圓錐形件拉深成形應(yīng)力應(yīng)變的直接積分解法

秦泗吉　鄧　超　楊　莉　孔曉華　王耀華

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圓錐形件拉深成形應(yīng)力應(yīng)變的直接積分解法

秦泗吉鄧超楊莉孔曉華王耀華

燕山大學(xué),秦皇島,066004

摘要：針對圓錐形件的拉深成形，在平面應(yīng)力和比例加載條件下，采用參數(shù)方程的方法分析得到了變形區(qū)應(yīng)變的微分方程?？稍趫A錐形件的凸緣區(qū)、凹模圓角區(qū)及錐壁區(qū)分別根據(jù)應(yīng)變微分方程，代入相應(yīng)的邊界條件，采用直接積分得到應(yīng)力、應(yīng)變解，將應(yīng)用于軸對稱平面內(nèi)的積分解法推廣至分析圓錐形件的拉深成形問題。在凸緣區(qū)，錐角等于0；在錐壁區(qū)，錐角等于一定值；在凹模圓角區(qū)，將圓角部分的弧段分成若干個(gè)微錐段，每一微錐段都可分別作為一個(gè)小的等錐角的錐環(huán)處理。采用該方法，不僅可以計(jì)算錐形件的拉深成形問題，而且可以計(jì)算曲面形狀已知的一般軸對稱曲面零件的成形問題。用直接積分法替代迭代法求解非線性方程，使求解過程大大簡化。選取厚0.87mm的ST16板材進(jìn)行了拉深成形實(shí)驗(yàn)，以板坯內(nèi)層為測量面，測量了凸緣區(qū)、凹模圓角區(qū)和錐壁區(qū)的應(yīng)變分布，理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。

關(guān)鍵詞：板材成形；圓錐形零件拉深；平面應(yīng)力模型；直接積分解法

0引言

在板材沖壓成形中,圓錐形件是典型的曲面類零件,在成形過程中既有徑(經(jīng))向受拉、周向受壓的拉深成形區(qū)域，一般又存在雙向拉應(yīng)力的脹形區(qū)域，在凹模圓角和凸模圓角區(qū)域還會產(chǎn)生彎曲變形。變形過程中，可能出現(xiàn)的兩種失穩(wěn)形式是破裂和起皺，其中,起皺失穩(wěn)可能出現(xiàn)在凸緣區(qū)和懸空的錐壁區(qū)。圓筒形件可以認(rèn)為是當(dāng)圓錐形件的大端尺寸接近小端尺寸時(shí)的特例，而其他軸對稱曲面類零件又可以看作由一系列的微錐組成。此外，圓錐形零件在板材沖壓成形中也有廣泛應(yīng)用，如汽車燈罩、消音器后蓋及輪轂防塵罩、電振動(dòng)喇叭筒和圓錐滾子軸承保持架等都是圓錐形零件[1]。因此,對圓錐形件成形的研究是有理論意義和實(shí)際意義的。

許多學(xué)者對包括圓錐形件的軸對稱成形問題進(jìn)行了研究，涉及拉深[2-4]、脹形[5]和內(nèi)孔翻邊[6]等問題。在分析軸對稱成形問題時(shí)，主要采用兩種假設(shè)模型[2]:一是板坯厚度不變的平面應(yīng)變假設(shè)，二是板平面(或曲面)法線方向應(yīng)力為零的平面應(yīng)力假設(shè)。當(dāng)假設(shè)板坯厚度不變時(shí)，可使分析過程大大簡化,所以許多學(xué)者常用這種假設(shè)模型[2-4,7-9]。

由于板材成形在很多情況下,垂直于板平面或曲面方向上無力的作用或作用力很小(即使采用液壓成形方式,板坯法線方向的應(yīng)力也很小[10]),此時(shí)板材成形過程更接近平面應(yīng)力狀態(tài),因此,按平面應(yīng)力模型進(jìn)行分析更接近實(shí)際情況。

