初等列變換，再施以相同的初等行變換，這樣進(jìn)行若干次就可把A化簡成對角矩陣B，并且有A與B合同。

例1求與下列矩陣合同的對角矩陣：

2運用初等變換法推斷一類二次曲線的形狀

給定二次曲線方程

a11x2+a22y2+2a12xy+c1=0

(2)

引入實對稱矩陣與3個向量

由定理1知，可通過初等變換法求出與A1合同的對角矩陣B1，這里設(shè)B1=diag(d1,d2)，則有如下定理：

定理2形如(2)式的二次曲線的大體形狀，由d1、d2及c1的正負(fù)確定。

(3)

(4)

由于正交變換保持向量的內(nèi)積和長度不變[3]，因此(2)式與(4)式所表示的曲線形狀相同。 因為A1與B1合同且A1與diag(λ1,λ2)合同，可知B1與diag(λ1,λ2)合同，故B1=diag(d1,d2)與diag(λ1,λ2)具有相同的秩與正慣性指數(shù)，所以(3)式與(4)式表示同一種類型的二次曲線，故(2)式與(3)式所表示的曲線形狀大致相同，即可得形如(2)的二次曲線的大體形狀，由d1、d2及c1的正負(fù)確定。

例2判定下列二次曲線為何種二次曲線

(1)x2+3y2-2xy-1=0；

(2)x2-y2-2xy+1=0。

由定理2，x2+3y2-2xy-1=0與x2+2y2-1=0的形狀大致相同，因此x2+3y2-2xy-1=0，為橢圓。

由定理2知x2-y2-2xy+1=0與x2-2y2+1=0的形狀大致相同，因此x2-y2-2xy+1=0，為雙曲線。

3運用初等變換法推斷一類二次曲面的形狀

給定二次曲面方程

b11x2+b22y2+b33z2+2b12xy+

2b13xz+2b23yz+c2=0

(5)

并引入實對稱矩陣

(6)

(7)

例3判定下列二次曲面為何種二次曲面。

(1)x2+z2-2xy+1=0；

(2)x2+2y2+6z2-4xz-4yz-2=0。

由定理3知x2+z2-2xy+1=0與x2-y2+z2+1=0的形狀大致相同，因此x2+z2-2xy+1=0表示橢圓錐面。

由定理3知x2+2y2+6z2-4xz-4yz-2=0與x2+2y2-2=0的形狀大致相同，因此x2+2y2+6z2-4xz-4yz-2=0表示橢圓柱面。

參考文獻(xiàn):

[1] 吳贛昌. 線性代數(shù)(理工類)[M]. 4版. 北京: 中國人民大學(xué)出版社, 2011: 78-83.

[2] 黃益生. 高等代數(shù) [M]. 2版. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2014: 153-160.

[3] 楊文茂. 空間解析幾何 [M]. 2版. 武漢: 武漢大學(xué)出版社, 2004: 201-207.

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)(下冊)[M]. 6版. 北京：高等教育出版社, 2007: 20-22.

[5] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(下冊)[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2010: 52-55.

[6] 徐森林. 數(shù)學(xué)分析(第三冊)[M]. 2版. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2007: 43-45.

ApplicationofElementaryTransformationofMatrixinGeometry

SUNWei-wei

(QingdaoCollege,QingdaoTechnologicalUniversityQingdao,Qingdao,Shandong266106,China)

Abstract:Quadraticformcanbesimpliedtostandardformbyusingelementarytransformationmethod.Inspiredbythis,inthispaper,theelementarytransformationmethodisgiven.Thismethodisemployedtofindthediagonalmatrixthatiscongruentwiththerealsymmetricmatrix.Thenthecorrespondingtheoremisgiven.Fromthispointofview,theelementarytransformationofthematrixisappliedingeometry.Theseshapesofakindofquadraticcurvesandakindofquadraticsurfacesarededucedusingelementarytransformationmethod.Furthermorethecorrespondingrationalconclusionisgiven.

Keywords:elementarytransformation;quadraticcurve;quadraticsurface;realsymmetricmatrix;quadraticform

* 收稿日期：2015-09-22

作者簡介：孫衛(wèi)衛(wèi)，女，山東煙臺人，碩士，青島理工大學(xué)琴島學(xué)院講師，研究方向為應(yīng)用數(shù)學(xué)。E-mail: xiesunweiwei@126.com

中圖分類號：O13

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1007-4260(2016)02-0121-03

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2016-06-08 12:57網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160608.1257.029.html