談數(shù)學(xué)思維模式發(fā)展

“模式”是一種可以照著去做的標(biāo)準(zhǔn)樣式。數(shù)學(xué)模式是反映特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)ο蟮年P(guān)系結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)思維模式是指主體在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中形成的相對(duì)穩(wěn)定的思維樣式，是一定的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)思維方式結(jié)合而成的動(dòng)力系統(tǒng)。數(shù)學(xué)思維模式具有簡(jiǎn)約思維過(guò)程、降低思維強(qiáng)度、提高思維效率的認(rèn)識(shí)功能。在通常意義下，凡是相對(duì)穩(wěn)定成型的數(shù)學(xué)思想規(guī)律、方法及典型問(wèn)題或基本問(wèn)題都屬于數(shù)學(xué)思維模式的范疇。

一、幾種主要的數(shù)學(xué)思維模式

數(shù)學(xué)的載體是數(shù)、式、圖形、結(jié)構(gòu)等數(shù)學(xué)對(duì)象。由于這些對(duì)象是具有特殊性的，它們是抽象的“思想事物”，所以數(shù)學(xué)的思維反映在認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的概念、法則、定理甚至符號(hào)之中。數(shù)學(xué)知識(shí)綜合復(fù)雜、千差萬(wàn)別，但仔細(xì)分析，大體有以下四種數(shù)學(xué)思維模式。

1.數(shù)學(xué)思維的操作模式：數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)思維的最初級(jí)模式是法則和方法以及公式等的直接應(yīng)用。如加減乘除的四則運(yùn)算法則，三角形、梯形、圓的面積公式等，表現(xiàn)為有章可循、可以操作的一種程序，這里講的操作，當(dāng)然是思維操作。例如，用兩塊三角板過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線，教師總結(jié)的“一放、二靠、三移、四畫(huà)”的程序，就是便于學(xué)生掌握“過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線”的方法。

2.數(shù)學(xué)思維的機(jī)理模式：數(shù)學(xué)原理。機(jī)理模式的數(shù)學(xué)思維，表現(xiàn)為一種適應(yīng)范圍廣、高層次的方法。它充滿(mǎn)著理性與邏輯性，常以數(shù)學(xué)原理的形式出現(xiàn)，有時(shí)雖然也有操作，但操作只是從屬地位。如果說(shuō)操作模式的數(shù)學(xué)思維常表現(xiàn)為“一定要這樣”，那么機(jī)理模式的數(shù)學(xué)思維突出的是“為什么是這樣”。機(jī)理模式的數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)有：分析和綜合原理、等價(jià)原理、對(duì)稱(chēng)原理、分類(lèi)原理、抽屜原理等，如式的恒等變形，根據(jù)的是等式的性質(zhì)。

3.數(shù)學(xué)思維的動(dòng)態(tài)模式：數(shù)學(xué)思想。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本要求是理解，要將數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛地融會(huì)貫通，這就是動(dòng)態(tài)模式的數(shù)學(xué)思維，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想是一種辯證性、運(yùn)動(dòng)性、總體性的思維形式，即從普遍聯(lián)系的視角來(lái)數(shù)學(xué)思維。如轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)動(dòng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、優(yōu)化思想、集合思想、極限思想、對(duì)應(yīng)思想、變換思想、普通性與特殊性思想等都屬動(dòng)態(tài)思維模式。

