衛(wèi)星激光反射器質(zhì)心改正的概率模型

趙群河，王小亞，何 冰，張忠萍，陳婉珍，陳宏宇，蔣 虎，胡小工

1.中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái)，上海200030；2.中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京100049；3.宇航動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710043；4.上海微小衛(wèi)星工程中心，上海201203

1 引 言

衛(wèi)星激光測(cè)距（satellite laser ranging，SLR）利用人衛(wèi)激光測(cè)距儀測(cè)得的激光脈沖往返于測(cè)站和衛(wèi)星之間的時(shí)間換算為兩者之間的距離［1］。SLR數(shù)據(jù)處理涉及衛(wèi)星的狀態(tài)（位置和速度）、觀測(cè)站在空間的位置以及激光在大氣中的傳播［2］。在利用SLR數(shù)據(jù)進(jìn)行衛(wèi)星精密定軌過程中，需要高精度模型來進(jìn)行星－地距離歸算修正，衛(wèi)星質(zhì)心改正就是其中一個(gè)重要因素。從SLR實(shí)測(cè)的激光脈沖往返時(shí)間間隔換算得到的是地面測(cè)站與衛(wèi)星表面激光反射點(diǎn)之間的距離，而在計(jì)算衛(wèi)星精密星歷、確定地球參考架或其他SLR技術(shù)應(yīng)用中，需要的是衛(wèi)星質(zhì)心與測(cè)站之間的距離。因此，必須在實(shí)測(cè)距離中加入衛(wèi)星有效反射面至衛(wèi)星質(zhì)心的距離補(bǔ)償改正，這就是衛(wèi)星的質(zhì)心改正（center－of－mass，CoM）。衛(wèi)星質(zhì)心改正與星載角反射器的大小、幾何構(gòu)型、材料等有關(guān)，可通過相關(guān)的理論計(jì)算和衛(wèi)星發(fā)射前的地面光學(xué)檢驗(yàn)等手段確定［3］。

目前，各種科學(xué)應(yīng)用也對(duì)SLR數(shù)據(jù)分析與評(píng)估提出更高要求。與測(cè)站發(fā)射的激光脈沖相比，經(jīng)過星載角反射器陣列反射的激光脈沖不僅被展寬，而且脈沖輪廓發(fā)生改變，這種由于衛(wèi)星的表面反射器的分布引起的激光回波波形的變化稱為衛(wèi)星形狀效應(yīng)（satellite signature effect）［4］。數(shù)值模擬和模型分析表明，衛(wèi)星形狀效應(yīng)將給激光衛(wèi)星的觀測(cè)數(shù)據(jù)帶來至少幾毫米的偏差［5］。在不考慮地球大氣的影響下，這一效應(yīng)導(dǎo)致衛(wèi)星質(zhì)心改正需要考慮以下3類因素：一是地面發(fā)射系統(tǒng)的發(fā)射激光波長(zhǎng)、脈沖能量與波形，這類因素決定了發(fā)射光束中光子在時(shí)間和空間上的分布；二是衛(wèi)星角反射器陣列的光學(xué)特性及幾何分布，這類因素確定了發(fā)射光束中同一波陣面的光子被反射器陣列中不同反射器反射的時(shí)間差，即確定了脈沖波形的展寬程度，再結(jié)合第一類因素，可以確定返回激光脈沖中光子能量在時(shí)間上的分布；三是地面接收系統(tǒng)探測(cè)器的光電響應(yīng)特性，這類因素確定了回波光子從到達(dá)探測(cè)器到轉(zhuǎn)化為光電流而被記錄的時(shí)間［6］。3類因素的綜合確定了激光脈沖往返時(shí)間的修正值，最終可換算得到衛(wèi)星質(zhì)心改正［7］。

