《組合》教學(xué)設(shè)計(jì)（第一課時(shí)）

田麗紅

【教材分析】

本節(jié)課是普通高中新課標(biāo)人教版數(shù)學(xué)選修2-3第一章《計(jì)數(shù)原理》中的內(nèi)容，包括組合的概念、組合數(shù)公式的探究和應(yīng)用，分為三課時(shí)。第一課時(shí)的教學(xué)旨在探究組合的概念，組合數(shù)公式，并解決一些簡單的計(jì)數(shù)問題.本節(jié)內(nèi)容在本章學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用.前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理）和排列的內(nèi)容.排列與組合的區(qū)別在于一個(gè)計(jì)數(shù)問題是否與元素的順序有關(guān).教學(xué)中采用類比的方法，通過學(xué)生在學(xué)習(xí)與生活中的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理解組合的概念.學(xué)習(xí)組合還為后面學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理打基礎(chǔ).

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能

理解組合的概念，能寫出一些簡單問題的所有組合，能判斷一個(gè)問題是排列問題還是組合問題.掌握組合數(shù)公式，并會(huì)應(yīng)用.

2.過程與方法

經(jīng)歷從特殊到一般的歸納推理，總結(jié)排列數(shù)Amn與組合數(shù)Cmn之間的聯(lián)系.

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

在學(xué)習(xí)過程中，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，提升分析問題的能力.

【教學(xué)重點(diǎn)】

組合的概念和組合數(shù)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

組合的概念和組合數(shù)公式的推導(dǎo).

【授課類型】

新授課.

【教學(xué)過程】

一、新課引入

問題1：從甲、乙、丙3名教師中選出2名去參加某天的一項(xiàng)培訓(xùn)，其中1名教師參加上午的培訓(xùn)，1名教師參加下午的培訓(xùn)，有多少種不同的選法？

問題2：從甲、乙、丙3名教師中選出2名去參加某天的一項(xiàng)培訓(xùn)，有多少種不同的選法？

思考：這兩個(gè)問題的區(qū)別在哪里？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過列舉法解決這兩個(gè)問題，再找出排列與組合問題的不同，引出組合的概念.

二、新課講解

1.組合的概念

一般的，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

思考：排列與組合有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？

共同點(diǎn)：都要“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素”.

不同點(diǎn)：排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無關(guān).

設(shè)計(jì)意圖：采用類比的方式，通過概念辨析進(jìn)一步理解組合的概念.

練習(xí)1：判斷下列問題是組合問題還是排列問題.

（1）設(shè)集合A為{a，b，c，d，e}，則集合A的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)？（ ）

（2）某鐵路線上有6個(gè)車站，則這條鐵路線上有多少種不同的火車票價(jià)？（ ）

（3）8個(gè)班干部中選出3個(gè)人去參加義務(wù)勞動(dòng)，有多少種不同的選法？（ ）

（4）在同學(xué)聚會(huì)上每兩人要握手相互問候，有20人參加聚會(huì)，共需握手多少次？（ ）

（5）A、B、C、D、E五個(gè)籃球隊(duì)舉行單循環(huán)賽，有多少場比賽？

（ ）

設(shè)計(jì)意圖：通過解決生活和學(xué)習(xí)中的實(shí)際問題讓學(xué)生進(jìn)一步理解組合的概念.

練習(xí)2：（1）從a，b，c三個(gè)元素中取出2個(gè)元素的所有排列是

.

（2）從a，b，c三個(gè)元素中取出2個(gè)元素的所有組合是 .

設(shè)計(jì)意圖：一是加深對(duì)組合的理解，二是為引出組合數(shù)的概念與組合數(shù)公式的推導(dǎo)做鋪墊.

2.組合數(shù)

（1）組合數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)Cmn表示.

例如：從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)為C23=3，從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)為C34.那么C34是多少呢？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)組合數(shù)的概念及符號(hào)有初步的認(rèn)識(shí)，引發(fā)學(xué)生對(duì)組合數(shù)的求知欲.

（2）組合數(shù)公式的推導(dǎo).

提問：從4個(gè)不同元素a，b，c，d中取出3個(gè)元素的組合數(shù) 是多少呢？

①啟發(fā)：由于排列可以看成先選擇再排序，而從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)A34可以求得，我們看一下C34和A34的關(guān)系，如下：

組合 排列

abc → abc，bac，cab，acb，bca，cba

abd → abd，bad，dab，adb，bda，dba

acd → acd，cad，dac，adc，cda，dca

bcd → bcd，cbd，dbc，bdc，cdb，dcb

由此可知：每一個(gè)組合中3個(gè)元素都有A33種排列.所以，求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)A34，可以分如下兩步：

第1步，求出從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)C34；

第2步，求出每一個(gè)組合中3個(gè)不同元素的全排列數(shù)A33.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：A34=C34·A33，從而C34=.

設(shè)計(jì)意圖：通過解決特殊問題，然后從特殊到一般探索組合數(shù)的求法.

②推廣：一般的，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)Amn，可以分如下兩步：

第1步，求出從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)Cmn；

第2步，求出每一個(gè)組合中m個(gè)不同元素的全排列數(shù)Amm，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得：Amn=Cmn·Amm

③組合數(shù)公式：

另外，我們規(guī)定：C0n=1.

三、知識(shí)應(yīng)用

例1.計(jì)算：（1）C46 （2）C510 （3）C28-C37

練習(xí)：課后25頁第5題.

設(shè)計(jì)意圖：組合數(shù)公式的應(yīng)用.

例2.甲、乙、丙、丁4個(gè)足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽，有多少場比賽？

（1）列出所有各場比賽的雙方；

（2）列出所有冠亞軍的可能情況.

練習(xí)：課后25頁第1題.

設(shè)計(jì)意圖：通過解決實(shí)際問題，加深學(xué)生對(duì)組合概念的理解，對(duì)組合數(shù)公式的應(yīng)用.

四、課堂小結(jié)

1.組合的概念，與排列的區(qū)別與聯(lián)系.

2.組合數(shù)的概念及組合數(shù)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.

五、作業(yè)布置

課本第25頁練習(xí)第2、3、4題；第27頁習(xí)題1.2A組第9、11、12題.

【板書設(shè)計(jì)】（略）

【教學(xué)反思】

本節(jié)課是組合的第一課時(shí)，主要目標(biāo)是學(xué)習(xí)組合的概念，探究組合數(shù)公式，解決簡單的計(jì)數(shù)問題.教學(xué)中，以實(shí)際問題的解決為背景引入新課，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并注重滲透數(shù)學(xué)思想方法（類比法和歸納法），讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中，領(lǐng)會(huì)常見的數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.

編輯 韓 曉