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    不從起點植樹會怎樣?

    2016-07-08 03:38:04李凱
    湖北教育 2016年10期
    關(guān)鍵詞:種樹知識結(jié)構(gòu)植樹

    ●李凱

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    不從起點植樹會怎樣?

    ●李凱

    植樹問題是新人教版《數(shù)學(xué)》五年級上冊第七單元《數(shù)學(xué)廣角》中的內(nèi)容,這類問題變化多樣,學(xué)生容易混淆。如何能幫助學(xué)生把這類問題理解清楚呢?筆者認為還是要回到問題的源頭上,從植樹時不考慮起點開始探究,借助學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗引導(dǎo)學(xué)生理解植樹問題。

    一、由“不從起點植樹”引發(fā)的思考

    1.不從起點植樹,棵數(shù)等于間隔數(shù)(學(xué)生已有經(jīng)驗)

    一段50米的小路,每隔10米種一棵樹,可以種多少棵?學(xué)生根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗50米里面有5個10米,因此可以種5棵樹,應(yīng)該說學(xué)生這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗并沒有錯,如圖1。

    圖1

    即使不是植在每一段的正中間,結(jié)論依然成立,如圖2、圖3。

    圖3 小樹依次向右平移

    2.“不從起點植樹”與“兩端都植樹”的聯(lián)系

    如果繼續(xù)把小樹向左右兩端平移,會得到什么結(jié)果呢?顯而易見,這樣會出現(xiàn)一端栽一端不栽的情況,如圖4、圖5。結(jié)論依然成立。按照每間隔10米種一棵的要求,此時還可以在起點或者是終點再種一棵樹,這樣棵樹就等于間隔數(shù)+1了。

    圖4 小樹繼續(xù)向左平移到起點

    圖5 小樹繼續(xù)向右平移到終點

    只是這個時候線段兩個端點上的樹去掉了,也可以想象成在兩個端點上栽花,如圖6。

    圖6

    因此在一條線段上植樹,是否從起點開始植樹是十分重要的限定條件,它是區(qū)分新舊知識和經(jīng)驗的重要節(jié)點。據(jù)此可以得到這樣的關(guān)系,如圖7。

    圖7

    3.在圓周上植樹需要考慮起點嗎?

    從教材的示意圖(圖8)中可以看出,在圓形的路線上植樹,棵數(shù)與間隔數(shù)相等。問題是在圓形線路上植樹需要考慮起點的位置嗎?

    圖8

    我們用鐘面為例,將圓周平均分成12等份,如果間距是3個等份,顯而易見可以種4棵樹。用小圓點表示樹,如果在12點的位置種第一棵樹,則后面的3棵樹分別應(yīng)該在3點、6點和9點的位置,如圖9。如果在一點的位置種下第一棵樹,則后面3棵樹的位置會以此向后移動一個刻度,如圖10,雖然起點的位置改變了,但是結(jié)論依然是4棵。可見在圓周上植樹是不用考慮起點位置的,無論起點在哪里,棵樹都等于間隔數(shù)。

    圖9

    圖10

    4.在圓形路線上的結(jié)論推廣到其他封閉路線

    如果是在長方形或正方形的周界上植樹,棵數(shù)是不是還等于間隔數(shù)呢?我們可以試驗一下。以正方形為例,我們把正方形的邊長看成4,間距設(shè)為2。如果正方形的四個頂點上種樹如圖11,那么有8個間隔對應(yīng)有8棵樹。如果把這8棵樹按順時針移動相同的距離,就會出現(xiàn)頂點上不種樹的情況如圖12,這時依然有8個間隔對應(yīng)8棵樹。

    圖11 頂點上種樹

    圖12 頂點上不種樹

    因此在封閉路線上以任意一個點為起點,都能夠得到間隔數(shù)等于棵樹的結(jié)論,無論頂點上是否種樹都不影響到這個結(jié)論。

    二、對植樹問題的知識結(jié)構(gòu)調(diào)整

    圖13是原來植樹問題的知識結(jié)構(gòu)。從圖中可以看出在封閉路線上植樹的問題可以轉(zhuǎn)化成在線段上植樹問題中“一端栽,一端不栽”的情況來考慮,但是這兩個問題的前提是不一樣的,一個要考慮起點,一個不考慮起點,它們只是結(jié)論恰好相同而已。實際上在封閉路線上植樹應(yīng)該與學(xué)生原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗對應(yīng)起來,那就是有幾個間隔就有幾棵樹,不考慮起點。因此可以將原有的知識結(jié)構(gòu)圖調(diào)整一下如圖14,這樣學(xué)生對于植樹問題就比較明晰了,考慮起點時,用原有經(jīng)驗得到間隔數(shù),再根據(jù)要求對間隔數(shù)進行調(diào)整得到種樹棵數(shù),不考慮起點時,則運用原有經(jīng)驗,間隔數(shù)直接等于種樹棵數(shù)。

    圖13

    圖14

    可能有人會這樣認為:既然結(jié)論相同,原有的知識結(jié)構(gòu)也是成立的,不這樣調(diào)整似乎也沒有什么問題。事實并不是這樣,首先,不應(yīng)該把不同類型的問題混為一談;其次,分清楚知識結(jié)構(gòu)也有利于我們認識到問題的本質(zhì),簡化解決問題的思路和步驟。

    學(xué)生的配套練習(xí)中有一道題:全班52名同學(xué)在操場上做游戲,大家圍成正方形,每邊人數(shù)相等,四個頂點都有人,相鄰兩個同學(xué)之間相隔0.8米,求圍成的正方形的邊長是多少米。按照一般的解法是要考慮起點的,因為題目也限定了每個頂點都有人。先算每邊人數(shù)的時候?qū)嶋H上是轉(zhuǎn)化成了兩端都種樹的情況,并涉及到四個頂點重復(fù)計算問題還需要倒推,這樣算起來就會比較復(fù)雜。如果按照現(xiàn)在的思路,在封閉路線上植樹,不考慮起點,52個人就有52個間隔,無論四個頂點上有沒有人,每條邊上的間隔數(shù)都是一樣的,這樣算邊長不就很簡單了嗎。而且13+1就可以得到每邊人數(shù),比起之前的方法是不是簡便很多呢。

    一般的解法:先求每邊的學(xué)生人數(shù)(52-4)÷4+2=14(人),再求每邊的間隔數(shù)14-1=13(個),最后求邊長13×0.8=10.4(米)。

    現(xiàn)在的解法:先求每邊的間隔數(shù)52÷4=13(個),再求邊長13×0.8=10.4(米)。

    從圖13可以清楚看到,原有的知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗沒有什么聯(lián)系,全部需要學(xué)生自己建構(gòu)。如果采用圖14的知識結(jié)構(gòu),更多的學(xué)習(xí)經(jīng)驗可以直接繼承,需要做出調(diào)整的部分減少,這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)難度就降低了。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強調(diào)邏輯性和連貫性,這既是一個繼承的過程,也是一個創(chuàng)新的過程。

    (作者單位:武漢小學(xué))

    實習(xí)編輯孫愛蓉

    責(zé)任編輯劉玉琴

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