含有多重臨界指數(shù)和Hardy項(xiàng)的雙調(diào)和非線性方程組解的存在性

康東升，熊　萍，曹玉平

(1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074； 2 中南民族大學(xué) 圖書館,武漢 430074)

?

含有多重臨界指數(shù)和Hardy項(xiàng)的雙調(diào)和非線性方程組解的存在性

康東升1，熊萍1，曹玉平2

(1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074； 2 中南民族大學(xué) 圖書館,武漢 430074)

摘要研究了含有多重臨界指數(shù)和Hardy項(xiàng)的雙調(diào)和非線性方程組.運(yùn)用變分方法和分析技巧，證明了方程組解的存在性.

關(guān)鍵詞雙調(diào)和方程組；非平凡解；臨界指數(shù)；Rellich不等式

本文研究如下雙調(diào)和方程組：

(1)

其中Ω?N(N≥5)是光滑有界區(qū)域，0∈Ω，a1，a2，a3∈，是臨界Sobolev指數(shù)，是最佳Rellich常數(shù).D2,2(Ω)表示空間關(guān)于范數(shù)的完備化空間，且記H.當(dāng)Ω為光滑有界區(qū)域時(shí)，由文獻(xiàn)[1]中定理2.1知道(Ω).

在空間H×H中，方程組(1)對(duì)應(yīng)的能量泛函為:

(2)

則J∈C1(H×H,).在空間H×H和它的對(duì)偶空間(H×H)-1中，定義J′(u,v)為泛函J在(u,v)處的Fréchet導(dǎo)數(shù)，并記為:

(3)

其中u,v,φ,φ∈H. 如果函數(shù)組(u,v)∈H×H且滿足:

(u,v)≠(0,0)，J′(u,v),(φ,φ)=0，

?(φ,φ)∈H×H，

則(u,v)是方程組(1)的解.換句話說，方程組(1)的解等價(jià)于能量泛函J(u,v)的非零臨界點(diǎn).

研究方程組(1)涉及到著名的Rellich不等式[2]：

?u∈D2,2(N).

(4)

(5)

其中D2,2(N)表示空間(N)關(guān)于范數(shù)的完備化空間. 注意到S(0)是Sobolev不等式:

u∈D2,2(N),

的最佳常數(shù).對(duì)于任意的C，ε>0和x0∈N，由文獻(xiàn)[3]可知S(0)的達(dá)到函數(shù)是：

(6)

由文獻(xiàn)[5]可知函數(shù)yμ,ε(x)也是S(μ)的達(dá)到函數(shù). 關(guān)于達(dá)到函數(shù)的具體性質(zhì)，將在引理2中詳細(xì)說明.

Sη,α,β(μ)：=

(7)

近年來，許多學(xué)者研究含有Hardy項(xiàng)的雙調(diào)和方程，并且得出了一些重要的結(jié)果，如文獻(xiàn)[4-6].但上述文獻(xiàn)主要是研究單個(gè)方程,關(guān)于雙調(diào)和方程組的研究結(jié)果還較少.本文主要研究雙調(diào)和方程組(1)在特定條件下非平凡解的存在性.

下面定義本文中的假設(shè)條件：

d*:=max{|x|4,x∈?Ω}.

(8)

當(dāng)α,β>1，α+β=2*時(shí)，定義:

(9)

(10)

其中τmin≥0是h(τ)的最小值點(diǎn).

最后定義:

(11)

本文的主要結(jié)論如下：

定理1假設(shè)(H1)成立，yμ,ε(x)是S(μ)的達(dá)到函數(shù)，其中yμ,ε(x)定義為(6)式. 則以下結(jié)論成立：

(ii)Sη,α,β(μ)=Sη,α,β(0)=h(τmin)S(0),?μ∈(-∞,0].

(iv)τmin是下列方程的根:

定理2假設(shè)(H1)，(H2)成立，如果下列條件之一成立：

(i)N≥8,0≤μ≤μ1.

則方程組(1)有非平凡解.

1引理和預(yù)備結(jié)論

證明證明過程與文獻(xiàn)[7]中引理2.1的證明相似,在此省略.

為了準(zhǔn)確地說明達(dá)到函數(shù)的性質(zhì)，定義以下3個(gè)輔助函數(shù)：

ζ(t):=1-

(12)

當(dāng)N≥5時(shí)，ζ是[0,1]→[0,1]上的嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)；

(13)

(14)

引理2[5]設(shè)N≥5，則以下結(jié)論成立：

(15)

(ii) 設(shè)Ω?N為包含原點(diǎn)的光滑開集. 當(dāng)時(shí)，有:(μ). 如果Ω≠N，則下確界達(dá)不到.

