核矩陣協(xié)同進(jìn)化的震蕩搜索粒子群優(yōu)化算法

戴月明,朱達(dá)祥,吳定會(huì)

(江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院, 江蘇 無錫214122)

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核矩陣協(xié)同進(jìn)化的震蕩搜索粒子群優(yōu)化算法

戴月明,朱達(dá)祥,吳定會(huì)

(江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院, 江蘇 無錫214122)

摘要：針對(duì)粒子群算法搜索后期易陷入局部極值的缺點(diǎn)，提出一種基于核矩陣協(xié)同進(jìn)化的震蕩搜索粒子群優(yōu)化(kenel matrix synergistic evolution shock search particle swarm optimization,KMSESPSO)算法，該算法對(duì)粒子進(jìn)行局部與全局結(jié)合的震蕩搜索，且當(dāng)整個(gè)粒子種群陷入停滯狀態(tài)時(shí)，利用核矩陣對(duì)特定粒子組進(jìn)行協(xié)同進(jìn)化以擴(kuò)大種群的多樣性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，KMSESPSO算法有效提高了粒子的全局搜索能力，既避免粒子種群易早熟收斂, 又較好地提高尋優(yōu)精度、加快收斂速度，且有一定的魯棒性。

關(guān)鍵詞：粒子群優(yōu)化算法；震蕩搜索；核矩陣；協(xié)同進(jìn)化

0引言

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization，PSO)是由J Kennedy和R C Eberhart在1995年首次提出的一種經(jīng)典群體智能算法，采用基于種群的全局策略，算法的主要思想是模擬整個(gè)鳥群體覓食的過程，通過每個(gè)鳥個(gè)體之間的相互合作聯(lián)系取得最優(yōu)效果[1]。

為改善粒子群算法的性能，提升尋優(yōu)效果，大量學(xué)者做出了努力。劉建華等[2]對(duì)離散二進(jìn)制粒子群算法進(jìn)行研究和分析，保持了原算法的全局探索能力，提高了種群的局部探測性；Arumugam等[3]借鑒遺傳算法中交叉操作思想讓2個(gè)父代通過某種方式交叉產(chǎn)生新的子代，這在一定程度上提升解的分布性；任子暉等[4]對(duì)基本粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行理論分析，提出了一種加速收斂的粒子群優(yōu)化算法，具有一定的高效性和穩(wěn)健性；顏惠琴等[5]將基于高斯擾動(dòng)的量子粒子群算法應(yīng)用到圖像分割領(lǐng)域，新算法的聚類效果和性能有明顯改善；黃澤霞等[6]提出一種慣性權(quán)自適應(yīng)調(diào)整的量子粒子群優(yōu)化算法，動(dòng)態(tài)地調(diào)整慣性權(quán)值,從而使算法具有動(dòng)態(tài)自適應(yīng)性；胡旺等[7]提出基于Pareto熵的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法，引入格占優(yōu)和格距離密度的概念，新算法表現(xiàn)出了顯著的性能優(yōu)勢。標(biāo)準(zhǔn)的粒子群優(yōu)化算法存在一定缺陷，為了改進(jìn)算法的收斂速度和尋優(yōu)精度，本文提出基于核矩陣協(xié)同進(jìn)化的震蕩搜索粒子群優(yōu)化算法。新算法提出震蕩錨點(diǎn)的概念，種群中的粒子圍繞不同維度的震蕩錨點(diǎn)做既全局又局部的震蕩搜索。當(dāng)最優(yōu)粒子停滯代數(shù)大于設(shè)定的閾值時(shí)，對(duì)最優(yōu)粒子進(jìn)行基于拉普拉斯核矩陣和高斯核矩陣的協(xié)同進(jìn)化，提升種群的多樣性。算法結(jié)構(gòu)簡單，實(shí)現(xiàn)難度不大，并且在典型測試函數(shù)上的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，算法有著較好的跳出局部極值的能力和較快的收斂速度。

1標(biāo)準(zhǔn)的粒子群優(yōu)化算法

假設(shè)一個(gè)粒子種群的規(guī)模為N，粒子在D維的搜索空間以初始速度V0開始飛行。粒子i的位置為xi=(xi1,xi2,…,xiD)，速度為vi=(vi1,vi2,…,viD)。截止到第t次迭代，粒子個(gè)體所找到的歷史最優(yōu)極值為pbi(i=1,2,…,N)，整個(gè)種群所找到的全局最優(yōu)值為gbi。每一輪粒子的進(jìn)化公式為

vi(t+1)=w×vi(t)+c1×rand1×

(1)

(2)

