(呼和浩特市土默特學校,內蒙古 呼和浩特 010010)
在《新課程標準》中關于基本理念的敘述中指出:數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具;數學為其他科學提供了語言、思想和方法,是一切重大技術發(fā)展的基礎;數學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力方面有著獨特的作用。分類思想,在我們的實際生活中經常用到,比如學生對書籍或一些物品的整理,教科書上對各章節(jié)的劃分……。通過分類處理,可以讓事物變得更有條理性,事物之間的關聯(lián)更加的清晰,而分類討論的能力也可以讓我們的邏輯思維更清楚,分析問題的能力得到訓練。
根據新課程標準的要求,通過初中數學的學習,學生對方程、類比、分類討論、建模等數學思想方法應有一定的感知,并能在解題過程中進行應用,這是對學生提出的較高學習要求。就這些概念本身而言的是比較抽象,也并不要求學生對概念進行記憶。因此,學生只有在新知識的習得過程中、知識的應用中去體會、感悟它們,才能理解并掌握。
分類討論的思想方法,它一直貫穿于初中數學知識。從教材內容的安排上來看,初中數學知識分代數、幾何、概率、統(tǒng)計四大部分,采用不同的方法進行研究,從各部分內容來看,如代數中實數的分類、式的分類、方程的分類、函數的分類等,這都是分類思想的表現(xiàn)。通過了解學習內容,讓學生在初中的第一堂課就感受當數學思想方法的運用,同時,通過學習內容的分類,使學習的難度有了一定的層次,每一節(jié)內容的學習目標更具體,便于生對知識的掌握。
初中數學內容中分類討論的思想主要表現(xiàn)在以下幾個方面:母系數或絕對值符號的運算,如,解方程 ax>1時,應分為:當a>0時(1)含字當a<0時,一次函數的截距和斜率對圖象位置的影響,如,一次函數y =kx +b,當 k>0,b>0 時,圖象過一、二、三象限,當 k>0,b<0 時,圖象過一、三、四象限,當 k<0,b>0 時,圖象過一、二、四象限,當 k<0,b<0 時,圖象過二、三、四象限,由于字母系數的取值和絕對值符號去掉后會有不同結果,因此需要分類討論。(2)一些概念和定理的論證過程包含了多種情況,如,三角形按邊長分類為:
還有角的分類,多邊形的分類,圓周角定理的證明等。(3)有些數學問題,盡管結果一樣,但由于每種結果的分類依據不同,也要分類討論,如,有理數可按定義分為:
在人教版八年級上《等腰三角形》的一次習題課中,學生碰到了這樣一些問題:
1、一等腰三角形的一個底角是40°,求另外兩個角的度數。
2、一等腰三角形的一個頂角是40°,求另外兩個角的度數。
3、一等腰三角形的一個內角是40°,求另外兩個角的度數。
前兩個問題學生能夠很快地找出答案,但在回答第三個問題時,一部分學生有了質疑:這個已知的角是頂角還是底角?通過討論,學生很快分析得出,這個角可能是頂角,也可能是底角。因此,這里有兩種情況。通過這幾個練習讓學生初步體會到分類思想的用途。
4、一等腰三角形的一個內角是100°,求另外兩個角的度數。
5、一等腰三角形的兩邊分別是6,3,求這個三角形的周長。
6、已知等腰三角形的周長是24,一邊長為6,則另兩邊的長是多少?
7、已知等腰三角形的周長是24,一邊長為10,則另兩邊的長是多少?
有了前面的問題做鋪墊,學生很自然的在處理這兩個題目時都會進行分情況(分類)處理,但會發(fā)現(xiàn)有些情況是不符合題意的,應當舍去。
8、一等腰三角形的周長是16,兩邊之差為2.求它的三邊長各是多少?
通過思考,學生們很快就提出了解法:
①設腰長為x,則:x+x+x+2=16,解得:x=。三邊長分別為,,。
②設底邊長為x,(x-2)+(x-2)+x=16,解得:x=。三邊長分別為,,。
這是出現(xiàn)了兩種相同的結果。問題出在哪兒?
經過討論,又有學生提出:
③設腰長為x,則:x+x+x-2=16,解得:x=。三邊長分別為6,4。
④ 設腰長為 x,則:(x+2)+(x+2)+x=16,解得:x=。三邊長分別為。
再次出現(xiàn)了同樣的問題。通過學生幾分鐘的觀察思考,就有學生發(fā)現(xiàn)了問題所在:這四種解法中實際上就包含了兩種情況:①底邊比腰長多2;②腰長比底邊多2。因而,分類不應該是以設不同的量(腰或底)為依據來進行求解。
到這里,一個教學環(huán)節(jié)結束,讓學生們回過頭再來看看這幾個問題給大家?guī)淼淖⒁恻c,不難得出:
(1)在幾何知識中,我們也會遇到分類討論的問題,即:問題的答案不唯一;
(2)在分類的幾種情況總,允許有不合題意的結論被排除;
(3)分類時,一定要找準分類的依據,以便做到不重不漏。
當然,分類討論思想的應用在后繼的學習中還會出現(xiàn),要能準確應用,要求學生具有較強的分析、整理能力和嚴密的邏輯思考。這一能力的養(yǎng)成,并不是一節(jié)課就能夠達到的,需要通過一定量練習的點滴滲透、積累、概況和歸納才能形成,這也是初中階段學習應養(yǎng)成的一種數學能力,在教學過程中不容忽視。
[1]數學課程標準研制組編寫.全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)解讀.北京:北京師范大學出版社,2002.5.第1版