基于方向可控濾波的地震勘探隨機(jī)噪聲壓制

黃梅紅, 李月

吉林大學(xué)通信工程學(xué)院， 長春　130012

基于方向可控濾波的地震勘探隨機(jī)噪聲壓制

黃梅紅, 李月*

吉林大學(xué)通信工程學(xué)院， 長春130012

摘要針對地震勘探隨機(jī)噪聲的壓制，本文應(yīng)用拉伸厄米特高斯函數(shù)設(shè)計(jì)出方向可控濾波器.根據(jù)時(shí)空域上隨機(jī)噪聲的無方向性與有效信號的有向性的區(qū)別，通過局部數(shù)字特征，對數(shù)據(jù)進(jìn)行選擇后重組信號.方向選擇性的增加，使得濾波過程能與不同方向的軸進(jìn)行匹配，噪聲被壓制的同時(shí)保持信號的幅度；方向可調(diào)性，使得計(jì)算效率提高，且所需存儲空間減少.仿真實(shí)驗(yàn)表明，采用此方法，信號保幅性和去噪效果均比傳統(tǒng)的小波算法以及Curvelet變換好，在-5 db信噪比下，本文方法保幅度為92.99%，信噪比提升221.774%，在實(shí)際地震信號處理中有明顯的抑制噪聲、保持有用信號的效果.

關(guān)鍵詞拉伸厄米特高斯函數(shù)； 方向可控濾波器； 地震信號； 隨機(jī)噪聲壓制

1引言

近年來，小波憑借其時(shí)頻域上良好的局部化特性，在地震數(shù)據(jù)隨機(jī)噪聲壓制方面應(yīng)用非常廣泛.常用的二維小波是由一維小波張量積構(gòu)成的可分離小波，只能對水平、垂直、對角三個(gè)方向進(jìn)行濾波，其基無方向性，對各個(gè)方向進(jìn)行相同程度濾波，濾波系數(shù)難以稀疏表示同相軸的取向信息，對方向邊緣細(xì)節(jié)具有模糊作用，一維小波精確的時(shí)頻定位性在二維中難以體現(xiàn)(Zhang and Yin，2004；Yu and Whitcombe,2008).為了克服小波無方向性的不足，引進(jìn)了Ridgelet變換(Candès，1998)，先進(jìn)行Radon變換，把面上的直線映射到面上的點(diǎn)，再進(jìn)行小波變換，一定程度提高小波對線的檢測.然而實(shí)際中，同相軸曲線居多，不能理想的轉(zhuǎn)化為集中的點(diǎn)，在地震信號中較少使用.后來，引進(jìn)了塊剖分的構(gòu)造思想，在局部中，曲率足夠小，曲線可近似作直線來處理，即Curvelet變換.Curvelet解決了小波方向性不足的缺點(diǎn)，進(jìn)行了子帶劃分，具有明確方向的基，能夠稀疏的表示圖像平滑區(qū)域，也能較為稀疏的表示邊緣部分，有較好的適用性.但Curvelet的方向性是靠波數(shù)增加、方向?yàn)V波器個(gè)數(shù)增多的方式來增強(qiáng)，冗余度增加，數(shù)據(jù)存儲空間龐大，同時(shí)分塊過程必然引入邊緣效應(yīng)(Candès and Donoho，1999；Candès et al.，2006；林春和王緒本，2009；Oliveira et al.,2012；袁艷華等，2013).Contourlet變換在低冗余度的情況下，對Curvelet進(jìn)行離散化實(shí)現(xiàn)，采用拉普拉斯金字塔實(shí)現(xiàn)多尺度、多方向的分析，雖然在對地震資料處理中有很好的效果，但是依舊無法克服Curvelet變換本身的不足(Do and Vetterli，2002；Li et al.,2008).