(1)-(2)式中：t是種群當(dāng)前的迭代輪數(shù)；c1和c2是學(xué)習(xí)因子，它們是非負(fù)常數(shù)，一般取c1=c2=2，通過改變學(xué)習(xí)因子的值可以調(diào)節(jié)粒子的社會(huì)經(jīng)驗(yàn)和自身經(jīng)驗(yàn)對(duì)粒子尋優(yōu)的影響度；rand1和rand2是[0,1]的隨機(jī)數(shù)；w是慣性權(quán)重，它是非負(fù)常數(shù)。慣性權(quán)重線性遞減策略為

(3)

(3)式中：t為當(dāng)前的迭代次數(shù)；ωmax表示慣性權(quán)重的初始值；相應(yīng)地ωmin則表示迭代終止輪數(shù)時(shí)慣性權(quán)重；Tmax表示迭代次數(shù)的上限值。

2核矩陣協(xié)同進(jìn)化的震蕩搜索粒子群優(yōu)化算法

由于粒子群算法搜索后期經(jīng)過多次迭代易陷入局部極值，提出一種基于核距陣協(xié)同進(jìn)化的震蕩搜索粒子群優(yōu)化(kemelmatrixsynergisticevolutionshocksearchparticleswarmoptimization,KMSESPSO)算法。

2.1免疫進(jìn)化思想以及對(duì)算法的啟示

免疫進(jìn)化算法[8]的核心在于盡可能利用當(dāng)前種群最優(yōu)個(gè)體的進(jìn)化趨勢替代整個(gè)種群。從統(tǒng)計(jì)學(xué)來說，與當(dāng)前最優(yōu)粒子之間空間距離小的粒子個(gè)體的適應(yīng)度值要優(yōu)于那些遠(yuǎn)離當(dāng)前最優(yōu)粒子的個(gè)體。另一方面，當(dāng)前種群的全局最優(yōu)粒子和最優(yōu)解之間的距離小于其他粒子和最優(yōu)解之間的距離的概率也較大。盡可能利用當(dāng)前種群的全局最優(yōu)粒子來描述問題特征。針對(duì)多峰函數(shù)及含有局部最優(yōu)解的問題，在信任當(dāng)前全局最優(yōu)粒子的基礎(chǔ)上，還要增加與種群中其他粒子的聯(lián)系，種群的信息盡量由多個(gè)粒子的空間狀態(tài)描述，而非僅一個(gè)當(dāng)前全局最優(yōu)粒子。

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法后期易陷入早熟收斂，而由于算法的局限性導(dǎo)致未能更精確地接近甚至找到這個(gè)最優(yōu)解。由免疫進(jìn)化得到的啟示，充分利用優(yōu)秀粒子個(gè)體信息，本文提出了一種新的進(jìn)化策略，即當(dāng)算法陷入停滯時(shí)，對(duì)當(dāng)前的全局最優(yōu)粒子和最接近全局最優(yōu)粒子的若干個(gè)粒子進(jìn)行基于拉普拉斯核矩陣和高斯核矩陣的協(xié)同進(jìn)化，如果協(xié)同進(jìn)化未提高粒子的適應(yīng)度，則取消進(jìn)化。具體的粒子個(gè)體數(shù)由核矩陣的維數(shù)來確定。

2.2核矩陣協(xié)同進(jìn)化

2.2.1拉普拉斯核矩陣

二維拉普拉斯方程的微分形式為

(4)

(5)

由(5)式，我們定義拉普拉斯核矩陣為

(6)

(6)式中:DK是矩陣基礎(chǔ)系數(shù)，決定了當(dāng)前全局最優(yōu)粒子在協(xié)同進(jìn)化過程中的局部侵占率；Lx,y為拉普拉斯核矩陣第x行y列的值。

2.2.2高斯核矩陣

N維空間正態(tài)分布方程為

(7)

在二維空間的定義為

(8)

由(8)式，我們定義高斯核矩陣為

(9)

(9)式中:σ是高斯核矩陣的方差；k是高斯核矩陣的維數(shù)，它決定了當(dāng)前全局最優(yōu)粒子在協(xié)同進(jìn)化過程中全局侵占率；Gx,y是高斯核矩陣第x行第y列的值。

2.2.3協(xié)同進(jìn)化

拉普拉斯核矩陣是固定的3×3方陣，DK越小，局部侵占率越大，即當(dāng)前全局最優(yōu)粒子對(duì)協(xié)同進(jìn)化的局部搜索性能影響越大。高斯核矩陣是動(dòng)態(tài)的(2k+1)×(2k+1)方陣，k越大，全局侵占率越小，即當(dāng)前全局最優(yōu)粒子對(duì)協(xié)同進(jìn)化的全局搜索性能影響越大。DK和k可由對(duì)當(dāng)前種群全局最優(yōu)粒子的信賴值調(diào)節(jié)，信賴值越高，則DK應(yīng)越??；信賴值越低，則k應(yīng)越大。協(xié)同進(jìn)化的方式為