質(zhì)心改正需要精確標(biāo)定，以提高衛(wèi)星測(cè)距精度。在諸多激光測(cè)距衛(wèi)星中，衛(wèi)星的各項(xiàng)幾何、物理參量較為完善，而且其質(zhì)心改正值也在發(fā)射前通過試驗(yàn)測(cè)定［8］。美國(guó)NASA/GSFC和德國(guó)地學(xué)中心的研究人員以LAGEOS衛(wèi)星為例，提出了計(jì)算質(zhì)心改正的方法和模型［9］，他們討論主要反映在對(duì)物理現(xiàn)象的解釋，給出的表達(dá)式主要針對(duì)具體的物理現(xiàn)象［10］。上海天文臺(tái)研究人員從物理過程分析了激光測(cè)距脈沖波形的變化，給出了完整的數(shù)學(xué)描述，并討論不同脈沖強(qiáng)度對(duì)衛(wèi)星質(zhì)心改正值和測(cè)距精度的影響可達(dá)10mm以上［11］。對(duì)于激光測(cè)距衛(wèi)星，其質(zhì)心改正值主要由角反射器分布效應(yīng)引入，其真實(shí)值為角反射器陣列的能量反射中心到衛(wèi)星質(zhì)心的距離，與幾何光學(xué)中心不同［12－14］。本文對(duì)以 LAGEOS為代表的球形衛(wèi)星和以北斗為代表的導(dǎo)航衛(wèi)星的激光反射器分別進(jìn)行建模，對(duì)角反射器的有效雷達(dá)截面面積進(jìn)行擬合，通過以入射角為隨機(jī)變量的概率模型，計(jì)算了LAGEOS－1球形激光測(cè)距衛(wèi)星的質(zhì)心改正值，并對(duì)BeiDou M3衛(wèi)星的多個(gè)角反射器組成的激光反射器平面陣列的情況進(jìn)行了探討。

2 基于概率密度函數(shù)的測(cè)地衛(wèi)星質(zhì)心改正模型的建立

因衛(wèi)星形狀效應(yīng)是一種平均效應(yīng)，可使用概率模型模擬，即假設(shè)質(zhì)心改正值是某一隨機(jī)變量的平均值，而角反射器的物理特性決定了質(zhì)心改正值可由某一分布函數(shù)確定，且該分布函數(shù)由衛(wèi)星及其反射器的雷達(dá)反射特性確定［15］。

2.1 隨機(jī)變量的選取及其分布函數(shù)

以LAGEOS－1衛(wèi)星為例，首先確定函數(shù)隨機(jī)變量，這里選激光束入射角為隨機(jī)變量φ，以LAGEOS－1衛(wèi)星的幾何中心為零點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，X軸為零角度，如圖1所示，有

式中，φ是角坐標(biāo)值；Rs為衛(wèi)星球體的半徑；L為角反射器的正高；n是角反射器的折射率。顯然，X（φ）的平均值就是質(zhì)心改正的值［8］。

圖1 LAGEOS－1/2衛(wèi)星的質(zhì)心改正模型坐標(biāo)示意圖Fig.1 Coordinate for the CoM model of LAGEOS－1/2

2.2 概率密度函數(shù)

根據(jù)雷達(dá)反射特性，激光測(cè)距衛(wèi)星類似于雷達(dá)目標(biāo)，其反射的能量與有效截面積成正比。因此，激光測(cè)距衛(wèi)星的有效雷達(dá)光學(xué)面積的分布函數(shù)就是隨機(jī)變量φ的概率密度函數(shù)［8］。

對(duì)于激光測(cè)距衛(wèi)星上的每個(gè)角反射器，在入射角為φ時(shí)的相對(duì)有效幾何面積［16］為

式（2）僅適合反射器底部?jī)?nèi)接圓切割的球形激光測(cè)距衛(wèi)星，其他的衛(wèi)星形狀不同則不能用該公式。

文獻(xiàn)［9］研究中將式（2）用式（3）擬合有效反射面積

式中，φmax為入射截止角（Cut－off－Angle，CoA），即光線入射到角反射器的最大入射角。不同的截止角在擬合前后的相對(duì)有效反射面積［η（φ）］2與［η1（φ）］2的比較如圖2所示。

由圖2的結(jié)果顯示可知，CoA為0.75時(shí)擬合程度最好，而在CoA取其他值時(shí)，擬合結(jié)果和原式的結(jié)果差別很大，所以式（3）在滿足條件下才能使用。

角反射器一般均勻分布在衛(wèi)星表面，設(shè)總數(shù)為N，假設(shè)每個(gè)角反射器在光線零角度入射時(shí)的峰值光學(xué)截面為σcc，在入射角為φ時(shí)的光學(xué)截面為σeff（φ），整個(gè)衛(wèi)星的光學(xué)截面分布函數(shù)為

圖2 相對(duì)有效幾何面積比較（n＝1.46，從上到下CoA依次為0.25、0.5、0.75、1）Fig.2 Comparison of relative effective area，n＝1.46，CoA is 0.25，0.5，0.75，1corresponding