關(guān)于平面內(nèi)的軸對稱成形問題，在平面應(yīng)力和比例加載等假設(shè)條件下,李敏華[11]給出了參數(shù)方程的直接積分求解方法,改進(jìn)了Nadai[12]、Millenson等[13]給出的需要不斷迭代才能得到解析解的方法，顯著簡化了求解過程。文獻(xiàn)[8,14]將軸對稱問題的參數(shù)方程分析方法用于求解軸對稱成形板平面內(nèi)沖壓成形問題,給出了不考慮厚度變化時(shí)用參數(shù)方程形式表示的凸緣區(qū)應(yīng)力顯式表達(dá)式。但由于軸對稱成形問題多數(shù)情況下都涉及凸緣區(qū)以外的成形區(qū)域，這些區(qū)域的形狀是錐面或曲面，無法采用平面應(yīng)力假設(shè)條件下的直接積分解法。這也是該方法沒有得到推廣應(yīng)用的原因之一。

本文將求解平面內(nèi)軸對稱問題的分析方法推廣至求解圓錐形件的成形問題，給出了基于參數(shù)方程的積分解法。針對圓錐形零件的拉深成形，將變形區(qū)主要?jiǎng)澐譃橥咕墔^(qū)、凹模圓角區(qū)、懸空錐壁區(qū)和凸模圓角區(qū)。對前三個(gè)區(qū)域都給出了基于積分解法的應(yīng)力、應(yīng)變解，采用厚0.87mm的ST16板材進(jìn)行了圓錐形件拉深實(shí)驗(yàn)，測量了應(yīng)變分布，理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。采用本文方法,還可將積分解法推廣至求解一般軸對稱成形問題。

1變形協(xié)調(diào)方程及平衡方程

1.1變形協(xié)調(diào)方程

如圖1所示，從圓盤或圓環(huán)的平板毛坯變形為圓錐形殼體，變形后某一微錐形環(huán)內(nèi)外半徑分別為r和r+dr,若對應(yīng)半徑是r的質(zhì)點(diǎn)變形后的徑向位移為u,則變形前微圓環(huán)的內(nèi)外緣半徑分別為r-u和r-u+dr-du。

α為錐面母線與豎直方向的夾角，又稱為半錐角。由應(yīng)變的定義，可以得到經(jīng)向應(yīng)變ερ和周向應(yīng)變εθ[11]:

(1)

(2)

消去u,可得

(3)

對于平面內(nèi)的軸對稱成形，可令α=π/2。

1.2微分平衡方程

在圓錐形件的成形中，每一變形質(zhì)點(diǎn)的主軸方向?yàn)榻?jīng)向、緯向及法向，對應(yīng)的三個(gè)方向的應(yīng)力分別表示為σρ、σθ和σz。截取一微錐殼環(huán),然后用過軸對稱線的平面將其剖開,得到一半微錐環(huán),其受力情況如圖2所示。

圖2中符號含義如下:OO′為對稱軸線；r、α的含義與圖1相同;σρ、σρ+dσρ分別為上下緯端面上作用的經(jīng)向應(yīng)力;σθ為作用于微錐殼體上的緯向應(yīng)力;t、t+dt分別為上下緯端面處的厚度;ds為微錐殼體的母線長度;p為作用于殼體下表面的單位壓力。

分別在軸線方向和水平方向列平衡方程，有

cosαd(σρtr)=prsinαds

(4)

σθtds-sinαd(σρtr)=prcosαds

(5)

由式(4)、式(5)，并注意到ds=dr/sinα,得

d(σρtr)=σθtdr

(6)

式(6)與軸對稱平面內(nèi)成形的微分方程在形式上完全相同，也可表示成

(7)

2參數(shù)方程及邊界條件

對于圓錐形件成形的錐壁區(qū),忽略板厚方向的應(yīng)力,根據(jù)等效應(yīng)力的定義,有

(8)

