不同初始條件下液滴鋪展過程中的指進特征

王媛媛，薛全喜，李春曦

(華北電力大學(xué) 能源動力與機械工程學(xué)院，河北保定071003)

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不同初始條件下液滴鋪展過程中的指進特征

王媛媛，薛全喜，李春曦

(華北電力大學(xué) 能源動力與機械工程學(xué)院，河北保定071003)

摘要：針對含活性劑液滴在預(yù)置液膜上鋪展過程中形成的指進現(xiàn)象，基于潤滑理論建立的液膜厚度和活性劑濃度演化模型，通過數(shù)值模擬得到了不同初始條件下的指進特性，并利用分形維數(shù)分析了指進現(xiàn)象的非線性特征。研究表明：液滴鋪展過程中，在液滴底部液膜最薄區(qū)產(chǎn)生指進現(xiàn)象；隨預(yù)置液膜厚度增加，鋪展范圍擴大，指長縮短；隨初始活性劑濃度降低，鋪展范圍縮小，指長減小；增加毛細(xì)數(shù)，指長變短、手指密度減小，手指分叉程度也顯著減?。恢笇捲阡佌怪泻笃诔尸F(xiàn)波動特征；增大預(yù)置液膜厚度或毛細(xì)數(shù)、降低初始活性劑濃度，均使指進現(xiàn)象的分形維數(shù)減少，即手指的分叉程度減弱，減小了鋪展過程不穩(wěn)定性特征。

關(guān)鍵詞：液滴鋪展；初始條件；指進現(xiàn)象；分形維數(shù)

0引言

隨對微流體研究的深入，含表面活性劑液滴的鋪展課題已廣泛應(yīng)用于微機電系統(tǒng)的加工、散熱、印刷、鍍層行業(yè)及醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的呼吸窘迫癥治療[1-5]等方面，因此，開展對含活性劑液滴鋪展問題的研究具有重要的科研與應(yīng)用價值。

含活性劑的液滴在鋪展過程中呈現(xiàn)明顯的不穩(wěn)定性特征[6]。已有實驗結(jié)果顯示，在含活性劑溶液鋪展或潤濕時，位于上層的液滴鋪展前沿會產(chǎn)生分岔現(xiàn)象，即指進現(xiàn)象[7]，這是由液滴鋪展過程中存在的復(fù)雜非線性特征所致[8,9]。

針對文獻(xiàn)[10]中首次發(fā)現(xiàn)的指進現(xiàn)象，文獻(xiàn)[11]提出其不穩(wěn)定性是由活性劑濃度梯度產(chǎn)生的Marangoni效應(yīng)導(dǎo)致。文獻(xiàn)[12]采用垂直的Hele-Shaw模型研究SDS溶液產(chǎn)生的指進特征，描述了手指的分叉與合并過程，并分析了影響指進現(xiàn)象穩(wěn)定性的因素。還有許多研究者通過理論建模和數(shù)值模擬來重現(xiàn)液滴鋪展過程，并采用非模態(tài)方法分析鋪展過程穩(wěn)定性[13-16]，模擬結(jié)果中呈現(xiàn)的液滴鋪展前沿的波狀凸起及液滴底部的凹陷特征均良好地吻合于實驗結(jié)果。其中，Matar和Craster課題組開展了對指進現(xiàn)象的數(shù)值模擬研究，先后成功再現(xiàn)了含不溶性[16]62、可溶性[14]2933、高于臨界膠束濃度[15]105的活性劑液滴在平面及傾斜面上[16]62的指進現(xiàn)象。文獻(xiàn)[17]針對Hele-Shaw裝置中的粘性指進現(xiàn)象，對比了非牛頓流體、凝膠及泡沫的指進特征，分析了驅(qū)替過程的穩(wěn)定性。