部分公式推導(dǎo)見文獻(xiàn)［9］，參數(shù)含義同前。將式（4）歸一化得到φ的概率密度函數(shù)

推導(dǎo)得質(zhì)心改正的計(jì)算公式

利用Matlab軟件，采用牛頓－科特斯法積分，所需積分步數(shù)少，效率高，積分精度可達(dá)10－6，用擬合方法計(jì)算得LAGEOS衛(wèi)星的質(zhì)心改正為242.3mm，用原始推導(dǎo)式計(jì)算LAGEOS衛(wèi)星的質(zhì)心改正為240.4mm。

3 BeiDou－M3衛(wèi)星角反射器的質(zhì)心改正模型

在我國(guó)自主研發(fā)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的衛(wèi)星星座中，BeiDou－M3衛(wèi)星除了可以主動(dòng)地發(fā)播導(dǎo)航定位信息外，還由于在它的對(duì)地一側(cè)安裝了后向激光反射器，便可被動(dòng)地實(shí)施激光測(cè)距觀測(cè)?？紤]熱效應(yīng)的影響，BeiDou－M3和LAGEOS衛(wèi)星的角反射器底部都是采用內(nèi)接圓切割［16］。但與LAGEOS衛(wèi)星不同的是，BeiDou－M3衛(wèi)星上的激光反射器是由42個(gè)角反射器組成的平板陣列［17］，如圖3所示，兩種衛(wèi)星的角反射器的參數(shù)見表1。

圖3 BeiDou－M3上的激光反射器陣列Fig.3 The laser reflector array of BeiDou－M3

表1 LAGEOS衛(wèi)星和北斗衛(wèi)星角反射器結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Comparison of satellite reflector’s parameters between LAGEOS－1/2and BeiDou－M3

當(dāng)光線垂直入射，即入射角i＝0時(shí)的有效面積記為S0＝πr2，其中r為內(nèi)接圓的半徑。相對(duì)有效面積［16］為

式（8）是對(duì)空心角體合作目標(biāo)而言的，如果是實(shí)心的話，必須考慮材料的折射率n，此時(shí)將相對(duì)有效面積公式中的tani換成（文獻(xiàn)［18］），那么實(shí)際有效面積S為

對(duì)于入射角i的范圍，尚須考慮角反射器的接收角，即光線在非鍍層角反射器的全反射而不受破壞的最大入射角，根據(jù)光學(xué)折射定律和幾何關(guān)系得到［16］

在BeiDou－M3中角反射器的材質(zhì)為熔石英，其折射率n＝1.46，計(jì)算得到imax為16.8°。實(shí)際中需要考慮能量中心的位置，由于其角反射器陣列設(shè)計(jì)的對(duì)稱性，陣列所在平面的幾何中心位置即能量中心的水平分量所在位置，那么能量中心在厚度方向的位置由于無法直接測(cè)量成為難題。本文定義角反射器底面的法線方向?yàn)閆軸方向，即討論Z軸方向的能量中心位置，詳細(xì)的衛(wèi)星激光反射器的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)剖面圖如圖4所示。

圖4 BeiDou－M3的激光反射器示意圖Fig.4 Coordinate for the CoM model for BeiDou－M3

式中，i為光線入射角。令能量中心到O－XY平面的距離為CoM′，按幾何關(guān)系有

角反射器陣列有N個(gè)角反射器，對(duì)于每個(gè)角反射器，在入射角度為i時(shí)的實(shí)際有效面積為

角反射器的相對(duì)有效面積和實(shí)際有效面積均隨入射角度減小也逐漸減小。

整個(gè)激光反射器陣列的光學(xué)截面分布為Nη（i），將其歸一化，即得i的概率密度函數(shù)

進(jìn)一步，得到Z的概率密度函數(shù)

類比LAGEOS衛(wèi)星，Z方向的改正值為

ILRS官方公布的BeiDou－M3的數(shù)據(jù)中，L＝30mm，h＝24mm，N＝42，n＝1.46，沒有鍍膜，仿真給出的質(zhì)心改正，體現(xiàn)為反射中心在星固坐標(biāo) 系 中 的 坐 標(biāo) 為（－0.432 1m，－0.562 1m，1.133 8m）［19］。通過計(jì)算，CoM′值為－4.8mm（Z軸方向）。根據(jù)幾何信息，計(jì)算得到新的質(zhì)心改正值，其能量反射中心點(diǎn)在星固坐標(biāo)系中為（－0.432 1m，－0.562 1m，1.112 5m）。由 此 可見，能量中心與幾何中心、質(zhì)心理論值不在同一處。

