考慮土拱效應(yīng)的非垂直剛性擋墻主動(dòng)土壓力

孫文君， 宋　楊， 王學(xué)民， 王蓉蓉， 楊鵬志

(河北水利電力學(xué)院， 河北 滄州　061001)

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考慮土拱效應(yīng)的非垂直剛性擋墻主動(dòng)土壓力

孫文君， 宋楊， 王學(xué)民， 王蓉蓉， 楊鵬志

(河北水利電力學(xué)院， 河北 滄州061001)

[摘要]為研究非垂直剛性擋墻的主動(dòng)土壓力計(jì)算方法，根據(jù)土拱效應(yīng)原理、微分水平層法以及水平向靜力平衡條件，得到了平移模式下非垂直剛性擋土墻墻后填土破裂角的計(jì)算式，并進(jìn)一步根據(jù)力與力矩平衡條件獲得了平移模式下非垂直剛性擋土墻墻后主動(dòng)土壓力、合力及其作用點(diǎn)等的計(jì)算式。通過計(jì)算對(duì)各種特殊情況下的破裂角和主動(dòng)土壓力進(jìn)行分析，討論了墻背傾角、墻土摩擦角等對(duì)破裂角、法向主動(dòng)土壓力系數(shù)、法向主動(dòng)土壓力和主動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)高度等的影響。該研究可為非垂直墻背的支擋結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的主動(dòng)土壓力計(jì)算提供更為合理的理論支持。

[關(guān)鍵詞]土拱效應(yīng)； 非垂直剛性擋土墻； 法向主動(dòng)土壓力； 應(yīng)力莫爾圓； 破裂角

1概述

鐵路、公路、房建、港口工程的擋土墻墻背垂直的很多，但擋土墻墻背傾斜的實(shí)際工程也不少。而擋土墻設(shè)計(jì)中至關(guān)重要的問題是土壓力大小和分布，其計(jì)算方法的合理性直接決定著擋土墻結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定和安全。

經(jīng)典的朗肯和庫(kù)侖土壓力理論雖然力學(xué)概念明確、計(jì)算公式簡(jiǎn)單[1]，但因未考慮墻后土體的土拱效應(yīng)，以及無(wú)法真實(shí)反應(yīng)土的位移模式等諸多因素，得到的土壓力均沿墻高呈線性分布，與試驗(yàn)結(jié)果所體現(xiàn)的非線性分布不符[2，3]。一部分學(xué)者用微分水平層法進(jìn)行研究，求得的土壓力雖與實(shí)際的非線性分布情況較為接近[1，4]，但計(jì)算中采用的破裂角是由朗肯或庫(kù)侖理論獲得，不能直接通過水平層法得到，理論上存在不合理性。另一部分學(xué)者[5～10]在平移模式下考慮了土拱效應(yīng)，所得的土壓力也能較好地貼近實(shí)際，但在理論上依然存在沿用經(jīng)典理論求取破裂角而非直接計(jì)算的不足。針對(duì)這一問題，文獻(xiàn)[11、12]在墻背主動(dòng)土壓力分析中更為合理地考慮了土拱效應(yīng)，取得了不錯(cuò)的進(jìn)展。

上述文獻(xiàn)都是針對(duì)墻背垂直、填土表面水平的剛性擋墻墻背土壓力進(jìn)行研究，而在公路、鐵路工程中，非垂直墻背的擋墻結(jié)構(gòu)是十分常見的。對(duì)于非垂直墻背剛性擋墻結(jié)構(gòu)的土壓力該如何計(jì)算，怎樣合理地考慮土拱效應(yīng)和破裂角的取值問題，目前尚未見相關(guān)研究報(bào)道。章瑞文和徐日慶[11]利用墻背和滑面兩處土體在極限狀態(tài)下的應(yīng)力，以及水平微分層單元的靜力平衡條件，獲得了破裂角和主動(dòng)土壓力計(jì)算式，思路清晰且簡(jiǎn)單實(shí)用，無(wú)需考慮墻面與滑裂面之間土體應(yīng)力的具體大小，其主動(dòng)土壓力分布與實(shí)測(cè)值吻合較好。本文在該方法的基礎(chǔ)上，對(duì)平移模式下的非垂直墻背主動(dòng)土壓力進(jìn)行理論分析，根據(jù)土拱效應(yīng)和水平層分析法得到主動(dòng)土壓力系數(shù)計(jì)算公式，并進(jìn)一步得到主動(dòng)土壓力分布、土壓力合力及其作用點(diǎn)的理論計(jì)算公式。

