向量數(shù)量積中幾類典型問(wèn)題的應(yīng)用解析

（遼寧本溪縣高級(jí)中學(xué)，遼寧 本溪 117000）

一、利用向量數(shù)量積來(lái)求解圓錐曲線問(wèn)題：

例1：已知拋物線C: y2=8x的焦點(diǎn)為F，直線y=x-6與C交于A，B兩點(diǎn)，則cos∠AFB=______

解：聯(lián)立方程消y得進(jìn)一步解得x=2，x=18不妨記分別位于x軸的下方與上方，易求焦點(diǎn)坐標(biāo)為于是向量利用向量數(shù)量積公式

故選擇答案D

評(píng)析：解此題的關(guān)鍵是利用向量數(shù)量積公式其中θ為的夾角。

例2：已知平面上一定點(diǎn) C(2 ,0)和直線 l: x=8,P為該平面上得一動(dòng)點(diǎn)，作 PQ⊥l,垂足為Q且

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

（2）若EF為圓的任一條直徑，求的取值范圍。

解：（1）設(shè)點(diǎn)P(x, y),則易得Q(8,y).由條件得即化簡(jiǎn)得所以點(diǎn)P在橢圓上，其方程為

媳婦總算把活干完了，擦著手走進(jìn)屋來(lái)。哥們兒朝洛蒙精神起來(lái)，關(guān)掉手機(jī)里的游戲，在朦朧的燈光里看著她。此刻媳婦對(duì)他來(lái)說(shuō)就是饑餓中的一盆噴香的饃，暑熱里的一瓶冰鎮(zhèn)可樂(lè)。媳婦卻不知著急。她磨磨蹭蹭地走到床前，抹抹床單，整理整理被子，在床前站了一會(huì)兒，像是在思量著什么?？偹闩e起胳膊脫身上的衣服?？墒前裈恤卷起來(lái)剛脫到腋窩那兒，突然停下來(lái)。

（2）因?yàn)?/p>

P為橢圓上得任意一點(diǎn)，設(shè)為則有又圓心的坐標(biāo)為 N (0 ,1),所以因?yàn)樗援?dāng)取最大值20；當(dāng)取最小值從而的取值范圍是

評(píng)析：平面向量與平面解析幾何交匯的題目，涉及向量數(shù)量積的基本運(yùn)算、利用數(shù)量積的求解確定曲線的軌跡方程、直線與圓、直線與橢圓中求最值等系列問(wèn)題。解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)是從向量的坐標(biāo)運(yùn)算入手，利用坐標(biāo)法解決相應(yīng)的問(wèn)題。

二、利用向量數(shù)量積來(lái)證明不等式

例3：設(shè)求證

證明θ 為的夾角，則向量數(shù)量積不等式成立。整理得

因?yàn)橐椎?/p>

評(píng)析：利用向量數(shù)量積公式其中θ 為的夾角。易得等 號(hào)成立的條件是向量共線且同方向時(shí)成立。正是利用此不等式，可以巧妙的證明例2的結(jié)論。進(jìn)一步，利用向量數(shù)量積不等式易得到著名的Cauthy-Schwarz不等式，即對(duì)任意的兩組正數(shù)成立，其中等號(hào)成立的條件是ai= kbi, k > 0,i = 1,2,…,n.

例4：（2008全國(guó)高考卷）若直線通過(guò)點(diǎn) M (c osα,sinα)，則__

評(píng)析：令利用向量數(shù)量積不等式

很容易得出D為正確答案。

三、綜合應(yīng)用型

例5：（2013全國(guó)高考理科卷）如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)。

（1）求證：平面PAC ⊥平面PBC

（2）若AB = 2, AC = 1,P A =1,求二面角 C- PB -A的余弦值。

解：（1）由題意，P A⊥平面ABC，B C∈ 平面ABC故 P A⊥BC.又AB是圓的直徑，故即AC⊥BC.而 PA∩AC=A,所以 BC⊥ 平面PAC，又 BC∈平面PBC從而平面PAC ⊥平面PBC，證畢。

（2）如下建立空間直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)做BC的平行線為x軸，AC所在直線為y軸，AP所在直線z為軸。由AB = 2,A C = 1,P A =1,可知 ΔPAC 為等腰直角三角形，且則易知

設(shè)平面PBC與平面PAB的法向量分別為又可分別得進(jìn)一步整理得可取特殊值由此可知且二面角 C - PB -A的余

評(píng)析：空間解析幾何問(wèn)題是高考必考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，在解決這類問(wèn)題時(shí)可采用建立空間直角坐標(biāo)系的方法，利用向量之間的性質(zhì)關(guān)系運(yùn)算易得兩個(gè)平面上相應(yīng)的法向量，進(jìn)一步求得兩個(gè)法向量間的夾角余弦值而相應(yīng)得到兩個(gè)平面所成的二面角的余弦值。這是一種十分簡(jiǎn)便實(shí)用的方法，希望大家在做題之中要有更加深刻的理解并達(dá)到熟練掌握的程度。