淺談高中數(shù)學的等價轉換

徐君紅

摘 要：等價轉換是高中數(shù)學的重要解題思想，其通常是根據數(shù)學知識間的相互聯(lián)系，把未知解的問題轉換到學生的已有知識范圍內，變?yōu)榭山獾膯栴}，通過不斷轉換，把那些學生不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉化為熟悉、規(guī)范、簡單的問題，從而簡化解題思路與過程，提高解題效率。在歷年的高考題中，利用等價轉換的思想進行解題也是重要的考點，因此要不斷培養(yǎng)和訓練學生自覺轉換意識，強化學生解決數(shù)學問題的應變能力，提高學生的思維能力與技能、技巧。主要說明等價轉換在高中數(shù)學中的靈活運用。

關鍵詞：高中數(shù)學；等價轉換；思維

高中數(shù)學的知識點繁多，數(shù)學問題復雜多變，如果學生只是注重數(shù)學知識的學習，注重解題的結果，而忽視了對數(shù)學問題的解題技巧與方法的分析探索，他們很難學好高中數(shù)學。在高中數(shù)學的學習過程中，最常見的學習方式就是采用“題海戰(zhàn)術”，學生通過多做題來鞏固知識點，這種方法對于數(shù)學學習基礎薄弱的學生比較適用，能夠在一段時間內提高他們的數(shù)學成績，但是對于那些學習成績中等或是優(yōu)秀的學生卻沒什么太大的幫助，大量的數(shù)學題反而會促使他們盡量采用最短的時間來完成每一道題，這就減少了學生在做題時思考的時間，有些學生在做題時幾乎沒有思考分析，只是按照慣性思維來解題，而使得解題過程煩瑣復雜，造成學習效果不理想，同時也限制了學生思維能力的發(fā)展。這就要求學生在數(shù)學學習中不能一味地注重知識的學習，還要能夠掌握數(shù)學問題的解題技巧與方法，并逐漸形成數(shù)學思維，從而提高學生的數(shù)學學習能力。而等價轉換作為數(shù)學問題的一種重要解題思路，不僅能讓學生將所學的知識進行靈活運用，鞏固數(shù)學知識，還能夠鍛煉學生的思維敏捷性，有效地提高學生的思維能力。下面我就通過一些例子來分析等價轉換在高中數(shù)學解題中的靈活應用。

一、掌握轉換思想，提高轉換的自覺性

高中數(shù)學問題中的轉化思想都是師生在長期的數(shù)學教與學的實踐過程中，在知識與方法的不斷運用中總結出來的。如在立體幾何中將空間問題轉化為平面問題來求解等。通過對題目中的式子進行等價轉換，可以將復雜的數(shù)學問題簡單化，從而簡化解題過程。因此，教師在課堂教學時要積極引導學生進行轉換，使學生掌握等價轉換的思想，提高轉換的自覺性。

小結：三角函數(shù)的求值問題是幾年來高考的重要考點之一，為了讓學生熟練掌握并將其運用，教師在進行課堂教學時就要讓學生積極動腦思考，并進行總結。由于三角函數(shù)部分的公式較多，對于這些公式，學生不能只知其一，不知其二。所謂“授人以魚，不如授人以漁”，教師要將公式的推導過程向學生演示，或是讓學生根據已知的公式自己進行推導，一方面可以加深學生對所學知識的印象，并將其進行鞏固，另一方面，在推導過程中學生能逐漸提高邏輯性思維能力，并且若是學生沒有記住這些公式，在需要用的時候，他們也可以自行推導，而不會覺得解題毫無頭緒。

小結：由上題可知，教師在教學時不僅要讓學生記住做題的思路，還要讓他們能夠將公式靈活進行運用。

結合我的教學經驗，我覺得高中數(shù)學教師，尤其是高三數(shù)學教師，最好將數(shù)學的各部分知識以專題的形式進行講解，以便于學生對每部分知識的整體掌握，并且由于數(shù)學知識的關聯(lián)性，我們在講解一道例題時，涉及的知識點會有很多，逐漸讓學生對數(shù)學知識進行綜合運用，使學生掌握轉換的思想，提高轉換的自覺性。另外，數(shù)學問題的靈活多變，使得每道題的解法不一，學生就可以開拓思路進行解題，并在不斷思考中培養(yǎng)自己的數(shù)學思維，提高數(shù)學能力。