2主動(dòng)土壓力分析

2.1模型分析

設(shè)墻背傾斜、填土為無(wú)粘性土、填土面水平的剛性擋土墻，在墻體背離土體平移模式下，墻后土體達(dá)到極限平衡狀態(tài)時(shí)產(chǎn)生滑動(dòng)面AB和BC，取墻頂以下y處的水平微元滑裂體進(jìn)行受力分析，如圖1所示。擋土墻高H(m)，填土表面均布荷載q(kN/m2)，破裂角θ，填土容重為γ(kN/m3)，填土內(nèi)摩擦φ，墻背傾角η(0≤η≤ηcr)，墻土界面摩擦角δ(0≤δ≤φ)，ηcr為不出現(xiàn)第二滑裂面的極限墻背傾角。根據(jù)土拱效應(yīng)原理，處在主動(dòng)極限狀態(tài)下的滑裂體內(nèi)土體小主應(yīng)力的方向不再是水平方向了，而是發(fā)生偏轉(zhuǎn)。在平移模式下，水平微元滑裂體上下表面無(wú)剪力(即剪應(yīng)力之和為零)，上下表面只受垂直力(即垂直應(yīng)力之和)，那么水平微元滑裂體的受理情況如圖1所示。

圖1　微元滑裂體受力模型Figure 1　Stress of differential element of sliding wedge

假定距離填土表面的同一深度處滑裂體任一點(diǎn)的主應(yīng)力不變，那么就根據(jù)主動(dòng)狀態(tài)下的應(yīng)力圓可以得到墻面、滑裂面處的應(yīng)力，主動(dòng)極限狀態(tài)下墻面、滑裂面處土體的摩爾應(yīng)力圓如圖2所示。然后水平微分體在水平方向的靜力平衡，就可得到滑裂面與水平面的傾角，然后根據(jù)水平層分析法就可得到墻背主動(dòng)土壓力了。

2.2土應(yīng)力分析

對(duì)墻面、滑裂面處距離填土面一定距離的微元滑裂體的應(yīng)力狀態(tài)如圖2所示。

圖2　滑裂體內(nèi)土體的莫爾應(yīng)力圓Figure 2　The mohr’s stress circle of sliding soil

根據(jù)摩爾應(yīng)力圓，可知微元滑裂體墻面處的法向應(yīng)力σw：

(1)

式中：ψ為墻背處土體的最大主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角；σ1為最大主應(yīng)力；Ka為朗肯主動(dòng)土壓力系數(shù)：

(2)

微元滑裂體墻面處的剪應(yīng)力τw：

τw=σwtanδ

(3)

根據(jù)幾何知識(shí)，可得墻背處主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角ψ：

(4)

微元滑裂體滑面處的法向應(yīng)力σs：

(5)

微元滑裂體滑面上的剪應(yīng)力τs：

(6)

2.3破裂角

對(duì)填土面下y深度的水平微元滑裂體進(jìn)行如圖1的受力分析，由水平方向的靜力平衡可得：

σw-τwtanη=σs-τscotθ

(7)

聯(lián)立式(1)～式(7)，可得到滑裂面與水平方向的夾角，即破裂角：

(8)

2.4法向主動(dòng)土壓力系數(shù)

由微元滑裂體在鉛直方向的靜力平衡，可得：

(9)

由微元滑裂體在E點(diǎn)的力矩平衡，可得：

(10)

聯(lián)立式(7、9、10)，可得非垂直墻背的法向主動(dòng)土壓力系數(shù)Kwn：

(11)

式中：Kw為非垂直墻背的主動(dòng)土壓力系數(shù)：

Kw=

(12)

2.5主動(dòng)土壓力

聯(lián)立式(7、10)，可得：

(13)

(14)

式中：破裂角θ按式(12)計(jì)算，本節(jié)后面的相同。

解微分方程(13)，可得垂直土壓力：

(15)

把式(15)代入式(11)，可得墻背法向主動(dòng)土壓力：

(16)

由式(3、16)可得墻背的切應(yīng)力:

(17)

對(duì)式(16)積分，可得墻背法向主動(dòng)土壓力合力：

(18)

式中：K為總法向主動(dòng)土壓力系數(shù)：

(19)

對(duì)式(17)積分：可得墻背主動(dòng)切應(yīng)力合力：

(20)

由式(18、20)可得墻背主動(dòng)土壓力合力：

(21)

由式(16)，可得側(cè)向土壓力相對(duì)于墻址的總彎矩：

(22)

那么由式(18)和式(22)，可得法向土壓力合力的作用點(diǎn)相對(duì)墻基的高度：

(23)

根據(jù)式(16、18、20、22、23)就可以進(jìn)行支擋結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)了。

3討論

3.1墻面垂直且光滑的情況

令式(8、11、12、18、19、23)中的δ=η=q=0，則可得到的主動(dòng)破裂角、法向主動(dòng)土壓力系數(shù)、(總)主動(dòng)土壓力系數(shù)、法向主動(dòng)土壓力合力及其作用點(diǎn)高度即為朗肯主動(dòng)破裂角[1]、朗肯主動(dòng)土壓力系數(shù)[1]、朗肯主動(dòng)土壓力合力[1]、朗肯主動(dòng)土壓力作用點(diǎn)高度[1]等。

