直線與圓錐曲線的常見題型及解題技巧

凌敏華

【摘要】解析幾何在高考數(shù)學(xué)試卷總分中占比在20%左右，其中的直線與圓錐曲線又是解析幾何主要內(nèi)容及重點考察點.直線與圓錐曲線題型多樣，綜合性強(qiáng).解題方法靈活，常常是高考試卷的壓軸題.這部分知識題型能夠較好地考查學(xué)生對于基礎(chǔ)知識掌握程度，也能夠反映出學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法及綜合解決問題的能力，要求學(xué)生具備較扎實基礎(chǔ)知識及較強(qiáng)綜合能力.本文將重點分析下直線與圓錐曲線中常見題型，并給出相應(yīng)解題技巧，使學(xué)生更好地備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué).

【關(guān)鍵詞】直線；圓錐曲線；常見題型；解題技巧

與圓錐曲線高中解析幾何的核心內(nèi)容及研究對象，學(xué)生通過學(xué)習(xí)圓錐曲線，能夠逐漸培養(yǎng)起自己的數(shù)形結(jié)合思想及解決實際問題能力，這部分知識內(nèi)容在歷年高考試題中都占據(jù)較大分值，圓錐曲線常常與直線結(jié)合共同出題考查學(xué)生知識、解題技巧，考察形式豐富多樣，但是大致上能分為幾種，下面我們就先來分析下直線與圓錐曲線知識點的考查特點.

一、直線與圓錐曲線知識點的考查特點

（一）基本性質(zhì)問題

高中數(shù)學(xué)教材將圓錐曲線性質(zhì)總結(jié)歸納為以下內(nèi)容：圓錐曲線對稱性、范圍、離心率及頂點等等，考查圓錐曲線基本性質(zhì)就各個知識點間聯(lián)系時常常表現(xiàn)出以下特點：圓錐曲線定義與焦半徑、離心率結(jié)合；參數(shù)值與離心率結(jié)合；參數(shù)值與漸近線結(jié)合；參數(shù)值與準(zhǔn)線間結(jié)合.

（二）曲線方程與軌跡問題

解析幾何體系內(nèi)部各個知識點之間錯綜復(fù)雜的關(guān)系，使得學(xué)生不能較清晰的理解并系統(tǒng)的掌握其知識體系，求多動點軌跡方程這類問題是解析幾何中數(shù)學(xué)的重點和難點，這類問題中有時不只含有一個的主動點或者從動點，動中有靜，因此求軌跡方程只要挖掘已知條件，將動點滿足的規(guī)律找出來，并將規(guī)律用動點的坐標(biāo)表示或成等式即可.

圓錐曲線解答題中出現(xiàn)頻率最高的是方程與軌跡問題，而且常常放在大題第一問，一些設(shè)問一句曲線原本具有性質(zhì)來求解曲線方程，或者是根據(jù)已知條件求曲線參數(shù)值；也有一些解答題依據(jù)平面動點運動規(guī)律與滿足條件求軌跡方程，這兩者都是求圓錐曲線方程，屬于一類.除了圓錐曲線方程及參數(shù)值類型題目之外，主要還有以下幾種題目類型：兩種曲線交匯、以焦點弦、切線為條件、以平面圖形周長或面積為條件等等.圓錐曲線軌跡問題中，軌跡生成方式基本上有三種：將圓錐曲線定義及性質(zhì)作為出發(fā)點、將其他曲線作為運動載體及將向量關(guān)系作為條件.

（三）定值及定點問題

這部分問題主要是從圓錐曲線的一些性質(zhì)得出的，涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系、兩直線位置關(guān)系、及點與圓錐曲線位置關(guān)系等等.新課程改革實施之后，高考越來越重視考查學(xué)生的綜合能力，圓錐曲線的定點、定值問題是考查其綜合能力的重要途徑，這些試題具有解法多樣、整體思路令人深思等特點，成為高考熱門話題，結(jié)合近幾年高考試題，這類問題大致能分成以下四種形式：曲線過定點或點在曲線上、角或斜率是定值、多個幾何量運算結(jié)果是定值、及直線過某定點或點在某定直線上.

