一個有關(guān)計數(shù)問題的探究案例

嚴洪剛

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）05-0154-02

1.背景介紹

新課標的理念更突出了知識過程性目標的重要地位，明確要求學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、驗證等數(shù)學活動過程，學會與他人合作交流，學會從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題、學會體驗成功的喜悅，這是我們課改教學的新動向之一。

浙教版數(shù)學實驗教材七年級上冊學習完第七章圖形的初步認識（點與線）及角的內(nèi)容后，學生對點、線、角等基本的概念已有了一個清楚的認識，在學生平常的學習過程中經(jīng)常出現(xiàn)一類計數(shù)問題，因此我認為有必要安排一個環(huán)節(jié)對這一類問題作一次探究，使學生對這一類問題有一個比較系統(tǒng)全面的理解。

2.情景描述

教學中，我開門見山："同學們，我們一起來看一類有關(guān)計數(shù)的問題，看看哪個同學會計數(shù)。"見學生驚訝的表情，我順勢在黑板上畫下兩個圖形：

接著，我提出問題："請你們算一下，圖（一），圖（二）中各有多少條線段？"學生們很快的開始數(shù)了，有的同學已經(jīng)開口說了："圖（一）有3條，圖（二）有6條"。也有一些同學出現(xiàn)了遺漏的現(xiàn)象，圖（二）答案出現(xiàn)了5條或4條的。

"大家思考都比較積極，我們來想一下，在數(shù)線段時，如何數(shù)才能不重復、不遺漏呢？"

一學生站起來說："以A1為左邊端點的線段有A1A2，A1A3，A1A4，以A2為左邊端點的線段有A2A3，A2A4，以A3為左邊端點的線段有A3A4，所以一共有3+2+1=6條。"

"很好，這種方法的確不會重復，也不會遺漏，但是，若直線上有10個點時有多少條線段呢？"

受到剛才這位同學的啟發(fā)，同學們忙開了，我發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)同學都是一條一條地去數(shù)?？吹竭@種情況，我乘機說："既然一條一條去數(shù)比較煩，那么有沒有巧妙的方法呢？比如線段的條數(shù)與點的個數(shù)之間有沒有規(guī)律呢？如果我們能找到其中的規(guī)律的話，那我們不就省力氣嗎？各小組分組討論"

過了一會兒，有些小組迫不急待地開始舉手了，我走到她們的桌前，看到了她們寫的推理過程： 3個點時有：2+1=3條

4個點時有：3+2+1=6條

5個點時有： 4+3+2+1=10條

6個點時有： 5+4+3+2+1=15條 ……

10個點時有： 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45條

看來有些同學已經(jīng)找到了其中的規(guī)律了，但規(guī)律還沒有表示出來。

又有同學舉手了，我叫了其中一個同學回答：因為4個點時是1+2+3=6條，5個點時是1+2+3+4=10條，6個點時是1+2+3+4+5=15條，依此規(guī)律，線段的條數(shù)是從1開始加到比點數(shù)少1的那個數(shù)的和。所以10個點就有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45條。

"大家同意他的結(jié)論嗎？"同學們都點了點頭。

我乘機提出："若直線上有n個點呢？你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？"

"有規(guī)律。"大部分同學都很肯定。我示意他們表示出來。

n個點時是：1+2+3+4+……+n=n（n-1）2條。

我又進一步問道："還有其他什么方法可得到這個結(jié)論嗎？"

沒人應(yīng)答，同學們都看著我，有的在環(huán)顧四周，看看別人能不能回答。

"我們可以這樣考慮，只要確定了線段的兩個端點，就確定了一條線段，那么對于n個點，A1、A2、A3、A4、……、An，只需要將其中兩個點進行配對，兩個點就確定了一條線段，所以我們只要看一下將這n個點進行分組配對，有多少不同的組就有多少線段。"

"對于A1點來說，它可以和其它的A2、A3、A4、……、An這（n-1）個點分別配對分組：A1A2、A1A3、A1A4、……、A1An共（n-1）組，所以就有（n-1）條線段；對于A2來說呢？分別配對分組也有類似的結(jié)論得到（n-1）組，所以也有（n-1）條線段，A3、A4、A5、……呢？這樣每個點都可以和其余的（n-1）個點分別配對分組也分別得到（n-1）條線段。"

"所以這樣n個點就一共可以配對分成n（n-1）組，也就是以兩個點為端點線段數(shù)一共有n（n-1）條，但是，"我停頓了一下，"這些線段有什么情況出現(xiàn)呢？"

有一個學生回答說："會重復，因為象A1A2與A2A1是同一條線段。"

"對的，非常正確，這樣計數(shù)線段數(shù)會重復一次，所以真正有的線段數(shù)是n（n-1）2條。"