二、注重轉化研究，實行轉換的多樣性

高中數(shù)學問題的靈活多變與各知識點間的相互聯(lián)系，使得利用等價轉換思想進行解題也具有相應的靈活性與多樣性。利用等價轉換解決高中數(shù)學問題，沒有統(tǒng)一固定的一個解決模式，學生可以根據自己對所學數(shù)學知識的掌握與運用情況，選擇適合自己的轉換方法，從而使學生的解題效率大大提高。教師在進行課堂教學時，可以將一道題利用多種不同的轉換思想來講解，既將數(shù)學知識建立了聯(lián)系，綜合運用，又開拓了學生的解題思路，培養(yǎng)了學生的發(fā)散性思維，使他們能夠從不同的角度、不同的方面出發(fā)，去解決問題，并在這個過程中逐漸提升自己的能力。

例3.設x、y∈R且3x2+2y2=6x，求x2+y2的范圍。

【分析1】該題要直接求值比較復雜，但是通過變量替代，就能將復雜的問題簡化。通過設k=x2+y2，再代入消去y，轉化為“關于x的方程有實數(shù)解時，求參數(shù)k范圍”的問題，該題就變得簡單多了。在做題時要尤其注意其中的隱含條件，即x取值范圍的確定。

小結：利用適當?shù)娜呛瘮?shù)進行代換，把代數(shù)問題轉化為三角問題，再充分利用三角函數(shù)的性質解決問題?？梢源蟠蠛喕忸}的過程，并容易幫助學生理清思路，使學生將三角函數(shù)的知識與方程知識進行有機融合，有助于學生整體掌握數(shù)學知識，并開拓學生的思路，通過對各種轉換思想的講解與運用，學生能夠將數(shù)學知識融會貫通，使其能夠學會從不同的方面去思考并解決問題，從而提高學生的思維能力，提高數(shù)學分析與學習的能力，促進學生自身的發(fā)展與進步。

小結：由于等價轉換時采用的思路相同，即將函數(shù)名化為同名，但是不同的轉換過程與步驟，使得轉換時采用的公式不同，實現(xiàn)了轉換過程的多樣性。

三角函數(shù)部分是高中數(shù)學學習的主要內容之一，其具有眾多的公式，其中常用的有兩角和與差、和差化積、積化和差、和差化積、萬能公式等。利用三角函數(shù)的等價轉換解題的關鍵是通過適當?shù)娜谴鷵Q，將代數(shù)表達轉化為三角函數(shù)表達，進而把代數(shù)式的證明或解答轉化為三角函數(shù)式的證明或解答，從而起到理順思路、簡化題目的作用。三角函數(shù)除了公式多之外，還有另外一個特點，就是三角函數(shù)值可以與實數(shù)值相聯(lián)系，充分利用他們之間的等價關系，可以給我們解題帶來方便，尤其是在遇到一些難以求值的三角函數(shù)時，利用特殊的三角函數(shù)值進行巧妙代換，能夠大大地簡化我們的解題過程。

以上兩道例題都利用了數(shù)學知識之間的相互聯(lián)系，以及轉換思想的多樣性，通過將題目進行不同的轉化，開拓了不同的解題思路與方法。教師在教學時一定要著重培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，使其將轉換思想靈活運用，提高學習能力。

三、遵循轉換的原則性，做到解題的簡捷性

在利用等價轉換思想解高中數(shù)學題時，我們要注意轉換的原則性，即將我們感覺陌生、復雜的數(shù)學問題轉換為熟悉、簡單的問題來處理，然后通過對數(shù)學知識的整體掌握和靈活運用，做到解題的簡捷性。下面我舉兩個例子來簡單說明一下。

