提煉函數(shù)關(guān)系式　解決生活小難題

陳　鋒

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提煉函數(shù)關(guān)系式解決生活小難題

陳鋒

一次函數(shù)在我們的日常生活中有非常廣泛的應(yīng)用，如購(gòu)物、租借、住宿，經(jīng)營(yíng)者為了盈利促銷進(jìn)行宣傳；為尋求最優(yōu)方案，可以利用一次函數(shù)解決問題；當(dāng)人或車進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，為合理分配時(shí)間或速度，也可利用一次函數(shù)解決問題……因此，對(duì)于生活中的問題，只要能提煉出一次函數(shù)關(guān)系式，就能為我們解決問題提供方便.

一、規(guī)律探尋

1.如圖1所示，用火柴棍擺“金魚”，按照上面的規(guī)律，擺n個(gè)“金魚”需用的火柴棒根數(shù)為________.

圖1

【分析】本題的規(guī)律就是：每增加一個(gè)金魚就增加6根火柴棒；若不能發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律，也可設(shè)一次函數(shù)一般式獲得答案.

解：設(shè)y=kx+b，x=1時(shí)，y=8，x=2時(shí)，y= 14，解得y=6x+2，填6n+2.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道關(guān)于數(shù)字猜想問題，關(guān)鍵是通過歸納總結(jié)或大膽假設(shè)，得到其中的規(guī)律.

二、最優(yōu)方案

2.“黃金1號(hào)”玉米種子的價(jià)格為5 元/kg，如果一次購(gòu)買2 kg以上的種子，超過2 kg部分的種子的價(jià)格打8折.

（1）根據(jù)題意，填寫下表：

購(gòu)買種子的數(shù)量/kg　 1.5　 2　 3.5　 4　…付款金額/元　7.5　16　…

（2）設(shè)購(gòu)買種子數(shù)量為x kg，付款金額為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）若小張一次購(gòu)買該種子花費(fèi)了30元，求他購(gòu)買種子的數(shù)量.

【分析】（1）根據(jù)單價(jià)乘數(shù)量，可得答案；

（2）根據(jù)單價(jià)乘數(shù)量，可得價(jià)格，可得相應(yīng)的函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)的自變量的值.

解：（1）10，18；

（2）根據(jù)題意得，

當(dāng)0≤x≤2時(shí)，種子的價(jià)格為5元/千克，∴y=5x，

當(dāng)x＞2時(shí)，其中有2千克的種子按5元/千克計(jì)價(jià)，超過部分按4元/千克計(jì)價(jià)，

∴y=5×2+4（x-2）=4x+2.y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：

（3）∵30＞10，

∴一次性購(gòu)買種子超過2千克，

∴4x+2=30.解得x=7.

答：他購(gòu)買種子的數(shù)量是7千克.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分類討論是解題關(guān)鍵.

3.根據(jù)大會(huì)組委會(huì)安排，某校接受了開幕式大型團(tuán)體操表演任務(wù).為此，學(xué)校需要采購(gòu)一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應(yīng)商.經(jīng)了解：兩家公司生產(chǎn)的這款演出服裝的質(zhì)量和單價(jià)都相同，即男裝每套120元，女裝每套100 元.經(jīng)洽談協(xié)商：A公司給出的優(yōu)惠條件是，全部服裝按單價(jià)打七折，但校方需承擔(dān)2200元的運(yùn)費(fèi)；B公司的優(yōu)惠條件是男女裝均按每套100元打八折，公司承擔(dān)運(yùn)費(fèi).另外根據(jù)大會(huì)組委會(huì)要求，參加演出的女生人數(shù)應(yīng)是男生人數(shù)的2倍少100人，如果設(shè)參加演出的男生有x人.