學生恍然大悟。

我接著說："其實兩種方法都不錯，運用第二種解釋的方法來計數(shù)，有些時候是很方便的，我們來舉幾個例子."我給出了以下幾個問題。

（1）平面上有3個點，過其中兩點畫直線，最多可畫幾條直線？4個點？5個點？n個點呢？

（2）如圖，從O點出發(fā)畫n條射線，那么圖中共有多少個小于平角的角？

（3）如圖，圖中有多少個三角形？我的問題一拋出，同學們馬上七嘴八舌議論開了。一個同學已經(jīng)驚奇地叫道：結(jié)果是一樣的，都是n（n-1）2。

我巡視了一圈，發(fā)現(xiàn)大部分同學都找到了答案。

"下面有幾個練習，看看你能做嗎？"我給出了幾個練習：

（1）平面上4條直線最多把平面分成幾個區(qū)域？5條呢？

（2）平面上有10個點，則最多可以畫出幾條直線？

以其中任一點為端點，通過另外一點的射線有幾條？

100個點呢？

（3）如圖，共有_____個長方形。

從練習情況看，還不錯。 我乘機說道："類似的問題在我們平時的學習中還有嗎？你能舉出其他的例子嗎？請你在你的草稿本上寫出來。"

學生就忙開了……

一段時間后，我看時間也差不多了，就說："大家現(xiàn)在停下來，現(xiàn)在我們一起來看看同學們發(fā)現(xiàn)了哪些類似的問題？"很多同學馬上舉起了手。

接下來課堂成了學生的成果展示會。

"平面內(nèi)有n條直線，若它們兩兩相交，最多有多少個交點？答案也是n（n-1）2個。"

"全班45個同學互相握一次手，一共要握（45×44）/2次手，如果是n個人就是n（n-1）2次。"

"n個球隊進行循環(huán)賽，每個隊都要和其他隊賽一場，一共要賽n（n-1）2場。"

有一個女同學很急切一樣，她的問題是：

……

同學們的發(fā)言很踴躍，有說n個人一起喝酒，每兩個人碰一次杯，一共要碰n（n-1）2次。

我看到這種情況重復出現(xiàn)，話鋒一轉(zhuǎn)：還有沒有特別一點的？

一個男同學舉手了："我說的是對角線。"

"對角線？"我停了一下，因為我平時提到過對角線，但對于學生畢竟是一個新概念。我說："你說說"。

"n邊形有n個頂點，每個頂點可以向除它本身和左右相鄰的兩個頂點外的其余（n-3）個頂點畫對角線，一共可畫n（n-3）條，由于重復一次，所以對角線有n（n-1）2條。"

……

3.教學反思

本案例是一個內(nèi)容比較簡單的復習內(nèi)容。從教學效果來看，是成功的。

在這一個探究的環(huán)節(jié)，達成了以下兩個教學目標：①在具體情境中，掌握該類計數(shù)問題的計數(shù)方法。②通過對具體問題的分析，找出該類問題的數(shù)學模型。探究環(huán)節(jié)的重點是掌握該類計數(shù)問題的計數(shù)方法。學生探究的難點是通過對具體問題的分析，認識到具體問題所在的數(shù)學模型。

為了更好地突破難點，我首先在設(shè)計上盡量拋開以前的講授式。而是充分利用學生參與學習和探討的熱情，讓學生充分發(fā)表意見，通過對問題的爭論與討論，達到對知識的深入理解。因此，探究環(huán)節(jié)的開始，我首先從一類最簡單，最常見的問題出發(fā)引入，從學生的知識最近發(fā)展區(qū)進行提問，一步步發(fā)散展開，最后讓學生尋找學習中出現(xiàn)的相同數(shù)學模型的問題來達到鞏固知識的理解。

教學過程中采用讓學生討論的形式，以學生自主探究與合作學習，教師組織、引導的方式進行，并對問題的實際數(shù)學模型加以深入，讓學生能對知識舉一反三。實踐證明，這個探究環(huán)節(jié)的實施是成功的。

但仍然有以下問題值得探討：（1）本堂課在課堂開始用第二種方法分析線段條數(shù)得到計數(shù)結(jié)果為n（n-1）2，仍然是以教師講解為主，沒有完全放手讓學生自己探究獲得。

（2）課中一些好的做法值得借鑒，課堂上能放手真正的讓學生參與到自主探究的學習中去，這也是今后教學應(yīng)提倡的做法。

（3）如何充分發(fā)揮學生的合作學習，讓每個學生都積極動起來，全體參與，共同提高，而不僅僅是少數(shù)人討論，也是今后教學中值得注意的問題。

本堂課的內(nèi)容看似比較簡單，但要求低年級學生對這一 數(shù)學模型有一個深入的理解，以達到對知識的融會貫通具有一定的難度，筆者深切地感受到，讓學生主動地探究與體會其內(nèi)在的數(shù)學模型是這堂課是否成功的關(guān)鍵。實踐證明，學生自己探究并發(fā)現(xiàn)的知識記得更牢，并能靈活運用。