4.數(shù)學(xué)思想的工具模式：數(shù)學(xué)意識(shí)。數(shù)學(xué)家如何創(chuàng)造了數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)家在處理似乎與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的問(wèn)題時(shí)，他們的技巧為何如此高超？這種創(chuàng)造，這種處理，就是工具模式的數(shù)學(xué)思維：數(shù)學(xué)意識(shí)。作為數(shù)學(xué)意識(shí)，最深刻、本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是：數(shù)學(xué)是科學(xué)的仆人，數(shù)學(xué)是科學(xué)的語(yǔ)言，甚至數(shù)學(xué)是宇宙的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)是思維的工具。例如，笛卡兒提出過(guò)的“萬(wàn)能方法”（把任何問(wèn)題化歸用代數(shù)方程解的數(shù)學(xué)問(wèn)題），雖然“萬(wàn)能模式”的設(shè)想最后并未成功，但仍不失為一種偉大的思想，它從本質(zhì)上肯定了數(shù)學(xué)思維對(duì)認(rèn)識(shí)世界的工具作用。正如馬克思所說(shuō)：“一門(mén)科學(xué)，只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到真正完善的地步?！边@即所謂的數(shù)學(xué)意識(shí)。也就是說(shuō)數(shù)學(xué)的對(duì)象是一種邏輯的建構(gòu)，一般的科學(xué)對(duì)象可以說(shuō)是“數(shù)學(xué)建構(gòu)”。

二、對(duì)一道例題幾種解法的思維模式層次剖析

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)（2014版）第96頁(yè)編排了如下一道例題。

南山中心小學(xué)舉行小學(xué)生足球賽，有4支球隊(duì)參加，分別是紅隊(duì)、黃隊(duì)、綠隊(duì)和藍(lán)隊(duì)。如果每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)，一共要比賽多少場(chǎng)？

教學(xué)中，教師在學(xué)生認(rèn)真審題、理解題意的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生嘗試尋找解決問(wèn)題的方法后交流。

第一種方法，在紙上寫(xiě)了紅、黃、綠、藍(lán)4支隊(duì)的名字，然后兩兩配對(duì)，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，得到的結(jié)果為6場(chǎng)（如圖1）。

顯然，這種方法是這一比賽法則的操作思維。此思維法則，顯示了對(duì)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，這種思維操作模式的直接結(jié)果是熟悉數(shù)學(xué)知識(shí)與形成數(shù)學(xué)技能，掌握基本的數(shù)學(xué)方法。

第二種方法，把這4支比賽球隊(duì)列成一個(gè)表，即比賽的場(chǎng)次表（如下表），得到的結(jié)果是6場(chǎng)。

這種方法主要是分類(lèi)或分解原理的機(jī)理思維，在這里我們會(huì)感悟到：如果沒(méi)有經(jīng)過(guò)法則和方法的認(rèn)真操作，就不能形成扎實(shí)的基本功；如果不能上升到數(shù)學(xué)的原理去思維、思考法則和方法的機(jī)理，勢(shì)必是機(jī)械的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。反過(guò)來(lái)，如果僅僅是從原理上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而不是在法則訓(xùn)練的基礎(chǔ)上去提煉，則數(shù)學(xué)原理就成為無(wú)源之水、無(wú)本之木。因此法則的操練與原理的領(lǐng)悟二者緊密聯(lián)系，不可偏廢。

第三種方法，先分析2支球隊(duì)比賽的場(chǎng)數(shù)，3支球隊(duì)比賽的場(chǎng)數(shù)，再分析得到4支球隊(duì)比賽的場(chǎng)數(shù)為1+2+3=6（場(chǎng)）。教學(xué)時(shí)有些教師還會(huì)作適當(dāng)?shù)难由?，提?wèn)5支球隊(duì)、6支球隊(duì)……要比多少場(chǎng)呢？找出球隊(duì)數(shù)增加與比賽場(chǎng)數(shù)增加的規(guī)律，從而解決問(wèn)題。這是一種運(yùn)動(dòng)思想的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)思維。這種動(dòng)態(tài)思維是溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)踐之間內(nèi)在聯(lián)系的思維形式，是具有深刻的居高臨下的理解知識(shí)的思維模式。學(xué)習(xí)知識(shí)就是一個(gè)不斷地由薄到厚和由厚到薄的過(guò)程，這里由厚到“薄”不是知識(shí)少了，而是精了，是對(duì)知識(shí)理解達(dá)到了融會(huì)貫通。