綜上所述，已有研究成果主要圍繞活性劑濃度和預(yù)置液膜厚度展開，描述液滴鋪展過程中的指進現(xiàn)象，進而探究初始活性劑濃度和預(yù)置液膜厚度因素造成的液滴演化特性。而對指進現(xiàn)象中的重要參數(shù)特征，如指進現(xiàn)象中指長與指寬等特征量的演變特征，尚不完善。鑒于此，下文利用Freefem編譯軟件模擬不同初始條件下含不溶性活性劑液滴在預(yù)置液膜上的三維指進特性，分析指進現(xiàn)象中手指長度與指尖寬度(簡稱指長和指寬)的變化特征，并采用分形維數(shù)研究指進現(xiàn)象的非線性特征。

1理論模型和特征演化方程

1.1理論模型

如圖1所示，在厚度為Hb*的液膜上放置含不溶性活性劑液滴，活性劑濃度梯度誘導(dǎo)的Marangoni效應(yīng)驅(qū)動液滴向四周鋪展[18]。鋪展過程中，液滴底部液膜厚度急劇變小，演化成超薄液膜區(qū)(對應(yīng)鋪展半徑Rs)；在上層含活性劑分子的液滴與下層預(yù)置液膜交界處，形成鋪展前沿Xf。模型中假設(shè)壁面為無滲透、無滑移，液滴初始最大厚度值H*遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于流動方向尺度L*，即ε=H*/L*<<1(其中上標(biāo)“*”代表有量綱量)，因此可應(yīng)用潤滑理論[19]。

圖1　含不溶性活性劑液滴的鋪展二維圖

1.2特征演化方程

模型控制方程由連續(xù)性方程、N-S方程和濃度擴散方程組成，結(jié)合潤滑理論，可推導(dǎo)出式(1)、(2)所示的液膜厚度和活性劑濃度的演化方程組，推導(dǎo)過程詳見文獻(xiàn)[13,20]3，173：

(1)

(2)

液滴的初始外形及活性劑初始濃度方程分別為：

(3)

(4)

式中：H(1-x)=0.5[1+tanh(20(1-x))]為海氏階躍函數(shù)；初始活性劑濃度Γc=1；b表示無量綱形式的預(yù)置液膜厚度，計算中取為b=0.05。

圖2　初始時刻的液膜厚度和表面活性劑濃度分布

計算中的邊界條件為：

(5)

(6)

2數(shù)值模擬結(jié)果及分析

為研究不同初始條件對指進特征的影響，以下針對不同預(yù)置液膜厚度、初始活性劑濃度和毛細(xì)數(shù)進行分析。模擬計算中，選取0

為滿足精度需求和縮短計算時間，將模型計算區(qū)域劃分成100×100的均勻網(wǎng)格，時間步長取為0.01。如無具體說明，以下計算所用無量綱參數(shù)分別取為：毛細(xì)數(shù)C=0.000 1，Marangoni數(shù)M=1，Peclet數(shù)Pe=10 000。

2.1預(yù)置液膜厚度的影響

圖3　t=100時不同預(yù)置液膜厚度下的指進現(xiàn)象

圖3為鋪展時刻t=100時，不同預(yù)置液膜厚度Hb下的指進現(xiàn)象。由圖可知，鋪展過程呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性的指進現(xiàn)象，且預(yù)置液膜厚度對指進特征具有顯著的影響。這表現(xiàn)在：隨Hb增加，鋪展前沿向外側(cè)延伸，即液滴鋪展范圍相應(yīng)擴大；另外，鋪展過程中的指長隨Hb增加而減小，且手指分叉程度明顯減弱，即增加預(yù)置液膜厚度抑制了指進現(xiàn)象的形成。

圖4為y=2.94處的液膜厚度分布。由圖可知，隨Hb增加，液膜最薄區(qū)厚度減?。灰旱武佌骨把?，即液膜最厚處，其厚度均為其預(yù)置液膜厚度的2倍，且隨Hb增加鋪展前沿Xf變長，因此，增加預(yù)置液膜厚度可有利于提高液滴鋪展速度，促進液膜的鋪展范圍，該結(jié)果與文獻(xiàn)[11]25中的實驗結(jié)果相吻合。

圖4　預(yù)置液膜厚度對液膜厚度分布的影響(y=2.94)

