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    用圖像法解決一次函數(shù)問題

    2016-06-30 03:18:21朱宸材
    初中生世界 2016年6期
    關(guān)鍵詞:輪船方程組洛杉磯

    朱宸材

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    用圖像法解決一次函數(shù)問題

    朱宸材

    一次函數(shù)的圖像是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的體現(xiàn),在研究一次函數(shù)性質(zhì)以及解決一次函數(shù)實(shí)際問題中起著重要作用.如果你把握住了一次函數(shù)圖像的特點(diǎn),就能使解題簡(jiǎn)單明了,事半功倍.下面我們從不同角度來看看一次函數(shù)圖像在解題中的運(yùn)用.

    一、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

    一次函數(shù)y=kx+b的圖像為一條直線,與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,(0,b).它的傾斜程度由k決定,b決定該直線與y軸交點(diǎn)的位置.

    例1已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(2,5)和(-1,-1)兩點(diǎn).

    (1)畫出這個(gè)函數(shù)的圖像;

    (2)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.

    【分析】已知兩點(diǎn)可確定一條直線,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

    解:(1)圖像如圖1所示.

    圖1

    (2)設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b,

    所以函數(shù)解析式為y=2x+1.

    二、一次函數(shù)與方程(方程組、不等式)的關(guān)系

    根據(jù)一次函數(shù)的圖像求出一元一次方程或二元一次方程(組)的解或一元一次不等式的解集,反之,由方程(組)的解也可確定一次函數(shù)表達(dá)式.

    例2如圖2所示,已知函數(shù)y=3x+b 和y=ax-3的圖像交于點(diǎn)P(-2,-5),則根據(jù)圖像可得不等式3x+b>ax-3的解集是________.

    圖2

    【分析】由圖像知當(dāng)x>-2時(shí),y=3x+b對(duì)應(yīng)的y值大于y=ax-3對(duì)應(yīng)的y值,或者y= 3x+b的圖像在x>-2時(shí)位于y=ax-3圖像上方,故填x>-2.

    【分析】方程組中的兩個(gè)方程均為關(guān)于x,y的二元一次方程,可以轉(zhuǎn)化為y關(guān)于x的函數(shù).由①得y=2x-2,由②得y=-x-5,實(shí)質(zhì)上是兩個(gè)y關(guān)于x的一次函數(shù),在平面直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖像,可確定它們的交點(diǎn)坐標(biāo),即可求出方程組的解.

    解:由①得y=2x-2,

    由②得y=-x-5.

    在平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=2x-2,y=-x-5的圖像,如圖3所示.

    圖3

    觀察圖像可知,直線y=2x-2與直線y=-x-5的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-4).

    規(guī)律:解方程組通常用消元法,但如果把方程組中的兩個(gè)方程看作是兩個(gè)一次函數(shù),畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像,那么它們的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解.

    三、一次函數(shù)的圖像的平移問題

    求一次函數(shù)圖像平移后的解析式是一類重要題型,在一次函數(shù)y=kx+b中常數(shù)k決定著直線的傾斜程度:直線y1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2平行?k1=k2.

    一次函數(shù)平移的三種方式:

    (1)上下平移:在這種平移中,橫坐標(biāo)不變,改變的是縱坐標(biāo)也就是函數(shù)值y.平移規(guī)律是上加下減.

    (2)左右平移:在這種平移中,縱坐標(biāo)不變,改變的是橫坐標(biāo)也就是自變量x.平移規(guī)律是左加右減.

    (3)沿某條直線平移:這類題目稍有難度,“沿”的含義是一次函數(shù)圖像在平移的過程中與沿著的那條直線的夾角不變.解題時(shí)抓住平移前后關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)的變化.

    例4(1)點(diǎn)(0,1)向下平移2個(gè)單位后的坐標(biāo)是(0,-1),直線y=2x+1向下平移2個(gè)單位后的解析式是______.

    (2)直線y=2x+1向右平移2個(gè)單位后的解析式是_______.

    (3)如圖4,已知點(diǎn)C為直線y=x上在第一象限內(nèi)一點(diǎn),直線y=2x+1交y軸于點(diǎn)A,交x軸于B,將直線AB沿射線OC方向平移個(gè)單位,求平移后的直線的解析式.

    圖4

    【解析】根據(jù)平移規(guī)律,通過圖像可以比較容易地解決問題(.1)題經(jīng)過點(diǎn)(0,-1),y=2x+1-2=2x-1.

    (2)題中y=2(x-2)+1=2x-3.

    (3)題中首先過B作B′B∥OC,然后過B′作B′D⊥x軸于D,

    ∴B′D=BD=3,

    設(shè)平移后解析式為y=2x+b,

    ∴解析式為y=2x-2.

    四、一次函數(shù)的圖像與實(shí)際問題

    數(shù)學(xué)史上有這樣一個(gè)經(jīng)典問題:某輪船公司每天中午都有一艘輪船從洛杉磯開往紐約,并且每天的同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開往洛杉磯.輪船在途中所花的時(shí)間來去都是七晝夜,而且都是勻速航行在同一條航線上.問今天中午從洛杉磯開出的輪船,在開往紐約的航行過程中,將會(huì)遇到幾艘同一公司的輪船從對(duì)面開來?

    圖5

    如果你經(jīng)過深入思考后仍然無法回答這個(gè)問題,別著急.因?yàn)檫@道題曾經(jīng)難倒過一些數(shù)學(xué)家.如果將這道題同我們所學(xué)的函數(shù)圖像聯(lián)系起來,解答就方便多了.如圖5所示,t軸代表時(shí)間,O點(diǎn)代表輪船出發(fā)的那一天,O點(diǎn)右邊的正數(shù)代表出發(fā)后的天數(shù),O點(diǎn)左邊的負(fù)數(shù)則代表出發(fā)前的第幾天.S軸代表路程,O為洛杉磯的位置,另在S軸上任選一點(diǎn)A作為紐約的位置,這樣,從左上方畫向右下方的那組平行線就是輪船出發(fā)前后若干天內(nèi)從紐約開往洛杉磯的各艘輪船的路程圖線;OM就是“今天中午從洛杉磯開出的那艘輪船”的路程圖線.從圖中可明顯地看出,從洛杉磯開出的輪船抵達(dá)紐約時(shí),遇到了15艘同一公司的輪船從對(duì)面開來.于是這道看似非常困難的問題就這樣被輕而易舉地解決了.

    綜上,利用圖像解決一次函數(shù)問題,關(guān)鍵要抓住圖像與函數(shù)中k、b的對(duì)應(yīng)關(guān)系,特別是圖形的基本變換如平移、旋轉(zhuǎn)、翻折中k、b的變化情況,用好待定系數(shù)法,這樣就能迅速準(zhǔn)確地解決一次函數(shù)的有關(guān)問題.

    (作者單位:江蘇省無錫市金星中學(xué))

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