式中,σ為等效應(yīng)力;R為板厚方向性系數(shù)。

參照平面內(nèi)的軸對稱成形問題的解法[11],應(yīng)力可以用參數(shù)方程的形式表示:

(9)

式中,ω為參數(shù)。

比例加載條件下,等效應(yīng)變ε的參數(shù)表達(dá)式為

(10)

由應(yīng)力參數(shù)方程式(9)，得

(11)

將式(9)、式(11)代入式(7),并利用體積不變條件dt/t=-dερ-dεθ,得

(12)

設(shè)材料的等效應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足σ=Bεn(B為強(qiáng)度系數(shù),n為硬化指數(shù)),則

(13)

將式(13)代入式(12),得

(14)

由參數(shù)方程式(10),得

(15)

將式(10)、式(15)代入式(3)，得

(16)

在微分方程(式(14)和式(16))中,變量ε、r是參變量ω的函數(shù)，當(dāng)邊界條件已知時(shí),方程的解是確定的。

圖3所示為圓錐形件拉深至某一位置時(shí)的各變形區(qū),AB為凸緣區(qū),BC為凹模圓角區(qū),CD為錐壁區(qū),DE為凸模圓角區(qū),EF為錐底。

當(dāng)拉深位置一定時(shí),若采用直母線假設(shè),則DC為直線,錐形件的錐角α已知。設(shè)α=α0,α0可由拉深位置、模具幾何尺寸以及板厚變化情況確定。

板材平面內(nèi)軸對稱問題可認(rèn)為是圓錐形件成形的一個(gè)特例，因式(14)不含變量α,對凸緣區(qū)的變形,在求解時(shí)令α=π/2,代入式(16)即可。

圓錐形件拉深時(shí),因凹模圓角對板坯的法向作用力很小，凹模圓角區(qū)板坯的變形可以近似認(rèn)為只有經(jīng)向和緯向應(yīng)力。如圖3所示，設(shè)凹模圓角處的板坯形狀與凹模圓角輪廓形狀一致，在凹模圓角處,BC與AB、CD分別在B、C點(diǎn)相切。將圓弧BC分成若干個(gè)弧段，當(dāng)弧段尺寸較小時(shí)，該弧段接近直線段，其對應(yīng)的變形區(qū)可作為一個(gè)小錐環(huán)處理。設(shè)小弧段的長度為ΔS，該處切線與豎直方向夾角為αi，令α=αi，應(yīng)變微分方程和求解過程與錐壁區(qū)相同。

對于圓錐形件的拉深成形問題，采用積分解法的計(jì)算次序是凸緣區(qū)、凹模圓角區(qū)和懸空側(cè)壁區(qū)。在凸緣變形區(qū),設(shè)F為壓邊力,μ為摩擦因數(shù),tw為凸緣外緣對應(yīng)的板坯厚度,ω0為參數(shù)初始值,ε0為應(yīng)變初始值。則邊界條件如下：當(dāng)ρ=Rw(Rw為凸緣外緣半徑)時(shí)

σρ=F/(Rwtw)

ω0=2π-arccosm-β

ε0=ln(R0/Rw)

當(dāng)不考慮摩擦?xí)r,σe初值為0,ω0=3π/2-β。

在凹模圓角區(qū)和懸空側(cè)壁區(qū)，只要給出初始點(diǎn)的應(yīng)變作為邊界條件，由式(14)和式(16)，應(yīng)變與坐標(biāo)位置的關(guān)系是確定的。凸緣區(qū)與凹模圓弧交接的位置對應(yīng)的應(yīng)變可作為凹模圓角區(qū)的初始值,凹模圓角區(qū)與懸空側(cè)壁區(qū)交接位置對應(yīng)的應(yīng)變可作為懸空側(cè)壁區(qū)的初值。

3直接積分解法

將式(14)、式(16)聯(lián)立,消去dr/r,設(shè)方程為

(17)

b=2cos(ω+β)sinβcosω-cos(ω+β)n/ε

c=2εcos(ω+β)sinβsinω-sin(ω+β)

d=1-exp(2εcosβsinω)/sinα

e=-sin(ω+β)f=εcos(ω+β)