我們考慮是否有一種濾波器，在方向上連續(xù)，能夠不進(jìn)行插值計(jì)算得到任意方向的濾波器.Freeman和Adelson(1991)等提出了方向可控濾波器的理論框架，其基本思想是沿任意方向的濾波器都可以表示成一組基濾波器函數(shù)的線性組合形式，這樣一來好似濾波器可以沿任意方向轉(zhuǎn)動(dòng)，因此得名.按照方向可控濾波器的思想，輸入圖像與固定的基濾波器卷積即可高效的估計(jì)出一副圖像與任一旋轉(zhuǎn)角度濾波器的卷積結(jié)果，極大的減少了計(jì)算量；在對方向特征(邊緣、脊等)分析上，方向可控濾波器有很多應(yīng)用.結(jié)合Hilbert變換構(gòu)成正交濾波器組，鄭林等(2002)提出基于方向可控濾波器的圖像融合新方法；施俊等(2009)提出一種封閉幾何圖形的自動(dòng)檢測算法；張大明等(2005)則將方向可控濾波器與小波分析結(jié)合，也達(dá)到了很好的圖像融合的目的，并證明了該方法效果優(yōu)于傳統(tǒng)的小波融合圖像方法.根據(jù)定向?yàn)V波器的思想，方向可控濾波器經(jīng)常應(yīng)用于金字塔算法中，對圖像進(jìn)行多尺度、多方向分析.董立娟和練秋生(2008)根據(jù)此思路提出了一種改進(jìn)的視覺信息處理模型，有效的克服了人臉識別中的一個(gè)重要難題；林春等(2011，2012)將方向可控金字塔用于對三維地震切片的分解中，不僅能夠分析不同尺度方向上斷層的特征及走向，還能獲取斷層的信息.通過方向可控濾波器獲取紋理走向，被應(yīng)用于掌紋(王艷霞和阮秋琦，2008)、虹膜(李志慧，2007)等模式識別.可見，方向可控濾波器主要集中于圖像處理方面，如果將其成功引入到地震信號保幅去噪中，將非常有意義.本文提出了一類新型方向可控濾波器用于地震勘探信號去噪處理，其高方向選擇性使得可以通過分析輸入圖像每個(gè)像素的局部模式角度信號來分離不同方向特征以及噪聲，從而達(dá)到軸的增強(qiáng)，噪聲的壓制.

Freeman和Adelson(1991)采用的濾波核為厄米特-高斯函數(shù)(HGFs：Hermite-Gauss Functions)，由厄米特多項(xiàng)式和無向性的高斯函數(shù)之積來表示.HGFs的一個(gè)固有局限是由于高斯函數(shù)的無方向性，濾波時(shí)對各方向都進(jìn)行了平滑作用，細(xì)節(jié)保護(hù)不好.于是在高斯諧波函數(shù)中引入一個(gè)參數(shù)對HGFs進(jìn)行拉伸，形成如圖1d的拉伸厄米特高斯函數(shù)(E-HGFs：Elongated Hermite-Gauss Functions).E-HGFs具有明確方向性的特征，對軸敏感度增強(qiáng)的同時(shí)，對梯度方向的平滑作用也減弱(Perona，1995).圖1給出了HGFs和E-HGFs的簡單對比，從圖1e和圖1f的濾波結(jié)果來看， E-HGFs濾波去噪的同時(shí)能更好定位軸的位置.E-HGFs有個(gè)重大的缺陷，即不具備可控性，需要設(shè)計(jì)出可控的E-HGFs的擬合函數(shù)，使其具有方向可控的特性，在2.3部分將給出擬合過程.利用E-HGFs的高方向選擇性和高效性，在局部進(jìn)行濾波處理，根據(jù)噪聲無方向性，考慮構(gòu)造和層序的方向，結(jié)合統(tǒng)計(jì)特性，我們就可以沿著地震數(shù)據(jù)同相軸方向進(jìn)行濾波.在第3部給出的理論模型和共炮點(diǎn)資料處理結(jié)果表明，本文算法可以很好的達(dá)到壓制隨機(jī)噪聲、保持幅度的目的.

2方向可控濾波器

2.1方向可控濾波器理論

如果一組濾波器f(r,λ)(r為笛卡爾坐標(biāo)向量，λ為這組濾波器所依賴的參數(shù))能夠展開為一組基濾波器Vn(r)(n=1,2,…N)的線性組合，且線性系數(shù)只與λ有關(guān)，那么就說該濾波器具有可控性.可用公式(1)表示為

(1)

其中a(λ)為λ的函數(shù)，V(r)稱為基濾波器.

如果我們用這組濾波器卷積處理一副圖像I(r)時(shí)，可用公式(2)表達(dá)為

(2)

由(2)式可看出只要I(r)*Vn(r)能夠得到， a(λ)確定，那么任意λ值的濾波結(jié)果就能被估計(jì)出來.通過線性卷積，對λ無需離散化取值，可以認(rèn)為Y(r,λ)是關(guān)于λ的連續(xù)函數(shù)，具有精確可導(dǎo)可積的性質(zhì)，克服了傳統(tǒng)通過離散化參數(shù)λ得到濾波器產(chǎn)生的離散插值誤差，同時(shí)能減少大量的卷積操作.

