淺談數(shù)學中的辨證思想

胡爾軒

【摘 要】數(shù)學中蘊涵著豐富的思想內(nèi)涵，辨證思想是這些思想內(nèi)涵中的重要組成部分。本文從基本概念出發(fā)，深入研究數(shù)學中的辨證思想。具體來說就是通過實例來討論直與曲、連續(xù)與間斷、有限與無限、數(shù)與形等辨證法思想在數(shù)學中的應用。

【關鍵詞】數(shù)學；辨證思想；直與曲

辨證思想是指以變化發(fā)展的視角認識事物的思維方式，通常被認為是與邏輯思維相對立的一種思維方式。在邏輯思想中，事物一般是“非此即彼”或“非真即假”等等，而在辨證思想中，事物可以在同一時間里“亦此亦彼”、“亦真亦假”而無礙思維活動的正常進行。

辨證思想是一種世界觀。世界萬物之間是互相聯(lián)系，互相影響的，而辨證思想正是以世間萬物之間的客觀聯(lián)系為基礎而進行的對世界進一步的認識和感知，并在思考的過程中感受人與自然的關系，進而得到某種結論的一種思維。辯證思想的本質是反應客觀事物矛盾著的兩方面的相對統(tǒng)一和相互轉化，因此，辨證思想的要害是抓住對立面的聯(lián)系、滲透和轉化。反映在數(shù)學中，就是應該重視事物的數(shù)量、形式和結構間的內(nèi)在矛盾，自覺地有意識地運用辨證規(guī)律來解決問題。

數(shù)學中充滿著矛盾、充滿著辯證法。古今數(shù)學家都把自然辨證法的思想作為研究數(shù)學的指導思想。如果說古代數(shù)學中的辨證法是零亂、雜散的，那么近代數(shù)學就比較集中大量涉及及運動變化和辨證統(tǒng)一的哲學思想。到19世紀70年代，數(shù)學與辨證法已成為一對不可分割的孿生姐妹，辨證法更是數(shù)學中不可缺少的必要因素。

1 直與曲的辨證關系

直與曲是兩個完全不同的數(shù)學概念。從直觀形象看，前者平直后者彎曲；從幾何特性來看，前者曲率為0，后者曲率不恒為0；從代數(shù)表達式來看，前者是線性方程，后者是非線性方程。因此，直與曲的差別是明顯的，那么這兩個差別如此顯著的對立概念是否存在內(nèi)在聯(lián)系，能否在一定條件下互相轉化呢？

從數(shù)學的思想方法中可以看出，直與曲除了有非直即曲的一面，也存在亦直亦曲的一面。存在直與曲之間的中介狀態(tài)，通過這個中介狀態(tài)實現(xiàn)直與曲的轉化。比如，曲線的漸近線是指，在曲線無限延伸時與一條定直線“無限接近，但永不相交”，其數(shù)學表達式如下確定：設曲線為y=f（x），其漸近線為y=kx+b且其斜率存在，則：

利用直與曲的這種中介狀態(tài)，實現(xiàn)局部范圍內(nèi)的“以直代曲”，是數(shù)學中的一種基本的辯證思想方法。

2 連續(xù)與間斷的辨證關系

2.1 在數(shù)學中，連續(xù)與間斷帶來函數(shù)性質的顯著差異

2.2 連續(xù)與間斷在一定條件下可以相互轉化

隨著數(shù)學的發(fā)展，對函數(shù)連續(xù)與間斷的認識也在深化，在一定條件下，實現(xiàn)了連續(xù)與間斷的相互轉化。

比如，利用定積分的定義來求n項和數(shù)列的極限，就是用連續(xù)研究間斷（離散）的典型方法。

連續(xù)與間斷的轉化還體現(xiàn)在日常生活中，比如，電視機的畫面是連續(xù)分布的，但電視機上的畫面是由點陣組成的；打印機打印的文字也是由點陣組成的，這都是用離散量來逼近連續(xù)量的具體體現(xiàn)。

3 有限與無限的辯證關系

數(shù)學中有許多問題都是在有限范圍內(nèi)討論的，但往往又與無限有著密切的聯(lián)系。在數(shù)學的運算中，有限運算與無限運算有著本質的區(qū)別。希爾伯特編了這樣一個故事：有一個無限多個房間，可以接待無限多個客人的旅館，來了一位新客人，經(jīng)理通知所有客人搬到下一號房間去住，這樣第一號房間空出，可以供新客人來往，突然又來了無限（可數(shù)）多個客人，經(jīng)理讓每個客人搬到原有號碼的的二倍房間去住，新來往的客人全搬到空出的奇數(shù)號房間。

對于第一種情況，由于來的客人是有限的，所以是在有限的范圍內(nèi)進行運算，與無限多個房間并沒有關系。而第二種情況，來的客人是無限多個，則應該在無限的范圍內(nèi)進行運算，無限多個房間恰好給這個運算提供了條件。從這里可以看出，有限運算與無限運算的本質區(qū)別在與他們是在不同的范圍內(nèi)進行運算，兩者之間沒有聯(lián)系。

數(shù)學中的許多公理和運算律也有著局限性。有限加法的交換律、結合律都成立，而對無限項結合律未必成立。如對無窮級數(shù)1-1+1-1+…+（-1）n+1+…，它本身就是一個發(fā)散級數(shù)。如果按下列方式結合（1-1）+（1-1）+…，它又收斂與0。如果按下列方式結合1-（1-1）+（1-1）-…，它又收斂與1。

雖然有限與無限有的本質的區(qū)別，但是它們有著密切的聯(lián)系。

4 數(shù)與形的辨證關系

代數(shù)與幾何是數(shù)學中的主體內(nèi)容，它們是密不可分的。對此華羅庚先生曾經(jīng)有過精辟的論述：“數(shù)形本是兩依依，數(shù)缺行時少直觀，行少數(shù)時難入微，數(shù)行相助雙翼飛”。數(shù)與形是現(xiàn)實世界中客觀事物的抽象和反映，是數(shù)學的基石。恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系與空間形式的科學。”數(shù)形結合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。

4.1 代數(shù)問題幾何化

4.2 幾何問題代數(shù)化

在立體幾何中，我們常會遇到諸如證明線線垂直線面垂直或計算異面直線所成的角線面角以及二面角一類的問題，而在某些情況下這些問題用常規(guī)的方法（幾何法）解決會有很大的難度，而轉為利用代數(shù)方法（空間向量法）來解決則要容易的多。

該題直接作出二面角有些困難，而把它代數(shù)化后，運用向量的知識來解決問題就變的簡單些了。所以我們平時要具有幾何與代數(shù)的辯證思想。

恩格斯說過：數(shù)學是辨證的輔助工具和表現(xiàn)方式。數(shù)學內(nèi)容和數(shù)學方法中包含著大量的辨證思想。值得指出的是，不要孤立的看待上述各種辯證思想策略，它們是相互滲透，水乳交融的，在解題過程中，從優(yōu)化思想品質和提升自身辯證思想出發(fā)，重視辯證思想策略的啟導是提高解題策略的一條有效途徑。

[責任編輯：王楠]