（1）分別寫出學(xué)校購(gòu)買A、B兩公司服裝所付的總費(fèi)用y1（元）和y2（元）與參演男生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問：該學(xué)校購(gòu)買哪家制衣公司的服裝比較合算？請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）根據(jù)總費(fèi)用=男生的人數(shù)×男生每套的價(jià)格+女生的人數(shù)×女生每套的價(jià)格就可以分別表示出y1（元）和y2（元）與男生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)條件可以知道購(gòu)買服裝的費(fèi)用受x的變化而變化，分情況討論，當(dāng)y1＞y2時(shí)，當(dāng)y1=y2時(shí)，當(dāng)y1＜y2時(shí)，求出x的范圍就可以求出結(jié)論.

解：（1）總費(fèi)用y1（元）和y2（元）與參演男生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式分別是：

y1=0.7［120x+100（2x-100）］+2 200= 224x-4 800，

y2=0.8［100（3x-100）］=240x-8 000；

（2）由題意，得

當(dāng)y1＞y2時(shí)，即224x-4 800＞240x-8 000，解得：x＜200，

當(dāng)y1=y2時(shí)，即224x-4 800=240x-8 000，解得：x=200，

當(dāng)y1＜y2時(shí)，即224x-4 800＜240x-8 000，解得：x＞200.

即當(dāng)參演男生少于200人時(shí)，購(gòu)買B公司的服裝比較合算；

當(dāng)參演男生等于200人時(shí)，購(gòu)買兩家公司的服裝總費(fèi)用相同，可在任一家公司購(gòu)買；

當(dāng)參演男生多于200人時(shí)，購(gòu)買A公司的服裝比較合算.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)條件求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用、運(yùn)用不等式求設(shè)計(jì)方案的運(yùn)用，解答本題時(shí)根據(jù)數(shù)量關(guān)系求出解析式是關(guān)鍵，建立不等式計(jì)算優(yōu)惠方案是難點(diǎn).

4.某校校園超市老板到批發(fā)中心選購(gòu)甲、乙兩種品牌的文具盒，乙品牌的進(jìn)貨單價(jià)是甲品牌進(jìn)貨單價(jià)的2倍，考慮各種因素，預(yù)計(jì)購(gòu)進(jìn)乙品牌文具盒的數(shù)量y（個(gè)）與甲品牌文具盒的數(shù)量x（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.當(dāng)購(gòu)進(jìn)的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120個(gè)時(shí)，購(gòu)進(jìn)甲、乙品牌文具盒共需7 200元.

圖2

（1）根據(jù)圖像，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求甲、乙兩種品牌的文具盒進(jìn)貨單價(jià)；

（3）若該超市每銷售1個(gè)甲種品牌的文具盒可獲利4元，每銷售1個(gè)乙種品牌的文具盒可獲利9元，根據(jù)學(xué)生需求，超市老板決定，準(zhǔn)備用不超過6 300元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種品牌的文具盒，且這兩種品牌的文具盒全部售出后獲利不低于1 795元，問該超市有幾種進(jìn)貨方案？哪種方案能使獲利最大？最大獲利為多少元？

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像由待定系數(shù)法就可以直接求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)甲品牌進(jìn)貨單價(jià)是a元，則乙品牌的進(jìn)貨單價(jià)是2a元，根據(jù)購(gòu)進(jìn)甲品牌文具盒120個(gè)可以求出乙品牌的文具盒的個(gè)數(shù)，由共需7 200元為等量關(guān)系建立方程求出其解即可；

（3）設(shè)甲品牌進(jìn)貨m個(gè)，則乙品牌進(jìn)貨（-m+300）個(gè)，根據(jù)條件建立不等式組求出其解即可.

解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，由函數(shù)圖像，得

∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+300.

（2）∵y=-x+300，

∴當(dāng)x=120時(shí)，y=180.

設(shè)甲品牌進(jìn)貨單價(jià)是a元，則乙品牌的進(jìn)貨單價(jià)是2a元，由題意，得

120a+180×2a=7 200，

解得：a=15，

∴乙品牌的進(jìn)貨單價(jià)是30元.

答：甲、乙兩種品牌的文具盒進(jìn)貨單價(jià)分別為15元，30元.