(10)

(10)式中：Sp表示協(xié)同因子；gbold表示進(jìn)化前的全局最優(yōu)粒子；L表示拉普拉斯核矩陣；G表示高斯核矩陣；gbnew表示全局最優(yōu)粒子進(jìn)化后的狀態(tài)。

2.3核矩陣協(xié)同進(jìn)化的震蕩搜索粒子群優(yōu)化算法

內(nèi)嵌區(qū)域震蕩搜索算法(regionshockparticleswarmoptimization,RSPSO)[9]粒子是以pi=(pi1,pi2,…,piD)為吸引子[10]，迭代過程中不斷向其靠近，其坐標(biāo)為

(11)

或者

(12)

(13)

(11)式中,r1,r2是(0,1)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

在整個(gè)種群粒子的尋優(yōu)過程中，粒子個(gè)體的速度逐漸減小，粒子i以一種趨向性靠近pi點(diǎn)，最后跌落在pi點(diǎn)。算法的主要思想是粒子i以吸引子為中心，以當(dāng)前所處位置和該粒子吸引子間的距離Δi,j(t)(1≤i≤N,1≤j≤D)為震蕩因子進(jìn)行震蕩搜索。

(14)

(15)

(16)

粒子的各個(gè)維度局部震蕩搜索和全局震蕩搜索一次，其在整個(gè)搜索空間的位置更新公式為

(17)

(17)式中：xi,j(t)為粒子的初始位置；dir確定粒子某個(gè)時(shí)刻的震蕩方向。搜索的過程是針對(duì)粒子的每一個(gè)維度，先對(duì)當(dāng)前的維度進(jìn)行局部震蕩搜索，計(jì)算出粒子的局部搜索適應(yīng)度值，再對(duì)當(dāng)前的維度進(jìn)行全局震蕩搜索，計(jì)算全局搜索適應(yīng)度值，通過比較局部搜索適應(yīng)度值和全局搜索適應(yīng)度值確定粒子在該維度上的最佳位置，按此方法迭代搜索粒子的其他維度，直到找到每一個(gè)維度適應(yīng)度最小的位置。融合各維度最佳粒子，若適應(yīng)度值高于歷史最優(yōu)極值，則替換掉震蕩搜索前的歷史最優(yōu)極值；若適應(yīng)度值高于種群全局最優(yōu)粒子的適應(yīng)度值，則替換為新的全局最優(yōu)值。

為了使粒子群算法能最大限度地避免陷入早熟收斂以及獲得更好的尋優(yōu)效果，本文提出了基于核矩陣的協(xié)同進(jìn)化。進(jìn)化策略為：當(dāng)算法進(jìn)入停滯狀態(tài)，找出和當(dāng)前全局最優(yōu)粒子最接近的U個(gè)粒子，U=核矩陣維數(shù)-1。它們和全局最優(yōu)粒子合并為進(jìn)化粒子組(evolutionparticlegroup)。使用核矩陣對(duì)進(jìn)化粒子組進(jìn)行協(xié)同進(jìn)化，如果進(jìn)化后的全局最優(yōu)粒子的解更優(yōu)則進(jìn)化成功，否則進(jìn)化失敗，恢復(fù)粒子組進(jìn)化前的狀態(tài)。

綜上所述，算法的流程描述如下

步驟1生成種群及設(shè)置算法有關(guān)參數(shù)。種群規(guī)模為N，粒子個(gè)體的維度為D，拉普拉斯核矩陣的基礎(chǔ)系數(shù)為DK，高斯核矩陣的維數(shù)為k，協(xié)同因子為Sp，最大迭代次數(shù)為IMax，粒子圍繞震蕩錨點(diǎn)震蕩搜索次數(shù)為GS。