圖5　預(yù)置液膜厚度對指長的影響

圖6　預(yù)置液膜厚度對指寬的影響

為進一步比較預(yù)置液膜厚度對指進現(xiàn)象中手指長度與寬度的影響，圖5與圖6給出了指長和指寬隨時間的變化。圖5表明，隨時間持續(xù)，指長均呈增長趨勢；當(dāng)增加預(yù)置液膜厚度后，在同一時刻下，指長則逐漸縮短，且Hb由0.05增至0.1時，指長減少最為明顯。由計算得：3種預(yù)置液膜厚度下的指長增長率分別為t0.75，t0.70和t0.60，即增加預(yù)置液膜厚度減緩了指長的增長速度。

以指進現(xiàn)象中最長手指的指尖寬度為例，預(yù)置液膜厚度對指寬的影響如圖6所示。在鋪展初期，隨時間延長，指進現(xiàn)象中的手指不斷增寬加長，當(dāng)指寬達(dá)到0.2后開始呈現(xiàn)波動特征，且預(yù)置液膜厚度越小，指寬波動越大，由此加劇了鋪展不穩(wěn)定性，即預(yù)置液膜厚度對指寬的影響表現(xiàn)在鋪展中后期的指寬波動特征上。

2.2初始活性劑濃度的影響

圖7為t=100時，初始活性劑濃度Γc=1,0.6和0.4下的指進現(xiàn)象。由圖可知，鋪展過程中，在液滴底部的最薄區(qū)形成指進現(xiàn)象；隨Γc減小，指長縮短，且手指分叉程度也明顯減弱；初始活性劑濃度的減小也使鋪展前沿縮短，鋪展速度降低，這是因減小初始活性劑濃度后，Marangoni力減弱，從而使液膜由高濃度向低濃度方向流動速度減慢。

圖7　t=100時不同初始活性劑濃度下的指進現(xiàn)象

圖8為t=100時，y=2.94處的液膜厚度分布。由圖可知，產(chǎn)生指進現(xiàn)象處的液膜最薄區(qū)隨Γc降低變得更薄，且鋪展前沿Xf隨之減小，即縮小了液滴的鋪展范圍，但鋪展前沿處的液膜厚度仍然保持為2倍預(yù)置液膜厚度的外形特征。

圖8　初始活性劑濃度對液膜厚度分布的影響(y=2.94)

初始活性劑濃度對指長和指寬的影響如圖9與10所示。圖9表明，在同一時刻下，指長隨Γc降低而變短，指長增長率隨Γc降低而降低，由計算得不同濃度下的指長增長率分別為t0.91，t0.83和t0.60。初始活性劑濃度對手指指寬變的影響與預(yù)置液膜厚度的影響類似(圖10)，即在鋪展中后期呈現(xiàn)明顯的波動特征，且Γc越大，其波動特征愈加明顯，這是因當(dāng)增加初始活性劑濃度后，由此產(chǎn)生更為顯著的Marangoni效應(yīng)所致，因而指進特征更加突出。

圖9　初始活性劑濃度對指長的影響

圖10　初始活性劑濃度對指寬的影響

2.3毛細(xì)數(shù)的影響

圖11為t=100時毛細(xì)數(shù)C對指進現(xiàn)象的影響。該圖表明，隨毛細(xì)數(shù)C增大，指進現(xiàn)象中的指長變短、手指密度減小，手指分叉程度也顯著減少，即增大毛細(xì)數(shù)有利于抑制指進現(xiàn)象的形成。圖12表明，隨C增大，液滴鋪展前沿的位置Xf不變，即改變C值對鋪展速度并無影響；但液膜最薄處的液膜厚度隨C增大而有所減薄；在液滴鋪展前沿處，液膜厚度仍為預(yù)置液膜厚度的2倍。

圖11　t=100時不同毛細(xì)數(shù)下的指進現(xiàn)象

圖12　毛細(xì)數(shù)對液膜厚度分布的影響(y=2.94)