(16)

引理3[5]設(shè)yμ,ε定義為(6)式且滿足(15)、(16)式，γμ定義為(14)式. 當(dāng)ε→0時(shí)，通過計(jì)算我們能得出以下估計(jì)結(jié)果：

(i) 當(dāng)N≥8，0≤μ≤μ1時(shí)有:

(17)

(18)

(19)

(ii) 當(dāng)N≥5，μ=0時(shí)有:

(20)

其中σ(ε)定義為:

(21)

(22)

(23)

2非平凡解的存在性

定理1的證明參見文獻(xiàn)[7]中定理1.1的證明 .

證明由假設(shè)條件(H2)可知，二次型:

(24)

是正定的，并且滿足:

λ1(u2+v2)≤Q(u,v)≤λ2(u2+v2),?u,v∈H.

(25)

下面我們分4種情形來討論:

(i)N≥8,0≤μ≤μ1.

(26)

(27)

在這種情況下，我們采用文獻(xiàn)[5]中定理1(B)的證明方法. 設(shè)函數(shù)Qλ(μ)定義為(11)式，v≠0是以下方程的解:

(28)

(29)

(30)

定義函數(shù)g2(t)=J(tvε,tτminvε)，則:

由(28)～(30)式得出:

根據(jù)以上分析，可得出泛函J存在臨界點(diǎn)(u,v)?H×H{(0,0)}，并且c為對(duì)應(yīng)的臨界值. 由定理2中條件a2>0可知，u=0,v≠0和u≠0,v=0均不是方程組(1)的解. 因此，對(duì)于u≠0且v≠0，能量泛函J的臨界點(diǎn)(u,v)是方程組(1)的非平凡解.

參考文獻(xiàn)

[1]GazzolaF,GrunanHC,SweersG.Polyharmonicboundaryvalueproblems,positivitypreservingandnonlinearhighorderellipticequationsinboundeddomains[M].Berlin:Springer-Verlag,2010:27-33.

[2]RellichF.Halbbeschr?nktedifferentialoperatorenH?hererordung[C]//GerretsenJCH.ProceedingoftheInternationalCongressofMathematicians.Groningen:Noordhoff, 1954: 243-250.

[3]EdmundsDE,FortunatoD,JannelliE.Criticalexponents,criticaldimensionsandthebiharmonicoperator[J].ArchRationMechAnal, 1990, 112:269-289.

[4]BhaktaM,MusinaR.EntiresolutionsforaclassofvariationalproblemsinvolvingthebiharmonicoperatorandRellichpotentials[J].NonlinearAnal, 2012, 75: 3836-3848.

[5]JannelliE.NonlinearcriticalproblemsforthebiharmonicoperatorwithHardypotential[J].CalcVar, 2015, 54: 365-396.

[6]BhaktaM.Caffarelli-Kohn-NirenbergtypeequationsoffourthorderwiththecriticalexponentandRellichpotential[J].JMathAnalAppl, 2016, 433: 681-700.

[7]HuangY,KangDS.OnthesingularellipticsystemsinvolvingmultiplecriticalSobolevexponents[J].NonlinearAnal, 2011, 74: 400-412.

[8]AmbrosettiA,RabinowitzH.Dualvariationalmethodsincriticalpointtheoryandapplications[J].JFunctAnal, 1973, 14:349-381.

[9]BrezisH,NirenbergL.PositivesolutionofnonlinearellipticequationsinvolvingcriticalSobolevexponents[J].CommPureApplMath, 1983, 36:437-477.

ExistenceofSolutionsforNonlinearBiharmonicSystemsInvolvingMultipleCriticalExponentsandHardyPotential

Kang Dongsheng1, Xiong Ping1, Cao Yuping2

(1CollegeofMathematicsandStatistics,South-CentralUniversityforNationalities,Wuhan430074,China;2Library,South-CentralUniversityforNationalities,Wuhan430074,China)

AbstractInthispaper,anonlinearbiharmonicsystemisinvestigated,whichinvolvesmultiplecriticalexponentsandHardypotential.Byvariationalmethodsandanalyticaltechniques,theexistenceofsolutionstothesystemisproved.

Keywordsbiharmonicsystem;nontrivialsolution;criticalexponent;Rellichinequality

收稿日期2016-03-24

作者簡介康東升(1967-)，男，教授，博士，研究方向：偏微分方程，E-mail:dongshengkang@scuec.edu.cn

基金項(xiàng)目國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10771219); 國家民委科研基金資助項(xiàng)目(12ZNZ004);中南民族大學(xué)研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目資助(2016sycxjj136)

中圖分類號(hào)O175. 25

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)1672-4321(2016)02-0146-05