3.2墻面光滑的情況

令式(8)中的δ=0，則可得到墻面光滑且垂直的主動(dòng)破裂角為θ=π/4+φ/2，這與朗肯主動(dòng)破裂角相同。

令式(11、12、18、19)中的δ=0，并用π/4+φ/2替換θ，可得(總)法向主動(dòng)土壓力系數(shù)、主動(dòng)土壓力系數(shù)為：

(24)

3.3墻面垂直的情況

令式(8)中的(即η=0)，可到墻面垂直的主動(dòng)破裂角為：

(25)

當(dāng)墻面垂直(即η=0)時(shí)，法向主動(dòng)土壓力系數(shù)：

(26)

當(dāng)墻面垂直(即η=0)時(shí)，總法向主動(dòng)土壓力系數(shù)：

(27)

以上式(25)～式(27)與章瑞文和徐日慶[11]的成果相符。

4影響因素分析

4.1主動(dòng)破裂角

圖3和圖4給出了由式(8)而來(lái)的主動(dòng)破裂角隨填土內(nèi)摩擦角、墻土摩擦角和墻背傾角的變化圖。從圖3和圖4可以看出：主動(dòng)破裂角隨填土摩擦角的增大而增大、隨墻背傾角的增大而減小；除墻土摩擦角接近內(nèi)摩擦角外，主動(dòng)破裂角隨內(nèi)摩擦角的增加而增加；主動(dòng)破裂角的取值范圍為[0，90°-η]。主動(dòng)破裂角隨填土摩擦角在[0，φ]內(nèi)增大而在[0，90°-η]內(nèi)增大。

圖3　滑裂面傾角隨φ、δ的變化Figure 3　Change of the active failure angle with the wall-soil friction angle and internal friction angle

圖4　滑裂面傾角隨η的變化Figure 4　Change of the active failure angle with the inclined angle of wall back

4.2主動(dòng)土壓力系數(shù)

圖5和圖6給出了由式(11)而來(lái)的法向主動(dòng)土壓力系數(shù)隨填土內(nèi)摩擦角、墻土摩擦角和墻背傾角的變化圖。從圖5和6可以看出：法向主動(dòng)土壓力系數(shù)隨墻土摩擦角增大而增大，分別隨墻背傾角、填土內(nèi)摩擦角的增大而減??；法向主動(dòng)土壓力系數(shù)隨填土內(nèi)摩擦角的增幅隨墻土摩擦角的增大而增大，隨墻背傾角的增大而幾乎不變。同理，主動(dòng)土壓力系數(shù)也隨墻土摩擦角增大而增大，隨墻背傾角的增加而減小，隨內(nèi)摩擦角的增大而減小。

圖5　主動(dòng)土壓力系數(shù)隨φ、δ的變化Figure 5　Change of the coefficient of active earth pressure with the angle of wall friction and internal friction angle

圖6　主動(dòng)土壓力系數(shù)隨η的變化Figure 6　Change of the coefficient of active earth pressure with the inclined angle of wall back

4.3主動(dòng)土壓力

圖7～圖10給出了由式(16)而來(lái)的相對(duì)法向主動(dòng)土壓力分布隨墻土摩擦角、墻背傾角、填土內(nèi)摩擦角沿相對(duì)高度的變化圖。

從圖7～圖10可以看出：法向主動(dòng)主動(dòng)土壓力分布呈在墻頂和墻址處為零而在墻中下部最大的非線性分布；法向主動(dòng)土壓力在墻上部隨墻背傾角增大而減小，減幅較小，但在墻下部隨墻背傾角的增大而增大，且增幅較大；法向主動(dòng)土壓力隨填土內(nèi)摩擦角的增大而減小，且減幅隨距墻頂?shù)纳疃榷黾?，但在墻址附近的減幅確實(shí)減小；法向主動(dòng)土壓力在墻上部隨墻土摩擦角的增大而增大，但在墻下部卻隨墻土摩擦角的增大而減??；同理，主動(dòng)土壓力也有法向的類似規(guī)律。

圖7　法向主動(dòng)土壓力隨墻土摩擦角的變化Figure 7　Change of the normal active earth pressure with the wall-soil friction angle

圖8　法向主動(dòng)土壓力隨墻背傾角的變化Figure 8　Change of the normal active earth pressure with the inclined angle of wall back

圖9　法向主動(dòng)土壓力隨填土內(nèi)摩擦角的變化Figure 9　Change of the normal active earth force with the internal friction angle of backfill