（3）設(shè)甲品牌進(jìn)貨m個(gè)，則乙品牌進(jìn)貨（-m+300）個(gè)，由題意，得

解得：180≤m≤181，

∵m為整數(shù)，

∴m=180，181.

∴共有兩種進(jìn)貨方案：

方案1：甲品牌進(jìn)貨180個(gè)，則乙品牌進(jìn)貨120個(gè)；

方案2：甲品牌進(jìn)貨181個(gè)，則乙品牌進(jìn)貨119個(gè).

設(shè)兩種品牌的文具盒全部售出后獲得的利潤(rùn)為W元，由題意，得

W=4m+9（-m+300）=-5m+2 700.

∵k=-5＜0，

∴W隨m的增大而減小，

∴m=180時(shí)，W最大=1 800元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、列一元一次方程解實(shí)際問題、列一元一次不等式組解實(shí)際問題，解答時(shí)求出第一問的解析式是解答后面問題的關(guān)鍵.

三、行程問題

5. 2013年“中國(guó)好聲音”全國(guó)巡演重慶站在奧體中心舉行.童童從家出發(fā)前往觀看，先勻速步行至輕軌車站，等了一會(huì)兒，童童搭乘輕軌至奧體中心觀看演出，演出結(jié)束后，童童搭乘鄰居劉叔叔的車順利到家.其中x表示童童從家出發(fā)后所用時(shí)間，y表示童童離家的距離.下圖能反映y與x的函數(shù)關(guān)系式的大致圖像是（）.

【分析】本題考查了用圖像法表示函數(shù)，考查了對(duì)用圖像表示的分段函數(shù)的正確辨別.對(duì)于用圖像描述分段函數(shù)的實(shí)際問題，要抓住以下幾點(diǎn)：①自變量變化而函數(shù)值不變化的圖像用水平線段表示；②當(dāng)兩個(gè)階段的圖像都是一次函數(shù)（或正比例函數(shù)）時(shí)，自變量變化量相同，而函數(shù)值變化越大的圖像與x軸的夾角就越大；③各個(gè)分段中，準(zhǔn)確確定函數(shù)關(guān)系；④確定函數(shù)圖像的最低點(diǎn)和最高點(diǎn).

解：時(shí)間x=0時(shí)，童童還在家里，所以圖像必過原點(diǎn)；勻速步行前往，說明y逐步變大，是正比例函數(shù)；等輕軌車，x變化，而y不變化，圖像是水平線段；乘輕軌車勻速前往奧體中心，速度比步行時(shí)大，在相同時(shí)間內(nèi)，函數(shù)值變化量比步行時(shí)大，所以圖像是比步行時(shí)k值大的一次函數(shù).這樣，就基本可以確定答案為A.

【點(diǎn)評(píng)】本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是對(duì)函數(shù)圖像的分段不準(zhǔn)，對(duì)各個(gè)階段相對(duì)的變化快慢忽視.

6.“龜兔首次賽跑”之后，輸了比賽的兔子沒有氣餒，總結(jié)反思后，和烏龜約定再賽一場(chǎng).圖中的函數(shù)圖像刻畫了“龜兔再次賽跑”的故事（x表示烏龜從起點(diǎn)出發(fā)所行的時(shí)間，y1表示烏龜所行的路程，y2表示兔子所行的路程）.有下列說法：

①“龜兔再次賽跑”的路程為1 000米；②兔子和烏龜同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)；③烏龜在途中休息了10分鐘；④兔子在途中750米處追上烏龜.其中正確的說法是________.（把你認(rèn)為正確說法的序號(hào)都填上）

【分析】結(jié)合函數(shù)圖像及選項(xiàng)說法進(jìn)行判斷即可.

解：根據(jù)圖像可知：

龜兔再次賽跑的路程為1 000米，故①正確；兔子在烏龜跑了40分鐘之后開始跑，故②錯(cuò)誤；烏龜在30到40分鐘時(shí)的路程為0，故這10分鐘烏龜沒有跑在休息，故③正確；y1=20x-200（40≤x≤60），y2= 100x-4 000（40≤x≤50），當(dāng)y1=y2時(shí)，兔子追上烏龜，此時(shí)20x-200=100x-4 000，解得：x=47.5，y1=y2=750米，即兔子在途中750米處追上烏龜，故④正確.綜上可得①③④正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖像，讀函數(shù)的圖像時(shí)首先要理解橫縱坐標(biāo)表示的含義，理解問題敘述的過程，有一定難度.