對于給定的邊界條件,一般需要采用迭代解法才能得到微分方程式(17)的解。

對于等錐角的圓錐形件成形問題,已知邊界條件,即當(dāng)ω=ω0時(shí),ε=ε0,采用直接積分解法求任意ω對應(yīng)的應(yīng)變ε的計(jì)算過程和收斂性可說明如下:

(1)將區(qū)間(ω0,ω)N等分,各值為ωi(i=0,1,…,N),對應(yīng)的應(yīng)變值為εi(i=0,1,…,N),每一區(qū)間的增量Δω=(ω-ω0)/N。

(2)根據(jù)微分學(xué)的知識，有

(18)

式中,o(Δω)為比Δω高級的微分項(xiàng)。

因此,當(dāng)參變量由ω0增加為ω1時(shí),對應(yīng)的應(yīng)變ε1可以近似表示為

(19)

(3)一般地,當(dāng)已知ωi-1(i≥1)對應(yīng)的應(yīng)變?yōu)棣舏-1時(shí),其臨近點(diǎn)ωi對應(yīng)的應(yīng)變εi近似表示為

(20)

(4)對于任意ω,對應(yīng)的應(yīng)變值近似為

(21)

在步驟(2)～(4)中,當(dāng)ω和ε已知時(shí),由式(17)可得到該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)。因此,式(21)又可寫為

(22)

根據(jù)積分的定義，有

(23)

N值越大,計(jì)算精度越高。步驟(1)～(4)的求解過程實(shí)際上是用數(shù)值方法計(jì)算積分問題,即

(24)

在計(jì)算過程中,每次求出ε后,代入式(14)或式(16)可求出dr/r,積分后可得到r。這樣就可得到等效應(yīng)變ε與位置r之間的關(guān)系，進(jìn)而可求出應(yīng)力、應(yīng)變。

4圓錐形件拉深成形應(yīng)力應(yīng)變分布

4.1圓角區(qū)和錐壁區(qū)α值的確定

4.1.1凹模圓角區(qū)α值的確定

拉深過程中,板坯經(jīng)過凹模圓角時(shí)的變形非常復(fù)雜,為了簡單起見,設(shè)板坯經(jīng)過凹模圓角時(shí),板坯內(nèi)層保持凹模圓角的外輪廓形狀。如圖4所示，根據(jù)幾何關(guān)系可建立質(zhì)點(diǎn)位置半徑r和α的關(guān)系:

(25)

4.1.2錐壁區(qū)α值的確定

分析表明,懸空側(cè)壁區(qū)錐角對應(yīng)變分布的影響很大。如圖3所示,設(shè)從凸緣區(qū)邊緣A至凸模圓角與錐底連接點(diǎn)E為變形區(qū)。

在計(jì)算出凸緣區(qū)、凹模圓角區(qū)的應(yīng)變分布之后,可按體積不變條件確定錐角。實(shí)際計(jì)算時(shí)，暫以變形前后總面積不變，初步確定錐角α0,再根據(jù)計(jì)算后的厚度變化按體積不變進(jìn)行修正。計(jì)算表明,采用面積不變假設(shè)與體積不變假設(shè)結(jié)果相差不大,一般需修正2～3次就能使體積計(jì)算值收斂。

采用積分法求解，實(shí)際是將板坯分成若干微段，成形后的體積很容易得到,體積可按下式進(jìn)行計(jì)算:

(26)

式中,Vi為各部分的體積;rai、rbi分別為各計(jì)算區(qū)間的起止點(diǎn)對應(yīng)的徑向坐標(biāo);ri、ti分別為位置半徑和相應(yīng)位置的板坯厚度;αi為對應(yīng)計(jì)算段的板坯所在弧或平面與軸對稱線夾角。