圖13　毛細(xì)數(shù)對指長的影響

由圖13可知，隨C增大，指長顯著減小，尤其是C=0.01時，在鋪展中后期，指長基本保持不變，即該情形下，液滴的鋪展過程近似停滯狀態(tài)；指長增長率隨C增大而減小，分別為t0.63，t0.58和t0.32，即增大毛細(xì)數(shù)削弱了指進現(xiàn)象。

2.4指進特性的分形維數(shù)

指進現(xiàn)象呈現(xiàn)的非線性特征可采用分形維數(shù)進行分析。分形維數(shù)廣泛用于對不規(guī)則物體度量方面，維數(shù)可以是分?jǐn)?shù)[21]。計盒維數(shù)法常用于分形維數(shù)計算，即

(7)

式中：r為覆蓋曲線的盒子邊長；N(r) 為覆蓋曲線的非空盒子數(shù)；D為分形維數(shù)[22]。不同預(yù)置液膜厚度、初始活性劑濃度和毛細(xì)數(shù)下指進現(xiàn)象的分形維數(shù)如表1～3所示。結(jié)果表明，增大預(yù)置液膜厚度或毛細(xì)數(shù)、降低初始活性劑濃度，均使指進現(xiàn)象的分形維數(shù)減少，表明手指的分叉程度減弱，減小了鋪展過程不穩(wěn)定性特征； 在本文研究的參數(shù)范圍內(nèi)，其分形維數(shù)在1.01～1.28之間。

表1　不同預(yù)置液膜厚度的分形維數(shù)D

表2　不同活性劑濃度的分形維數(shù)D

表3　不同毛細(xì)數(shù)的分形維數(shù)D

3結(jié)論

(1) 液滴鋪展過程中，在液滴底部液膜最薄區(qū)產(chǎn)生指進現(xiàn)象，鋪展前沿處液膜厚度為預(yù)置液膜厚度的2倍。隨預(yù)置液膜厚度增加，液滴鋪展前沿變長，鋪展范圍擴大，指長縮短；隨初始活性劑濃度降低，鋪展范圍縮小，指長減??；隨毛細(xì)數(shù)增大，指長變短、手指密度減小，手指分叉程度也顯著減少；指寬在鋪展中后期呈現(xiàn)波動特征。

(2) 增大預(yù)置液膜厚度或毛細(xì)數(shù)、降低初始活性劑濃度，均使指進現(xiàn)象的分形維數(shù)減少，即手指的分叉程度減弱，減小了鋪展不穩(wěn)定性特征； 在本文研究的參數(shù)范圍內(nèi)，其分形維數(shù)在1.01～1.28之間。

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Fingering Phenomena During the Droplet Spreading Under Different Initial Conditions

WANG Yuanyuan, XUE Quanxi, LI Chunxi

(School of Energy Power and Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

Abstract：As for fingering phenomena occurred in the spreading of the droplet with insoluble surfactant, the evolution models of liquid film thickness and surfactant concentration are established based on the lubrication theory, and the fingering phenomena under different initial conditions are examined with the numerical simulation. The nonlinear feature of fingering phenomena is investigated with fractal dimension. The results show that fingering phenomena arises in the thinnest area of the bottom of the film. With the increasing of precursor film thickness, the scope of spreading expands, however, the length of the finger becomes shorter. The scope of droplet spreading decreases when the initial surfactant concentration reduces, and the fingers get shorter. With increasing of capillary number, the finger length becomes smaller, and the density of the fingers decreases. The perturbation of the finger width is observed in the middle and late period of spreading. The fractal dimension of fingering tends to decrease with the addition of precursor film thickness and the capillary number or the decrease of surfactant concentration. The diminishment of finger bifurcation degree results in the instability characteristics of film spreading.

Keywords：droplet spreading; initial conditions; fingering phenomena; fractal dimension

收稿日期：2016-04-16。

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11202079)；河北省自然科學(xué)基金(A2015502058)。

作者簡介：王媛媛(1988-)，女，碩士研究生，研究方向為微觀流體力學(xué)理論研究與應(yīng)用，E-mail：wangyuanyuan9128@163.com。

中圖分類號:O647;TK121

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

DOI:10.3969/j.issn.1672-0792.2016.06.003