從課本的一道圖像問題談起

浦敘德（特級教師）

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從課本的一道圖像問題談起

浦敘德（特級教師）

蘇科版八年級上冊（第158頁）有這樣一個問題：

例題：根據(jù)圖中的函數(shù)圖像，說出x、y變化過程中的實際意義.

圖1

【分析】x、y變化過程可以分為三個部分.

（1）當x從0增大到8時，y從0增大到2；

（2）當x從8增大到14時，y的值不變；

（3）當x從14增大到24時，y從2減小到0.

如果給x、y這兩個變量以某種實際意義，那這個圖像就可以表示某種實際的變化過程.

解：設(shè)x表示時間（min），y表示路程（km），則圖的實際意義可以是：小明以250 m/min的速度勻速騎自行車8 min到達某地；在該地休息了6 min；然后以200 m/min的速度勻速騎自行車10 min返回出發(fā)地.

課本中的這一問題是看圖“講故事”，即賦予“函數(shù)圖像”以某種實際意義（不唯一），有利于同學們學會“讀”函數(shù)圖像，更好地感悟數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，更深刻地感悟模型思想.

變式1（2015·浙江義烏）小敏上午8：00從家里出發(fā)，騎車去一家超市購物，然后從這家超市返回家中.小敏離家的路程y（米）和所經(jīng)過的時間x（分）之間的函數(shù)圖像如圖2所示.請根據(jù)圖像回答下列問題：

（1）小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少時間？

（2）小敏幾點幾分到家？

圖2

【分析】本題屬圖像分析問題，考查對圖像的識別、分析能力.圖像中的三條線段體現(xiàn)了分段函數(shù).

解：（1）3000÷10=300米/分，逗留時間為30分鐘.

（2）設(shè)回家時y與x的函數(shù)關(guān)系是y= kx+b，代入（40，3000），（45，2000）可得：

于是y=-200x+11 000，當y=0時，x=55.

答：返回到家時間為8：55.

【點評】此題考查了函數(shù)圖像與實際問題的結(jié)合，根據(jù)已知圖像得出正確信息是解題關(guān)鍵.

變式2（2015·江西南昌）在一次遙控車比賽中，電腦記錄了速度的變化過程，如圖3所示，能否用函數(shù)關(guān)系式表示這段記錄？

圖3

【分析】根據(jù)所給圖像及函數(shù)圖像的增減性，本題要分三種情況進行討論.電腦記錄提供了賽車時間t（s）與賽車速度v（m/s）之間的關(guān)系，在10 s內(nèi)，賽車的速度從0增加到7.5 m/s，又減至0，因此要注意時間對速度的影響.

解：觀察圖像可知.

當t在0～1 s時，速度v與時間t是正比例函數(shù)關(guān)系，v=7.5t（0≤t≤1）.

當t在1～8 s時，速度v保持不變，

v=7.5（1＜t≤8）；

當t在8～10 s時，速度v與時間t是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)一次函數(shù)為v=kt+b（k≠0），又一次函數(shù)圖像過（8，7.5）和（10，0），

∴v=-3.75t+37.5（8＜t≤10）.

【點評】待定系數(shù)法的做法是，在函數(shù)上找出一個或兩個點，代入設(shè)好的函數(shù)式，面對三段圖像，各個擊破是常用的方法.

變式3（2014·浙江）小聰和小明沿同一條路同時從學校出發(fā)到寧波天一閣查閱資料，學校與天一閣的路程是4千米.小聰騎自行車，小明步行，當小聰從原路回到學校時，小明剛好到達天一閣.圖4中折線O-A-B-C和線段OD分別表示兩人離學校的路程s（千米）與所經(jīng)過的時間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系，請根據(jù)圖像回答下列問題.

圖4

（1）小聰在天一閣查閱資料的時間為______分鐘，小聰返回學校的速度為______千米/分鐘；

（2）請你求出小明離開學校的路程s（千米）與所經(jīng)過的時間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當小聰與小明迎面相遇時，他們離學校的路程是多少千米？

（2）由圖像可知，s是t的正比例函數(shù)，設(shè)所求函數(shù)的解析式為s=kt（k≠0），將（45，4）代入得4=45k，解得k=.

（3）由圖像可知，在30≤t≤45的時段內(nèi)，小聰離開學校的路程s是t的一次函數(shù)，設(shè)函數(shù)解析式為s=mt+n（m≠0），將（30，4），（45，0）代入得解得

即當小聰與小明迎面相遇時，他們離學校的路程是3千米.

【點評】本題考查了行程問題的數(shù)量關(guān)系的運用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用、一元一次方程的運用，解答時求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

由上面的例子可以看出，一次函數(shù)題型豐富，但都是有規(guī)律可循的，通過對課本問題的理解和掌握，在解題的過程中仔細審題，抓住一次函數(shù)的本質(zhì)，靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想，考場上才能做到以不變應(yīng)萬變，從容答題.

（作者單位：江蘇省無錫市新城中學）