活躍在高考中的高斯函數(shù)

王　勇　芮華云

(湖北省襄陽市第一中學(xué),441000)

活躍在高考中的高斯函數(shù)

王勇芮華云

(湖北省襄陽市第一中學(xué),441000)

高斯函數(shù)是一個(gè)特殊且重要的函數(shù),在數(shù)學(xué)競賽試題中屢見不鮮,在近幾年高考試題中也頻頻出現(xiàn),涉及的問題頗具思考性和挑戰(zhàn)性,是考查考生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)靈氣的極好素材,值得高度重視.本文介紹高斯函數(shù)的定義、常用性質(zhì)和典型問題,供參考.

一、定義

設(shè)x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數(shù),則y=[x]稱為高斯函數(shù),也叫取整函數(shù).顯然,任一實(shí)數(shù)x都能寫成整數(shù)部分與非負(fù)純小數(shù)部分之和,即x=[x]+r(0≤r<1).

二、常用性質(zhì)

根據(jù)高斯函數(shù)[x]的定義,可以得到它的一些常用性質(zhì).現(xiàn)介紹如下,限于篇幅,證明從略.

性質(zhì)1y=[x]的定義域是R,值域是Z,其圖象如圖1所示.

性質(zhì)2當(dāng)x1≤x2時(shí),[x1]≤[x2].

性質(zhì)3若n∈Z,則[n+x]=n+[x].

性質(zhì)4x-1<[x]≤x<[x]+1.

性質(zhì)5對于一切實(shí)數(shù)x,y,有

[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.

性質(zhì)6若x≥0,y≥0,則[xy]≥[x][y],特別地,[nx]≥n[x],其中n∈N.

特別地，有[[x]]=[x].

三、典型問題

1.研究新函數(shù)的性質(zhì)

例1(2013年湖北高考題)x為實(shí)數(shù),[x]表示不超過x的最大整數(shù),則函數(shù)f(x)=x-[x]在R上為()

(A)奇函數(shù)(B)偶函數(shù)

(C)增函數(shù)(D)周期函數(shù)

解作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖2所示,觀察圖象,易知函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，故選D.

評注函數(shù)f(x)=x-[x]的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇0,1),是非奇非偶、以1為周期的非單調(diào)函數(shù),在每個(gè)區(qū)間[n,n+1)(n∈Z)上都是單調(diào)增函數(shù).如能熟練掌握函數(shù)f(x)={x}=x-[x]的圖象和性質(zhì),則對破解相關(guān)綜合性問題大有裨益.

當(dāng)x∈[2,3)時(shí),[x]=2,

2.探求函數(shù)的解析式

例3(2010年陜西高考題)某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會,規(guī)定各班每10人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表.那么,各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()

解法1直接探求.設(shè)x=10m+α(m∈N,0≤α≤9).

當(dāng)0≤α≤6時(shí),

當(dāng)6<α≤9時(shí),

結(jié)合各選項(xiàng)可知,本題應(yīng)選B.

評注本題以學(xué)生比較熟悉的推選代表問題為背景,考查構(gòu)建函數(shù)模型的能力,兩種解法都值得充分借鑒和品味.

3.判斷恒成立問題

例4(2013年陜西文科高考題)設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù),則對任意實(shí)數(shù)x,有()

(A)[-x]=-[x]

(C)[2x]=2[x]

解選取特殊值,利用排除法求解.

對于A,取x=1.5,則[-x]=[-1.5]=-2,-[x]=-[1.5]=-1,顯然[-x]≠-[x].

對于C,取x=1.5,則[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,顯然[2x]≠2[x].

由以上分析可排除A、B、C,故選D.

評注本題考查新記號[x]的現(xiàn)場閱讀能力及特殊值法.重點(diǎn)考查了審讀信息并接受信息的遷移能力,考查了推理論證能力和數(shù)據(jù)處理能力；對選擇題的特殊解法(特值驗(yàn)證并結(jié)合排除法)考查得也相當(dāng)充分.

例5(2013年陜西高考題)設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù),則對任意實(shí)數(shù)x,y,有()

(A)[-x]=-[x]

(B)[2x]=2[x]

(C)[x+y]≤[x]+[y]

(D)[x-y]≤[x]-[y]

解法1由高斯函數(shù)的性質(zhì)7，排除A;由性質(zhì)6，排除B;由性質(zhì)5，排除C.故選D.

評注熟悉高斯函數(shù)的性質(zhì),求解起來輕松自如,實(shí)為“秒殺”.

解法2結(jié)合特殊值,利用排除法求解.

對于A,取x=1.5,則[-x]=[-1.5]=-2,-[x]=-[1.5]=-1,顯然[-x]≠-[x];

對于B,取x=1.5,則[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,顯然[2x]≠2[x];

對于C,取x=y=1.6,則[x+y]=[3.2]=3,[x]+[y]=[1.6]+[1.6]=2,顯然[x+y]>[x]+[y].

由以上分析可排除A、B、C,故選D.

評注鑒于眾多考生并未系統(tǒng)學(xué)習(xí)高斯函數(shù),命題者的初衷就是考查考生的信息遷移能力和選擇題的特殊解法(特值驗(yàn)證并結(jié)合排除法).

4.與數(shù)列交匯融合

(A)是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列

(B)是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列

(C)既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

(D)既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

評注本題比較簡單,直接考查考生對高斯函數(shù)定義的理解,高斯函數(shù)與數(shù)列的交匯是本題的“亮點(diǎn)”所在.

5.與方程及不等式的巧妙結(jié)合

例7(2015年湖北高考題)設(shè)x∈R,[x]表示不超過x的最大整數(shù).若存在實(shí)數(shù)t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[tn]=n同時(shí)成立,則正整數(shù)n的最大值是()

(A)3(B)4(C)5(D)6

解若n=3, 則

若n=4,則

若n=5,則

(*)

綜上所述，所求正整數(shù)n的最大值為4. 故選B.

評注本題考查考生對新符號[x]的領(lǐng)悟程度及不等式組的解法；考查考生的閱讀理解能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力等.

通過本文可以看出,活躍在高考中的高斯函數(shù),雖其外表簡單樸素,但其內(nèi)涵深邃,在解題中常需要結(jié)合分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方可順利達(dá)到目的.