圖3

7.某學(xué)校開展“青少年科技創(chuàng)新比賽”活動(dòng)，“喜洋洋”代表隊(duì)設(shè)計(jì)了一個(gè)遙控車沿直線軌道AC做勻速直線運(yùn)動(dòng)的模型.甲、乙兩車同時(shí)分別從A，B出發(fā)，沿軌道到達(dá)C處，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，設(shè)t（分）后甲、乙兩遙控車與B處的距離分別為d1，d2，則d1，d2與t的函數(shù)關(guān)系如圖3，試根據(jù)圖像解決下列問題：

（1）填空：乙的速度v2=_______米/分；（2）寫出d1與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若甲、乙兩遙控車的距離超過10米時(shí)信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生相互干擾，試探求什么時(shí)間兩遙控車的信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生相互干擾.

【分析】（1）根據(jù)路程與時(shí)間的關(guān)系，可得答案；

（2）根據(jù)甲的速度是乙的速度的1.5倍，可得甲的速度，根據(jù)路程與時(shí)間的關(guān)系，可得a的值，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；

（3）根據(jù)兩車的距離，可得不等式，解不等式，可得答案.

解：（1）乙的速度v2=120÷3=40（米/分），故答案為40.

（2）v1=1.5×v2=1.5×40=60（米/分），

60÷60=1（分鐘），a=1，d1=

（3）d2=40t，當(dāng)0≤t＜1時(shí)，d1+d2＞10，

即-60t+60+40t＞10，

解得0≤t＜2.5，

當(dāng)0≤t＜1時(shí)，兩遙控車的信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生相互干擾；

當(dāng)1≤t≤3時(shí)，d2-d1＞10，即40t-（60t-60）＞10，解得t＜2.5，

當(dāng)1≤t＜2.5時(shí)，兩遙控車的信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生相互干擾.

綜上所述：當(dāng)0≤t＜2.5時(shí)，兩遙控車的信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生相互干擾.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，（1）利用了路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系，（2）分段函數(shù)分別利用待定系數(shù)法求解，（3）當(dāng)0≤t＜1時(shí)，d2+d1＞10，當(dāng)1＜t≤3時(shí)，d2-d1＞10，分類討論是解題關(guān)鍵.

四、其他問題

8.一個(gè)大燒杯中裝有一個(gè)小燒杯，在小燒杯中放入一個(gè)浮子（質(zhì)量非常輕的空心小圓球）后再往小燒杯中注水，水流的速度恒定不變，小燒杯被注滿后水溢出到大燒杯中，浮子始終保持在容器的正中間.用x表示注水時(shí)間，用y表示浮子的高度，則用來表示y與x之間關(guān)系的選項(xiàng)是（）.

【分析】分三段考慮.①小燒杯未被注滿，這段時(shí)間，浮子的高度快速增加；②小燒杯被注滿，大燒杯內(nèi)水面的高度還未達(dá)到小燒杯的高度，此時(shí)浮子高度不變；③大燒杯內(nèi)的水面高于小燒杯，此時(shí)浮子高度緩慢增加.

解：①小燒杯未被注滿，這段時(shí)間，浮子的高度快速增加；

②小燒杯被注滿，大燒杯內(nèi)水面的高度還未達(dá)到小燒杯的高度，此時(shí)浮子高度不變；

③大燒杯內(nèi)的水面高于小燒杯，此時(shí)浮子高度緩慢增加.

結(jié)合圖像可得B選項(xiàng)的圖像符合.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖像，解答本題需要分段討論，另外本題重要的一點(diǎn)在于：浮子始終保持在容器的正中間.

（作者單位：江蘇省無錫市太湖格致中學(xué)）