4 LAGEOS－1和BeiDou－M3衛(wèi)星質(zhì)心改正模型精度的評(píng)估

4.1 衛(wèi)星精密定軌的統(tǒng)計(jì)動(dòng)力學(xué)方法

衛(wèi)星精密定軌計(jì)算采用基于線性估計(jì)技術(shù)的統(tǒng)計(jì)動(dòng)力學(xué)方法。本文選擇LAGEOS－1和Bei－Dou－M3共2顆衛(wèi)星作為研究對(duì)象。LAGEOS衛(wèi)星處于中軌道，是專用測(cè)地衛(wèi)星，被ILRS列為優(yōu)先觀測(cè)目標(biāo)［20］，而BeiDou－M3軌道較高，觀測(cè)數(shù)據(jù)少，適當(dāng)延長(zhǎng)定軌弧長(zhǎng)。利用上海天文臺(tái)SHORDER軟件，遵照軌道統(tǒng)計(jì)學(xué)原理［21］，對(duì)上述衛(wèi)星進(jìn)行精密定軌，測(cè)站坐標(biāo)采用ITRF2000，采用IAU1976歲差模型和IAU1980＋I(xiàn)ERS章動(dòng)模型改正，對(duì)觀測(cè)量進(jìn)行潮汐改正（固體潮、極潮、海潮負(fù)荷形變?cè)斐傻呐_(tái)站位移改正）、對(duì)流層折射改正、廣義相對(duì)論引力時(shí)延改正和衛(wèi)星質(zhì)心改正。由ILRS公布的LAGEOS－1原質(zhì)心改正為0.251m，本文計(jì)算的質(zhì)心改正為0.242 7m；BeiDou－M3原質(zhì)心改正為（－0.432 1m，－0.562 1 m，1.133 8m），各測(cè)站的現(xiàn)質(zhì)心改正為（－0.432 1 m，－0.562 1m，1.112 5m）。軌道高度的差別導(dǎo)致地球重力場(chǎng)模型GGM01C階數(shù)不同，LAGEOS采用30×30階，而BeiDou－M3采用15×15階；選取LAGEOS數(shù)值積分步長(zhǎng)為150s，定軌弧長(zhǎng)為3d，而BeiDou－M3數(shù)值積分步長(zhǎng)為300 s，定軌弧長(zhǎng)為10d；均選取1mm作為它的收斂標(biāo)準(zhǔn)［7］。在解算衛(wèi)星軌道參數(shù)時(shí)，將部分運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)作為待估量一起解算，保證觀測(cè)法方程求解精度，使各待估參數(shù)之間的相關(guān)性盡量減弱。這兩顆衛(wèi)星的待估參數(shù)包括類阻力系數(shù)、橫向和法向經(jīng)驗(yàn)加速度、太陽(yáng)輻射壓系數(shù)和地球自轉(zhuǎn)參數(shù)。

4.2 BeiDou－M3衛(wèi)星的質(zhì)心補(bǔ)償修正

對(duì)于LAGEOS－1/2等球形激光測(cè)距衛(wèi)星，質(zhì)心修正只需要在原始測(cè)距上加上質(zhì)心改正值。但是，BeiDou－M3衛(wèi)星上的激光反射器與衛(wèi)星質(zhì)心不重合，需要把測(cè)距數(shù)據(jù)修正到衛(wèi)星質(zhì)心上。一般投影到衛(wèi)星測(cè)距方向，衛(wèi)星質(zhì)心補(bǔ)償修正為

式中，［T］是J2000.0地心慣性坐標(biāo)系到星固坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；R、r分別為觀測(cè)時(shí)刻測(cè)站和衛(wèi)星在J2000.0地心慣性坐標(biāo)系中的位置矢量；PL即前面計(jì)算得到的質(zhì)心改正，是衛(wèi)星激光反射器在星固坐標(biāo)系中的位置矢量［14］。