4.2應(yīng)力、應(yīng)變分布

取凹模內(nèi)半徑Rd=26.82 mm，凸模外半徑Rp=20 mm，凹模圓角rd=13 mm,凸模圓角rp=5 mm，原始毛坯半徑R0=55 mm,板厚0.87 mm。壓邊力取5 kN，板坯與凹模、板坯與壓邊圈之間的摩擦因數(shù)都取0.06,不考慮板坯在凹模圓角處的摩擦。材料選用ST16板材，性能參數(shù)經(jīng)拉伸實(shí)驗(yàn)確定:B=511.4 MPa,n=0.26,R=2.243。拉深相對位置Rw/R0分別為0.919、0.878和0.838，采用上述計(jì)算方法得到的應(yīng)變分布和應(yīng)力分布分別如圖5～圖10所示。

由前面的理論分析可知，應(yīng)力值與材料強(qiáng)度系數(shù)B成比例關(guān)系，為了簡明起見，圖8～圖10采用了應(yīng)力與強(qiáng)度系數(shù)的比值。

圖5～圖7顯示,經(jīng)向應(yīng)變?yōu)檎?除接近凸模圓角附近的很小區(qū)域外，其他區(qū)域的緯/周向應(yīng)變都為負(fù)值。從凸緣外緣到凸模圓角，板坯厚度應(yīng)變由正變?yōu)樨?fù)。隨著拉深過程的進(jìn)行,變形程度逐漸增大,經(jīng)向應(yīng)變、周向應(yīng)變絕對值最大值也逐漸增大。

圖8～圖10表明,經(jīng)向應(yīng)力都為拉應(yīng)力，周向應(yīng)力分為拉和壓兩個(gè)區(qū)域。經(jīng)向應(yīng)力最大值隨拉深變形程度的增大而逐漸增大。周向應(yīng)力在大部分區(qū)域都為負(fù)值(壓應(yīng)力)，但在接近凸模圓角的區(qū)域?yàn)檎?拉應(yīng)力)，且隨著變形程度的增大，拉應(yīng)力值也增大。接近凸緣區(qū)變形性質(zhì)為經(jīng)向受拉、周向受壓的拉深，接近凸模圓角區(qū)變形為雙向受拉的脹形，且隨著變形程度的增大，雙向應(yīng)力越來越接近。

5圓錐形件拉深成形實(shí)驗(yàn)

圓錐形件拉深成形實(shí)驗(yàn)選取ST16板坯,板坯幾何尺寸、性能參數(shù)、拉深工藝參數(shù)和模具幾何參數(shù)與前面理論計(jì)算相同。實(shí)驗(yàn)過程中先在圓形毛坯上印制網(wǎng)格，再進(jìn)行拉深成形實(shí)驗(yàn)，測量成形后板坯的應(yīng)變分布。

拉深成形時(shí)，將板坯印制有網(wǎng)格的面放置到凹模一側(cè)，變形后這個(gè)表面即為圖4所示的內(nèi)層，其與模具輪廓形狀最接近。為了減小摩擦的影響，選擇了薄膜潤滑。如圖11所示，三個(gè)試件拉深高度H從左至右依次為22.87 mm、27.26 mm和32.53 mm,對應(yīng)的法蘭外緣相對半徑Rw/R0分別為0.919、0.878和0.838。

成形后的試件用自動(dòng)應(yīng)變測量系統(tǒng)VialuxAutoGrid進(jìn)行測量。為了真實(shí)地反映應(yīng)變的分布情況，將拉深試件的整個(gè)凸緣區(qū)、凹模圓角區(qū)和懸空側(cè)壁區(qū)所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)都作為測量點(diǎn),將經(jīng)向應(yīng)變、周向應(yīng)變測量值與相應(yīng)各點(diǎn)所在位置半徑之間的關(guān)系表示在圖12～圖14上。圖中光滑曲線為理論值，離散點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)值。實(shí)驗(yàn)得到的經(jīng)向應(yīng)變、周向應(yīng)變應(yīng)變值都分別集中在一個(gè)條帶區(qū)域內(nèi)。