步驟2確定震蕩錨點(diǎn)，由(11)式尋找當(dāng)前粒子相應(yīng)維數(shù)的吸引子以及當(dāng)前的全局最優(yōu)粒子。

步驟3進(jìn)行迭代，對(duì)各粒子圍繞震蕩錨點(diǎn)進(jìn)行震蕩搜索。

步驟3.3粒子各維度由(17)式進(jìn)行既局部又全局的線性震蕩搜索。

步驟3.4比較全局震蕩搜索和局部震蕩搜索所得適應(yīng)度值，確定粒子在該維度上最佳適應(yīng)度值的位置。

步驟4既局部又全局的震蕩搜索之后，確定粒子個(gè)體新的局部最優(yōu)粒子pbi和整個(gè)種群全局最優(yōu)粒子gb。

步驟5當(dāng)全局最優(yōu)粒子的進(jìn)化停滯，且迭代數(shù)大于一個(gè)閾值，根據(jù)(6)式和(9)式確定核矩陣，根據(jù)(10)式對(duì)進(jìn)化粒子組進(jìn)行基于核矩陣的協(xié)同進(jìn)化，比較適應(yīng)度值，如果更優(yōu)秀就視為進(jìn)化成功，否則取消進(jìn)化。

步驟2至步驟5進(jìn)行循環(huán)，直到找到最優(yōu)解或者達(dá)到最大迭代次數(shù)。

3仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了檢驗(yàn)KMSESPSO算法的尋優(yōu)性能，本文采用表1中常用經(jīng)典測試函數(shù)進(jìn)行測試，且與標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法、帶有柯西變異的PSO算法[11]和內(nèi)嵌區(qū)域震蕩算法(RSPSO)測試結(jié)果作更直觀的比較。

表1　經(jīng)典測試函數(shù)及相關(guān)參數(shù)

表1中f6函數(shù)在對(duì)應(yīng)30維時(shí)的理論最優(yōu)值為-12 369.5，其他函數(shù)理論上的最優(yōu)值均為0。

實(shí)驗(yàn)參數(shù)初始化：f1～f3函數(shù)中，種群規(guī)模N=10，f4～f8函數(shù)中，種群規(guī)模N=50。粒子維數(shù)和搜索范圍由表1中指定。f4的最大迭代次數(shù)IMax=1 000，其他種群的最大迭代次數(shù)IMax=100。高斯核矩陣為3×3方陣，標(biāo)準(zhǔn)差σ為1，協(xié)同因子Sp=0.5。KMSESPSO提出了圍繞震蕩錨點(diǎn)做局部和全局的震蕩搜索，即粒子在每次迭代的過程中，包含了一次的額外搜索，粒子迭代一次，其作用就相當(dāng)于RSPSO迭代2次，因?yàn)榇嬖谥p重嵌套搜索，所以粒子群整體的搜索次數(shù)為GS=5。為盡可能地減少實(shí)驗(yàn)偶然性對(duì)結(jié)果的影響，用4種算法對(duì)選取的函數(shù)每個(gè)獨(dú)立運(yùn)行30次，取30次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均最優(yōu)適應(yīng)度值和標(biāo)準(zhǔn)方差作為結(jié)果比較。

表2中的f1～f4均是單峰連續(xù)函數(shù),相比其他3個(gè)算法，KMSESPSO表現(xiàn)出了很好的尋優(yōu)效果。針對(duì)f1～f3函數(shù),KMSESPSO的精度提升了幾十甚至上百個(gè)數(shù)量級(jí),算法的穩(wěn)定性也有大幅度的提升, f2和f3函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方差值小于Matlab的最小精度值,顯示為0,說明具有很強(qiáng)的魯棒性。針對(duì)f4函數(shù),KMSESPSO在精度方面有數(shù)倍的增長。表3中的f5～f8均是多峰函數(shù),在尋優(yōu)過程中更易陷入局部極值。f5和f6函數(shù)收斂精度都有一定程度的提升, f7和f8的精度和標(biāo)準(zhǔn)方差超過了Matlab最小精度值,說明KMSESPSO算法有很好的穩(wěn)定性。從仿真實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看,KMSESPSO在單峰函數(shù)和多峰函數(shù)都能有效地避免陷入局部極值,展現(xiàn)出很強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力。

圖1至圖4分別是RSPSO和KMSESPSO算法在函數(shù)f1，f3，f5，f7上的收斂曲線，其中橫坐標(biāo)為整個(gè)種群當(dāng)前進(jìn)化的代數(shù)，縱坐標(biāo)為粒子在當(dāng)前代數(shù)對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值的自然對(duì)數(shù)。通過圖1—圖4可以明顯看出，KMSESPSO算法的收斂曲線在算法初期就有比較大的變化趨勢,達(dá)到相同精度的情況下所需迭代的輪數(shù)更小,即有著更快的收斂速度;在相同的迭代輪數(shù),KMSESPSO具有更高的尋優(yōu)精度。