（四）最值及值域問題

圓錐曲線中典型問題就是最值及值域問題，而且這部分問題常常與函數(shù)、不等式、向量及導(dǎo)數(shù)等知識進(jìn)行交匯，在考查學(xué)生分析問題、解決問題能力方面具有重要作用.分析近幾年來高考，對這部分問題考查主要有這五種試題類型：距離或長度最值、面積最值、多個幾何量運算結(jié)果最值、斜率范圍及最值條件下的參數(shù)值.

二、直線與圓錐曲線常見解題思想方法

直線與圓錐曲線常見解題思想方法有兩種：幾何法與代數(shù)法，下面將具體分析下這兩種解題思想方法.

（一）幾何法

幾何法解決數(shù)學(xué)問題主要運用了數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合圓錐曲線定義、圖形、性質(zhì)等題目中已知條件轉(zhuǎn)化成平面幾何圖形，并使用平面幾何有關(guān)基本知識例如兩點間線段最短、點到直線垂線段最短等來巧妙地解題.

（二）代數(shù)法

代數(shù)法主要是依據(jù)已知條件來構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題，再結(jié)合使用配方法、不等式法、函數(shù)單調(diào)性法及參數(shù)法等等來求最值.

三、直線與圓錐曲線的常見題型及解題技巧實例分析

（一）題型一：弦的垂直平分線問題

解題技巧及規(guī)律：題干中給出直線與曲線M過點S（-1，0）相交于A，B兩點，分析直線存在斜率并且不等于0，然后設(shè)直線方程，列出方程組，消元，對一元二次方程進(jìn)行分析，分析判別式，并使用韋達(dá)定理，得出弦中點坐標(biāo)，再結(jié)合垂直及中點，列出垂直平分線方程，求出N點坐標(biāo)，最后結(jié)合正三角形性質(zhì)：中線長是邊長的32倍，使用弦長公式求出弦長.

（二）題型二：動弦過定點問題

解題技巧及規(guī)律：第一問是使用待定系數(shù)法求軌跡方程；第二問中，已知點A1、A2的坐標(biāo)，因此可以設(shè)直線PA1、PA2方程，直線PA1與橢圓交點是A1（-2，0）和M，結(jié)合韋達(dá)定理，能求出點M坐標(biāo)，同理求出點N坐標(biāo).動點P在直線L：x=t（t>2）上，這樣就能知道點P橫坐標(biāo)，根據(jù)直線PA1，PA2方程求出點P縱坐標(biāo)，得出兩條直線斜率關(guān)系，通過計算出M，N點坐標(biāo)，求出直線MN方程，代入交點坐標(biāo)，如果解出是t>2，就可以了，否則不存在.

四、結(jié) 語

在歷年的高考數(shù)學(xué)試卷中，圓錐曲線題目不僅分值一直保持穩(wěn)定，而且題型多樣，方法靈活，綜合性強(qiáng)，常被安排在試卷的最后作為把關(guān)題或壓軸題.圓錐曲線的最值問題是解析幾何重點出題之一.它涉及知識面廣，常用到函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等重點知識，而且其考查方法靈活多樣.圓錐曲線最值問題不僅能考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度，又能體現(xiàn)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)思想和方法綜合解決問題的能力，所以是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項重點.

圓錐曲線作為高中數(shù)學(xué)解析幾何的重要知識點，其中蘊(yùn)含著重要豐富的數(shù)學(xué)思想方法，解析幾何基本思想是使用幾何方法解決問題，也就是數(shù)形結(jié)合思想，所有的數(shù)學(xué)試題都不能離開形只談抽象數(shù)或者是研究圖.另外一種解決問題的數(shù)學(xué)思想方法是代數(shù)方法，主要是依據(jù)已知條件來構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題，再結(jié)合使用配方法、不等式法、函數(shù)單調(diào)性法及參數(shù)法等等來求最值.本文在歸納總結(jié)直線與圓錐曲線知識點的考查特點基礎(chǔ)上，結(jié)合使用相應(yīng)數(shù)學(xué)思想方法，給出直線與圓錐曲線的常見題型及解題技巧實例分析，為學(xué)生解答此類題提供方法借鑒.

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