第四種方法，把每支球隊(duì)抽象為一個(gè)點(diǎn)，兩隊(duì)比賽是兩點(diǎn)連線，比賽的場(chǎng)數(shù)是四邊形的邊數(shù)與對(duì)角線數(shù)的和（如圖2）。

這種解法是抽象化、模型意識(shí)的工具思維。數(shù)學(xué)意識(shí)是人類(lèi)用數(shù)學(xué)思維處理問(wèn)題的方式。解法四其反映的思維包含著較高的抽象化意識(shí)、模型化意識(shí)和符號(hào)化意識(shí)的成分。它將具有數(shù)學(xué)再生與創(chuàng)造的品格和用來(lái)解決挑戰(zhàn)性問(wèn)題的能力的品格。

可見(jiàn)，數(shù)學(xué)思維的四種模式反映了由低到高發(fā)展的四個(gè)層次。最基礎(chǔ)的思維材料是數(shù)學(xué)知識(shí)，操作模式思維的數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的積累模塊；機(jī)理模式思維的數(shù)學(xué)原理是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的消化、理解與系統(tǒng)化；動(dòng)態(tài)模式思維的數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握；工具模式思維的數(shù)學(xué)意識(shí)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。

三、給小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

形成數(shù)學(xué)意識(shí)是數(shù)學(xué)思維的最高境界。它是學(xué)習(xí)者走出校門(mén)若干年后，什么法則都可能忘記了，什么概念都可能淡忘了，什么公式都模糊了而保留下來(lái)的終身受益的東西。學(xué)會(huì)了自覺(jué)地用“數(shù)學(xué)的思維方式”去思考問(wèn)題，才算是真正學(xué)會(huì)了“數(shù)學(xué)的思維方式”。

1.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視讓學(xué)生數(shù)學(xué)思維模式的有序發(fā)展。低層次的數(shù)學(xué)知識(shí)，只能為數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)提供較為狹小的陣地，但隨著數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域的擴(kuò)大，也為數(shù)學(xué)思維的發(fā)展提供了廣闊的空間。應(yīng)讓數(shù)學(xué)思維模式隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的深入而滾動(dòng)發(fā)展，循序漸進(jìn)，螺旋上升。

2.數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生掌握初步的建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的本領(lǐng)。解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要善于引導(dǎo)學(xué)生建立（或選擇）一個(gè)較好的（既反映問(wèn)題的本質(zhì)又相當(dāng)簡(jiǎn)單）數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，就是一個(gè)數(shù)學(xué)化的抽象的過(guò)程，其實(shí)質(zhì)就是通過(guò)抽象找出當(dāng)前問(wèn)題與某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。學(xué)生掌握了這樣的本領(lǐng)，也是學(xué)生形成數(shù)學(xué)意識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)和有利條件。

3.數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)具有讓學(xué)生走向“理性思維”的智慧。要善于透過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的層面去審視教材，發(fā)掘和把握教材資源中含有的數(shù)學(xué)理性思維因素，發(fā)揮其應(yīng)有的作用；同時(shí)還要善于研究數(shù)學(xué)思維模式的層次，能帶著培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)意識(shí)”的眼光，去尋找適切的途徑，優(yōu)化學(xué)生思維的發(fā)展，讓學(xué)生的理性精神逐步豐滿(mǎn)起來(lái)。

許光新，男，1956年生，中學(xué)高級(jí)教師，江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，無(wú)錫新區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)校長(zhǎng)。曾主持的江蘇省教育規(guī)劃重點(diǎn)課題“為每一個(gè)兒童設(shè)計(jì)課程—個(gè)性化教學(xué)的探索與實(shí)踐”獲江蘇省基礎(chǔ)教育成果一等獎(jiǎng)?，F(xiàn)主持研究江蘇省首批基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目“為每一個(gè)兒童設(shè)計(jì)課程—豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式”。曾出版專(zhuān)著3本，有100多篇教育教學(xué)文章在《人民教育》、中國(guó)人民大學(xué)復(fù)印報(bào)刊資料等刊物發(fā)表或轉(zhuǎn)載。