圖10　主動(dòng)土壓力隨墻背傾角的變化Figure 10　Change of the active earth pressure with the inclined angle of wall back

進(jìn)一步對(duì)圖7～圖10進(jìn)行分析可知：主動(dòng)土壓力合力分別隨墻土摩擦角、墻背傾角的增大而增大，隨填土內(nèi)摩擦角的增大而增大。

4.4主動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)高度

圖11和圖12給出了由式(23)而來(lái)的墻背主動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)相對(duì)高度隨填土內(nèi)摩擦角、墻土摩擦角、墻背傾角沿相對(duì)高度的變化圖。從圖11

圖11　主動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)高度隨墻土摩擦角的變化Figure 11　Change of the application height the active earth force with the wall-soil friction angle

圖12　主動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)高度隨墻背傾角的變化Figure 12　Change of the application height the active earth force with the inclined angle of wall back

和圖12可以看出：墻背主動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)高度隨墻土摩擦角增大而增大，隨墻背傾角的增大而減??；當(dāng)墻背傾角不小于6°(即η≥6°)時(shí)，墻背主動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)高度隨填土內(nèi)摩擦角的增大而減小；當(dāng)0°<η<6°時(shí)，墻背主動(dòng)土壓力作用點(diǎn)高度隨填土內(nèi)摩擦角的增大而先增加后減小。

5結(jié)語(yǔ)

① 根據(jù)主動(dòng)狀態(tài)下的摩爾應(yīng)力圓得到了墻面、滑裂面處的應(yīng)力，以及平移模式下水平微分滑裂體的受力特點(diǎn)，由水平方向的靜力平衡得到了主動(dòng)狀態(tài)下的破裂角，因而由靜力、力矩平衡得到了主動(dòng)土壓系數(shù)、主動(dòng)土壓力及其合理作用點(diǎn)高度。

② 破裂角隨填土摩擦角在[0，φ]內(nèi)增大而在[0，90°-η]內(nèi)增大，隨墻背傾角而減小，除墻土摩擦角接近內(nèi)摩擦角外隨內(nèi)摩擦角增加而增加。

③ 法向主動(dòng)土壓力系數(shù)隨墻土摩擦角增大而增大，隨墻背傾角的增加而減小，隨填土內(nèi)摩擦角的增大而減小。

④ (法向)主動(dòng)土壓力隨墻背傾角的增大而增大，隨填土內(nèi)摩擦角的增大而增大；在墻上部隨墻土摩擦角的增大而增大，但在墻下部卻隨墻土摩擦角的增大而減小；主動(dòng)土壓力合力分別隨墻土摩擦角、墻背傾角的增大而增大，隨填土內(nèi)摩擦角的增大而增大。

⑤ 墻背主動(dòng)土壓力合力作用點(diǎn)高度隨墻土摩擦角增大而增大，隨墻背傾角的增大而減??；在墻背傾角不小于6°時(shí)隨填土內(nèi)摩擦角的增大而減小但在0°<η<6°時(shí)隨填土內(nèi)摩擦角的增大而先增加后減小。

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Active Earth Pressure for Non-vertical Rigid Retaining Wall Considering Soil Arching Effect

SUN Wenjun， SONG Yang， WANG Xuemin， WANG Rongrong， YANG Pengzhi

(Hebei Institute of Hydraulic and Electrical Engineering， Cangzhou， Hebei 061001， China)

[Abstract]Active earth pressure for non-vertical rigid retaining wall is studied.Considering soil arching effect，according to differential level layer method and horizontal static equilibrium，a new formula of the inclinations of sliding surface behind the inclined rigid retaining wall is obtained under translation mode.Then according to static and moment equilibrium，a new expression of the active earth pressure were derived，and those of the active earth force and the height of application of its is also putted forward.The special solutions of the failure angle and the active normal earth pressure are discussed under various boundary conditions.In addition，the effects of the inclination of wall-back surface，the internal friction angle of backfill and the wall-soil friction angle on the failure angle，the active normal earth pressure and its coefficient，and application height the active earth force is investigated.This study can provide a more reasonable theoretical support for the design calculation of the active earth pressure against the non-vertical rigid retaining structures.

[Key words]soil arching effect； non-vertical rigid retaining wall； active normal earth pressure； mohr’s stress circle； failure angle； application height the active earth force

[收稿日期]2015-12-09

[基金項(xiàng)目]河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究青年基金項(xiàng)目(QN2014149)；河北省教育廳青年基金項(xiàng)目(QN2015036)；河北省水利科研和推廣計(jì)劃項(xiàng)目(2015049)

[作者簡(jiǎn)介]孫文君(1982-)，男，河北滄州人，碩士，講師，主要從事巖土力學(xué)與工程方面的科研及教學(xué)工作。

[中圖分類號(hào)]U 471.1+1

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1674-0610(2016)03-0106-05