探究復合函數(shù)及其求導方法

侯春娟 張洪浩

【摘要】導數(shù)部分的應用十分廣泛，很多領域都有涉及，如經濟、物理、幾何等.復合函數(shù)的導數(shù)是教學中的重點，也是學生學習的難點.本文給出如何辨別復合函數(shù)，并整理出學生易接受的復合函數(shù)求導方法.

【關鍵詞】復合函數(shù)；求導法則

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在學習復合函數(shù)之前，首先提問學生我們高中學過哪些函數(shù)？經過大家的回憶，很容易給出答案：常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及剛剛講過的反三角函數(shù)，這些函數(shù)我們稱之為基本的初等函數(shù)，對基本初等函數(shù)的導數(shù)公式要做到熟悉、熟練.再提出類似的新問題：如果求y=sin3x的導數(shù)該如何進行呢？這樣的函數(shù)又稱作什么函數(shù)呢？其實學生在高中有接觸過復合函數(shù)，但什么叫復合函數(shù)卻說不清楚，那么，我們就可以開始新的授課內容了.

從復合函數(shù)的定義，我們可以歸納出，如果是復合函數(shù)必須同時滿足以下兩個條件：（1）定義域非空；（2）環(huán)環(huán)相套.然后舉例說明如何判斷是否復合這兩個條件.首先，給出一個函數(shù)，直接觀察或計算出該函數(shù)自變量是否有值可取，這就是定義域的問題.如y=sin3x這個函數(shù)就是定義域非空，而y=sin3x-2就是定義域為空集了，因為sin3x≥2不可能成立.如果定義域是非空的，那么下一步就要看是否滿足環(huán)環(huán)相套了.我給學生解釋怎么看環(huán)環(huán)相套或環(huán)環(huán)相扣，可以把此函數(shù)看成一個特殊的餃子，這個餃子只有一個餡，但是你可以包很多層餃子皮，從外觀上看，你只能看到一個餃子，但是把餃子皮一層層撥開后就能看到我們的餃子餡，但要注意，我們的每一層皮必須都是前面提到的基本的初等函數(shù).而這個過程，恰恰就是復合函數(shù)的分解過程，在復合函數(shù)求導中是尤為關鍵的，也就是教材中常說的“鏈式法則”求導法里的關鍵.那么我們再看y=sin3x這個函數(shù)，是否是環(huán)環(huán)相套呢？從外觀上看，它就是包著正弦函數(shù)的餃子皮，那么我們可以寫成y=sinu，u=3x（u是一個中間變量），一皮一餡，兩個基本初等函數(shù)，顯然符合第二個條件，所以y=sin3x是一個復合函數(shù)，為了讓學生加深理解，可以給出幾個例子進行判別，如

從上面的例子可以看出，只要學生知道基本初等函數(shù)，那么對復合形式求導，都相當于每一步只要出現(xiàn)一個中間變量u，對自變量為u的基本初等函數(shù)求導后，馬上乘以心中的u的導數(shù)即可，直到出現(xiàn)自變量為x的基本初等函數(shù).所以就是上面說的每一步都“only U”，切不可三心二意！這個部分的講解，可以中間插入only U的那段搞笑的音樂，時間很短，但卻可以驅走瞌睡蟲，同時在第一個例題旁邊插入一個戀愛式的圖片，用醒目的藝術字，利用動畫飄移到可愛的圖片下面，自然會吸引學生的注意力，讓學生有興趣聽下去.再之，此內容的PPT的制作上，例題中的每個中間變量u的表達式最好用矩形框或其他形狀進行標記，如上述（1）（2）式中括號里的sin3x和3x，將每個步驟自定義動畫，這樣能讓講解更醒目易懂.

在這部分的講解上，其實知識點都是那一個，就看我們師者如何授業(yè)了，照本宣科絕對是行不通的，要力爭做到通俗易懂，讓學生感興趣，讓授課的自己也很快樂，有滿滿的自信，有愉悅中的成就感，但絕不是傳說中的自嗨型教師.教學方法的探究就是在教學過程中不斷的探索和研究，在總結中進步，在思考中成長！