4.3 結(jié)果與分析

LAGEOS－1軌道低，觀測(cè)數(shù)據(jù)多，本文選擇了2011年4月—2012年12月的SLR數(shù)據(jù)，采用本文獲得的質(zhì)心改正模型和ILRS建議的參數(shù)進(jìn)行精密軌道確定，來評(píng)估模型的精度和效果。由于6月觀測(cè)比較多，本文用SLR資料解算了2013年6月BeiDou－M3衛(wèi)星的SLR軌道。內(nèi)符合精度通常以軌道擬合殘差的均方根誤差（root－meansquare error，RMSE）表示，其大小受測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)量和誤差、定軌弧段的長(zhǎng)短、定軌過程中待估參數(shù)的數(shù)目和分段方法、數(shù)據(jù)剔除標(biāo)準(zhǔn)以及軌道數(shù)值積分的精度和收斂標(biāo)準(zhǔn)等因素的影響［21］。利用SLR數(shù)據(jù)進(jìn)行精密軌道確定，本文質(zhì)心改正模型對(duì)LAGEOS衛(wèi)星進(jìn)行SLR精密定軌的軌道殘差約為1.7cm，與ILRS公布值計(jì)算結(jié)果精度相當(dāng)，相差在亞毫米級(jí)，如圖5所示。

圖5 對(duì)LAGEOS－1，采用原質(zhì)心改正時(shí)的定軌精度（a）、采用現(xiàn)質(zhì)心改正后的精度（b）以及二者之差（WRMS1－WRMS0）（c）Fig.5 Difference between WRMS1and WRMS0，using ILRS CoM，new CoM and the difference

同時(shí)，采用兩種質(zhì)心改正值對(duì)BeiDou－M3衛(wèi)星進(jìn)行了精密定軌，弧段長(zhǎng)度為10d，并且重疊5d。統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，兩種質(zhì)心改正值的內(nèi)符合精度均約為1.9cm，相差在亞毫米級(jí)。對(duì)重疊弧段進(jìn)行軌道作差，并轉(zhuǎn)換到RTN方向，結(jié)果表明，在數(shù)據(jù)比較充足時(shí)R方向的軌道精度相差不超過1m，但是在T方向和N方向軌道差別達(dá)到幾十米或兩三百米左右，導(dǎo)致這一現(xiàn)象的原因主要是因?yàn)閿?shù)據(jù)稀少，測(cè)站少且分布不均。同時(shí)，圖6給出了兩種質(zhì)心改正值計(jì)算的軌道在RTN方向的差，表明反射能量中心與幾何中心的區(qū)別引起的CoM值的變化對(duì)衛(wèi)星軌道的徑向方向影響很小，在切向和法向引起軌道2～4m的波動(dòng)，引起這種現(xiàn)象的原因主要是受非球形衛(wèi)星姿態(tài)的影響。

圖6 兩種CoM值分別確定的軌道在RTN方向的差（NewCoM －ILRSCoM）Fig.6 The difference of the satellite’s orbit using 2 kinds of CoM value

5 結(jié) 論

本文將球形LAGEOS衛(wèi)星和“盒翼”形狀的衛(wèi)星BeiDou－M3的衛(wèi)星質(zhì)心改正概率模型用于SLR精密定軌，定軌內(nèi)符精度均優(yōu)于2cm，證明概率模型的理論正確性。對(duì)LAGEOS衛(wèi)星的長(zhǎng)期觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，使用ILRS公布的質(zhì)心改正值和概率模型計(jì)算的質(zhì)心改正值進(jìn)行SLR精密定軌，軌道精度相差為亞毫米。在對(duì)BeiDou－M3計(jì)算分析發(fā)現(xiàn)，軌道重疊弧段的R方向（徑向）的相對(duì)誤差保持在亞米級(jí)，而T方向、N方向的相對(duì)誤差在幾十米甚至更高；利用兩種不同的質(zhì)心改正值進(jìn)行SLR定軌，對(duì)軌道精度的影響達(dá)到2m。

因此，對(duì)于激光測(cè)距的反射中心的位置改正，并非是發(fā)射前標(biāo)定的質(zhì)量中心改正值，而應(yīng)該是由衛(wèi)星幾何形狀等因素決定的能量反射中心改正值，概率模型利用統(tǒng)計(jì)平均理論從球型衛(wèi)星移植到非球形衛(wèi)星，結(jié)合物理參數(shù)，討論其質(zhì)心改正與ILRS公布值對(duì)定軌精度的影響，結(jié)果符合較好。因此，可以利用概率模型計(jì)算其他衛(wèi)星的激光反射器的能量反射中心，即質(zhì)心改正值。

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