實(shí)驗(yàn)和計(jì)算結(jié)果表明,采用直接積分法得到的理論計(jì)算值與實(shí)測的周向應(yīng)變值一致,經(jīng)向應(yīng)變值的理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值在凹模圓角區(qū)、接近凹模圓角的凸緣,以及接近凸模圓角的懸空側(cè)壁區(qū)相差稍大,但變化趨勢基本一致。由于理論計(jì)算采用了薄膜理論的平衡方程式，沒有考慮彎曲的影響，另外采用直母線假設(shè)等，這些都可能造成了理論計(jì)算與實(shí)際存在一定的偏差。板坯在凹模圓角的彎曲變形主要是沿經(jīng)向的,因而對周向應(yīng)變影響不大。

6結(jié)論

(1)對圓錐形零件的成形問題，給出了基于參數(shù)解法的直接積分解法和具體求解過程，這一方法避免了進(jìn)行復(fù)雜的迭代求解。

(2)選取0.87mm厚的ST16板材和一定的模具尺寸及工藝條件,對圓錐形件拉深成形，求解得到了板坯拉深至不同位置時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變分布。

(3)進(jìn)行了圓錐形件拉深成形實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)測量了凸緣區(qū)、凹模圓角區(qū)和懸空側(cè)壁區(qū)的應(yīng)變分布。結(jié)果表明，在相同變形條件下采用直接積分法計(jì)算的周向應(yīng)變與實(shí)測結(jié)果較接近，而經(jīng)向應(yīng)變在某些區(qū)域差別稍大，但趨勢基本一致。

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(編輯陳勇)

ADirectIntegralMethodtoSolveStressandStrainofConicalPartsinDeepDrawingProcess

QinSijiDengChaoYangLiKongXiaohuaWangYaohua

YanshanUniversity,Qinhuangdao,Hebei,066004

Keywords：sheetmetalforming;conicalpartindeepdrawing;planestressmodel;directintegralmethod

Abstract:Undertheconditionsofplanestressandproportionalloading,differentialequationsofstrainandstressindeformationzoneofconicalpartindeepdrawingwereobtainedbythemethodofparametricequation.Aftersolvingthedifferentialequationsunderthecorrespondingboundaryconditionsintheregionsofflange,diecornerandconicalwalloftheconicalpartthestressesandstrainsmightbeobtainedrespectivelyineveryregionsbythedirectintegralmethod.Theapplicationsofthedirectintegralmethodwereextendedfromsolvingthein-planeaxisymmeticsheetmetalformingproblemstoanalyzeconicalpartdeepdrawingprocess.Theconicalangleswereequaltozeroandacertainvalueinflangeregionandconicalwallrespectively.Thediearcregionsmightbedividedintoseveralsmallsegmentsandeachofthemcouldbetakenasaconicalpartwithconstantconicalangle.Thismethodwasappliedtosolveconicalpartdeepdrawingproblemsandtoanalyzetheformingproblemofaxisymmetriccurvedpartswithgivenprofileshape.Asthesubstituteofiterationmethod,thedirectintegralmethodwasappliedtosolvenonlinearequationsandthesolvingprocesscouldbesimplifiedgreatly.Theexperimentsofconicalpartdeepdrawingwerecarriedoutbyusing0.87mm-thickST16sheetandthestraindistributionsinflange,diearcandconicalwallregionsweremeasured.Itshowsthattheanalyticalsolutionsbythedirectintegralmethodareaccordantwithexperimentalresults.

收稿日期：2015-04-09

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175451)

作者簡介：秦泗吉,男,1963年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)成形設(shè)備、板材成形新工藝等。鄧超,男,1989年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。楊莉,女，1962年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授、博士?？讜匀A，男，1983年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。王耀華，男，1988年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。

中圖分類號：TG386.1

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.02.018