股票價格的分?jǐn)?shù)布朗運動跳—擴(kuò)散過程模型

榮晶　馬輝

摘要：本文主要是在幾何分?jǐn)?shù)布朗運動模型的基礎(chǔ)上，考察帶跳的幾何分?jǐn)?shù)布朗運動模型，即分?jǐn)?shù)跳—擴(kuò)散過程，對模型的跳躍形式進(jìn)行了兩個方面的修正，提出分?jǐn)?shù)跳—擴(kuò)散過程模型簡化的離散形式，提出利用Taylor展開式來處理模型中的控制項，對于大規(guī)模數(shù)值模擬可以減少算法所需的計算量并節(jié)約計算機(jī)內(nèi)存，

關(guān)鍵詞：股票價格；分?jǐn)?shù)跳一擴(kuò)散過程；數(shù)值模擬

中圖分類號：F830.91；O211.6 文獻(xiàn)識別碼：A 文章編號：1001-828X（2016）012-000-01

一、分?jǐn)?shù)跳—擴(kuò)散過程模型的修正

在分?jǐn)?shù)跳—擴(kuò)散過程模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合其他模型的優(yōu)點，改善分?jǐn)?shù)跳—擴(kuò)散過程模型的不足，主要提出兩個方面的修正，第一，在模型中引入放縮式的跳躍變量，來控制跳躍的強(qiáng)度，防止跳躍強(qiáng)度過大和過小的不適合股票市場情況的因素出現(xiàn)，第二，在模型中加入更為復(fù)雜的跳躍變量使之更加符合股票市場突發(fā)事件對股票價格影響時間長度和跳躍高度，使得模型更加適合大規(guī)模數(shù)據(jù)的處理，同時為了數(shù)值模擬方便，提出對模型中的參數(shù)與離散變量的一種極為有效的處理方法。

二、分?jǐn)?shù)布朗運動模擬

分?jǐn)?shù)布朗運動是B.B.Mandelbrot和Van Ness[2]首先提出的，對于分?jǐn)?shù)布朗運動，本文采用Yin Z-M[3]（1996）提出的兼顧效率與精度的快速模擬算法，對分?jǐn)?shù)布朗運動的增量進(jìn)行處理。定義分?jǐn)?shù)布朗運動的增量：

三、帶放縮性跳躍的股票價格模型

經(jīng)典的分?jǐn)?shù)跳—擴(kuò)散過程模型：

四、帶復(fù)雜性跳躍的股票價格模型

一般情況下，從長期趨勢上看，股票出現(xiàn)跳躍的頻率較低，但模型1無法體現(xiàn)跳躍形式在時間上的延展性，如果將分?jǐn)?shù)跳—擴(kuò)散過程模型中的跳躍形式引入廣義補(bǔ)償泊松過程，則可以較好地體現(xiàn)跳躍形式在時間上的延展性。在此基礎(chǔ)上將模型1修正為可控制跳躍頻率的過程，并進(jìn)一步改進(jìn)股票的預(yù)期收益率和波動率為時間和股價的連續(xù)非隨機(jī)函數(shù)。

模型1與模型2都是對實際股票價格的有效模擬。在股票的波動率可控的情況下，模擬收斂快，精度也較高。

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作者簡介：第一作者：榮 晶（1994-），女，吉林通化人，漢族，學(xué)生，研究方向：統(tǒng)計學(xué)，所在單位：吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院文理學(xué)院。

通訊作者：馬 輝（1981-），男，吉林伊通縣人，漢族，講師。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。所在單位：吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院文理學(xué)院。

項目來源：吉林省大學(xué)生科技創(chuàng)新項目，項目編號2015026。