小結：三角函數(shù)問題的解題方法不能拘泥于一種，學生在學習時要注意靈活運用。我們在求三角函數(shù)的問題時，有如下三個原則，我將其簡稱為“三看”，即一看角，盡量把角向特殊角或可計算的角轉化；二看名稱，盡量把一道等式化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切通過公式都轉化為相應的弦，或把所有的弦都轉化為相應的切；三看式子，看式子是否滿足三角函數(shù)的某些公式，如果滿足則可以直接使用，如果不滿足則需要轉化一下角或轉換一下名稱，再進行使用。

運用三角函數(shù)的特殊值代入的等價轉換，能將復雜的問題簡單化，并有助于明確解題思路，簡化解題過程。要想讓學生將其熟練運用，教師在進行數(shù)學題目的講解時，就要注意將各部分的知識點串聯(lián)起來，讓學生對數(shù)學知識在腦中形成整體的框架，并能夠根據題目的不同變化，選取合適的解題思路與方法，從而提高解題效率，提高學生對數(shù)學學習的興趣，并更好地發(fā)散思維，進行研究探索。

小結：在我們求代數(shù)式的最值時有多種方法，如利用函數(shù)的單調性、數(shù)形結合等方法，以及運用不等式的定理公式。通過對題目的觀察與分析，采用合適的解題方法，可以有效地簡化解題過程，通過等價轉換，將復雜的問題轉換為簡單易解的問題來

解決。

運用等價轉換進行解題的關鍵一點就是盡可能將復雜問題簡單化，通過對題目進行分析觀察與思考，學生要能夠采用最合適的轉化思想，利用最短的時間解決問題，從而實現(xiàn)解題效率的最優(yōu)化。我們都知道高中生的時間是很緊迫的，但正是由于學生的學習時間有限，精力有限，學生更要在做題時勤動腦思考，以達到舉一反三，而不必通過大量的練習題來提高成績。教師在課堂教學中要不斷滲透數(shù)學解題的技巧與方法，從而使學生掌握解題的思路，并在練習與總結中實現(xiàn)解題的簡捷性與準確性，有效地提高數(shù)學思維與學習能力。

四、重視轉換的等價性，提高解題的正確性

等價轉換最重要的一點就是要保證轉換前后所表示的意義是一樣的，即轉換前后的式子互為重要條件。很多學生在進行轉換時，由于對數(shù)學知識點的掌握不透徹，經常會造成轉換后的結論與原式不相等，從而造成解題的錯誤。下面我們來看一道例題。

小結：該題的錯解告訴我們，在進行轉換時，一定要進行等價轉換，如果將原題中自變量的取值擴大或縮小，都會造成解題錯誤。因此，等價轉換的最基本也是最重要的一點，就是在進行轉換時，一定要保證轉換條件的等價性。

等價轉換的前提條件就是等價，在進行轉換時只有保證了轉換的等價，才能保證做題的準確性，否則很容易因為開始轉換的失誤而使得解題結果錯誤。因此，學生在做題時，教師要進行指導，強調學生對轉換的等價性引起注意，避免出現(xiàn)類似的錯誤，進而有效地提高數(shù)學學習成績，提高對數(shù)學學習的熱情與興趣。

在高中數(shù)學的學習中，等價轉換不僅僅是一種解題方法，還是一種重要的解題思想。利用等價轉換對題目進行轉化，可以有效地簡化運算過程，而且能夠幫助學生分析解題思路，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。在解高中數(shù)學題的過程中，學生通過靈活運用多種不同形式的等價轉換，能夠將復雜繁瑣的數(shù)學問題進行有效簡化計算，收到良好的學習效果，進而使學生不再畏懼數(shù)學的學習。所以教師在進行課堂教學時，要綜合運用等價轉換的各種解題思想與技巧，將數(shù)學知識進行有機結合，使學生能夠將所學的知識熟練掌握，并能夠融會貫通，將其綜合運用，從而提高學生的學習興趣與思維能力，促進學生數(shù)學學習能力的有效提升。

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編輯 孫玲娟