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，對(duì)于選取的經(jīng)典測試函數(shù)，KMSESPSO算法在收斂精度、收斂速度以及穩(wěn)定性等方面都有著較好的尋優(yōu)效果，算法性能評(píng)價(jià)指標(biāo)優(yōu)于其他參與實(shí)驗(yàn)的算法。以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果充分驗(yàn)證了KMSESPSO算法的高效性和穩(wěn)健性。

表2　算法在f1～f4上的平均最優(yōu)值和標(biāo)準(zhǔn)方差

表3　算法在f5～f8上的平均最優(yōu)值和標(biāo)準(zhǔn)方差

圖1　在f1函數(shù)的運(yùn)行結(jié)果Fig.1　Results on function f1

圖2　在f3函數(shù)的運(yùn)行結(jié)果Fig.2　Results on function f3

圖3　在f5函數(shù)的運(yùn)行結(jié)果Fig.3　Results on function f5

圖4　在f7函數(shù)的運(yùn)行結(jié)果Fig.4　Results on function f7

4結(jié)束語

基于核矩陣協(xié)同進(jìn)化的震蕩搜索粒子群優(yōu)化算法在每一輪迭代過程中對(duì)粒子圍繞震蕩錨點(diǎn)進(jìn)行既局部又全局的震蕩搜索，提高了粒子全局尋優(yōu)能力和收斂速度。利用拉普拉斯核矩陣和高斯核矩陣對(duì)算法后期陷入停滯狀態(tài)的進(jìn)化粒子組進(jìn)行協(xié)同進(jìn)化，提高了種群的多樣性，有效地避免了整個(gè)種群陷入早熟收斂。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 對(duì)于全部測試函數(shù),基于核矩陣協(xié)同進(jìn)化的震蕩搜索粒子群優(yōu)化算法能夠有效避免局部極值, 得到全局最優(yōu)值，在尋優(yōu)能力、收斂速度、算法穩(wěn)定性方面都有不同程度的提高，尤其是針對(duì)單峰連續(xù)函數(shù)的尋優(yōu)性能提升顯著。KMSESPSO也存在不足之處，在算法的震蕩搜索過程中，目前是圍繞該維度的震蕩錨點(diǎn)線性等比例分配搜索點(diǎn)，存在一定的局限性，針對(duì)復(fù)雜的尋優(yōu)問題如果要獲得突出的效果，就需要增加震蕩搜索的次數(shù)，隨之算法的時(shí)間復(fù)雜度就會(huì)上升，影響性能。下一步的研究重點(diǎn)是利用當(dāng)前粒子某維度的位置信息，粒子在多維度空間的位置信息以及群體的綜合信息非線性且非固定比例分配搜索點(diǎn)；引入其他核矩陣進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對(duì)比算法效果；以及考慮進(jìn)一步減少空間復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)雜度，并且將算法運(yùn)用到實(shí)際過程中。

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Shock search particle swarm optimization algorithm based on kernel matrix synergistic evolution

DAI Yueming, ZHU Daxiang, WU Dinghui

(School of Internet of Things Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122,P.R. China)

Abstract:Due to the shortcoming of particle swarm optimization(PSO) algorithm that it is often trapping in local optimum at the late stage, a kind of shock search PSO algorithm based on kernal matrix synergistic evolution(KMSESPSO) is proposed.The proposed algorithm does a combination of local and global shocks search and when the whole particle swarm is stagnant a specific particle group would have a synergistic evolution to enrich the diversity of population by using kernel matrix.The experiment results show that the proposed algorithm strengthens the global search capability of particles effectively and can not only get free from premature but also raise the optimal accuracy in faster convergence speed and have certain robustness.

Keywords：particle swarm optimization; shock search; kernel matrix; synergistic evolution

DOI：10.3979/j.issn.1673-825X.2016.02.017

收稿日期：2015-04-07

修訂日期：2015-12-10通訊作者：朱達(dá)祥zdxever@sina.com

基金項(xiàng)目：國家863計(jì)劃項(xiàng)目(2013AA040405)

Foundation Item：National High Technology Research and Development Program of China(863 Program)(2013AA040405)

中圖分類號(hào)：TP18

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-825X(2016)02-0247-07

作者簡介：

戴月明(1964-)，男，江蘇無錫人，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域?yàn)槿斯ぶ悄芘c模式識(shí)別、數(shù)據(jù)挖掘。Email：dym@jiangnan.edu.cn

朱達(dá)祥(1990-)，男，安徽馬鞍山人，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)槿斯ぶ悄?，軟件工程。Email：zdxever@sina.com

吳定會(huì)(1970-) ，男，江蘇無錫人，副教授，博士，主要研究領(lǐng)域?yàn)樾履茉磁c自動(dòng)控制。

(編輯：張誠)