關(guān)于復(fù)積分的計(jì)算

袁邢華，蔣巧云（南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南通 226019）

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關(guān)于復(fù)積分的計(jì)算

袁邢華，蔣巧云
（南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南通 226019）

摘要：通過(guò)一個(gè)具體復(fù)積分實(shí)例，討論了復(fù)積分的計(jì)算問(wèn)題，總結(jié)了復(fù)積分的多種計(jì)算方法，以此加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相應(yīng)主要知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握.

關(guān)鍵詞：復(fù)積分；柯西積分公式；留數(shù)

在復(fù)變函數(shù)論中，復(fù)積分的計(jì)算是比較重要的一個(gè)內(nèi)容［1-3］.本文通過(guò)一個(gè)具體的實(shí)例給出它的多種解法，從而讓學(xué)生更好地理解和掌握復(fù)變函數(shù)中幾個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，而且通過(guò)一題多解，也讓學(xué)生對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系有了更加全面的認(rèn)識(shí).

解法1比較適合被積函數(shù)是有理分式且比較容易進(jìn)行部分分式分解的積分，另外，對(duì)所用到的已知結(jié)論要比較熟悉.關(guān)于如何對(duì)有理分式進(jìn)行分解詳見文獻(xiàn)［4］.

解法2 利用復(fù)合閉路定理、柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式.

在z =3的內(nèi)部作正向簡(jiǎn)單閉曲線C1，C2，C3，使得-1在C1內(nèi)部，1在C2內(nèi)部，-2在C3內(nèi)部，并且C1，C2，C3互不相交，互不包含，從而

解法2的特點(diǎn)是不用把被積函數(shù)部分分式分解，而只需作適當(dāng)變形讓其滿足柯西積分公式或高階導(dǎo)數(shù)公式的要求，進(jìn)而利用公式即可.

解法3 利用留數(shù)定義.

解法3對(duì)例1來(lái)講計(jì)算時(shí)不是太簡(jiǎn)單，但如果被積函數(shù)在積分曲線內(nèi)部的奇點(diǎn)是本性奇點(diǎn)時(shí)就只能用此方法來(lái)處理了.

解法4 利用留數(shù)定理及關(guān)于極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算規(guī)則.

解法4比較適合被積函數(shù)的奇點(diǎn)是極點(diǎn)，而且極點(diǎn)級(jí)數(shù)不超過(guò)三級(jí)的積分.

留數(shù)總和定理［5］如果函數(shù)f（z）在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，那么f（z）在所有奇點(diǎn)（包括∞點(diǎn)）的留數(shù)的總和必等于零. 0 .

解法5比較適合積分曲線內(nèi)部出現(xiàn)多個(gè)奇點(diǎn)，而且有些奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算又比較復(fù)雜時(shí)的積分，通過(guò)留數(shù)總和定理的轉(zhuǎn)化，可以把計(jì)算留數(shù)變得相對(duì)簡(jiǎn)單.

通過(guò)本文的討論，希望在今后的教學(xué)過(guò)程中更加全面深入地講解這部分知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生更好地理解和掌握這部分內(nèi)容，靈活地運(yùn)用這些方法來(lái)計(jì)算復(fù)積分.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］.3版.北京：高等教育出版社，2004

［2］ 余家榮.復(fù)變函數(shù)論［M］.3版.北京：高等教育出版社，2000

［3］ 路見可，鐘可壽.復(fù)變函數(shù)論［M］.2版.武漢：武漢大學(xué)出版社，2007

［4］ 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.5版.北京：高等教育出版社，2002

［5］ 呂彥鳴.復(fù)變函數(shù)［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2010

重 要 聲 明

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《高師理科學(xué)刊》編輯部

About the calculation of complex integral

YUAN Xing-hua，JIANG Qiao-yun
（Shool of Science，Nantong University，Nantong 226019，China）

Abstract：Through a complex integral example，discussed the calculation problem and summarized the various calculation methods of complex integral，then to strengthen students' understanding and mastery of corresponding main knowledge points.

Key words：complex integral；Cauchy integral formula；residue

中圖分類號(hào)：O174.5∶G642.0

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.014

文章編號(hào)：1007-9831（2016）05-0048-03

收稿日期：2016-02-20

基金項(xiàng)目：南通大學(xué)教學(xué)改革課題（2014B7）

作者簡(jiǎn)介：袁邢華（1978-），男，江蘇海門人，講師，碩士，從事復(fù)變函數(shù)研究.E-mail：ntsandy2004@ntu.edu.cn