現(xiàn)在，我們把研究重點(diǎn)放在方向上，濾波器組在二維中表現(xiàn)為角度旋轉(zhuǎn)方式，即λ=θ，旋轉(zhuǎn)矩陣為

(3)

如果一個(gè)濾波核T(r)可以展開成一系列適當(dāng)?shù)腃HF之和，公式為

(4)

那么對于T(r)的旋轉(zhuǎn)變換可化為

(5)

對比(1)式和(5)式，可以得到濾波核T(r)具有方向可控性，我們稱之為方向可控濾波器.處理圖像結(jié)構(gòu)(Perona，1995)如圖2所示.

圖2　對圖像任意方向處理結(jié)構(gòu)Fig.2　Structure of processing an image in any orientation

2.2二維E-HGFs及其擬合可控函數(shù)

若二維函數(shù)Hk,l(x,y;μ)滿足式(6)，Hk,l(x,y;μ)即為拉伸厄米特高斯函數(shù)(E-HGFs)，公式為

(6)

其中Hp(x)=(-1)pex2(d/dx)pe-x2是p階Hermite多項(xiàng)式，通過參數(shù)μ來控制拉伸程度.當(dāng)μ=1時(shí)，高斯項(xiàng)退化為無方向性，即經(jīng)典的HGFs.HGFs函數(shù)簡單，用起來較為方便，然而由于其無方向性的局限，濾波時(shí)對各個(gè)方向均進(jìn)行平滑作用，降低了檢測精度.E-HGFs憑借其高方向性，一方面克服了折中檢測效果和定位精度的Canny(1986)局限，另一方面可以通過分析不同方向的響應(yīng)來區(qū)分噪聲和感興趣的特征，應(yīng)用前景更為廣泛.圖3為圓盤的濾波效果(此圖引用Papari(2012)文獻(xiàn)中Fig.2)，(c)中響應(yīng)只在垂直方向的中間位置有較大值，很好地展示了E-HGFs對方向定位的高精確度.

然而，E-HGFs是不可控函數(shù)，即在式(5)中N取值無限，因此必須找出可以擬合E-HGFs的可控函數(shù).在方向可控濾波器發(fā)展史上，主要有基于李群理論的方法以及基于奇異值分解的方法.李群法結(jié)果為頻譜連續(xù)的函數(shù)，無法進(jìn)行有限因子分解.奇異值分解法得到的是一系列正交可控性函數(shù)，解決了李群法的無限問題，但結(jié)果經(jīng)常是無法解析的，難以解出數(shù)值解.為克服以上方法的不足，本文采用Giuseppe Papari(2012)等提出的在奇異值分解理論框架上的通過引入特定矩陣算子來構(gòu)建緊湊可控的小波函數(shù)的方法，以下為其推導(dǎo)：

(7)

Uk,l(ρ,μ)=e-αρ2Hk(μρR)Hl(μ-1ρJ)?(βρ2)，

(9)

根據(jù)(9)式以及厄米特多項(xiàng)式與高斯函數(shù)的關(guān)系，可以得到Uk,l(ρ,μ)用貝塞爾函數(shù)展開的式子，Papari(2012)等給出了幾個(gè)詳細(xì)的結(jié)果.本文采用k=0,l=0的濾波器對地震記錄進(jìn)行方向?yàn)V波，其表達(dá)式為

U2n(ρ;μ)=e-α ρ2?n(βρ2)，U2n+1(ρ;μ)=0.

(10)

3理論模型和共炮點(diǎn)資料處理

本文采用E-HGFs對地震數(shù)據(jù)進(jìn)行方向?yàn)V波，首先根據(jù)每一點(diǎn)各個(gè)方向的濾波響應(yīng)方差初步區(qū)分噪聲點(diǎn)與有效信號點(diǎn)，然后再與局部小塊均值進(jìn)行對比，進(jìn)一步確認(rèn)，最后按照方差大小比例對數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性濾波，這樣處理的實(shí)質(zhì)是對信號引入了方向維度，濾波器沿著地震數(shù)據(jù)同相軸方向進(jìn)行濾波.算法流程總結(jié)如下：

(1) 采用Papari等(2012)提出的方法擬合出方向可控的E-HGFs濾波器.

(2) 輸入共炮點(diǎn)記錄，進(jìn)行方向?yàn)V波，構(gòu)建“時(shí)間-空間-方向”三維數(shù)據(jù).

圖3　HGFs和E-HGFs一階導(dǎo)對合成圓盤的濾波響應(yīng)(a) 合成圓盤圖片; (b)(c) HGFs、E-HGFs一階導(dǎo)分別與(a)的卷積結(jié)果(Papari et al.，2012).Fig.3　Filter response to the first-order derivative of HGFs and E-HGFs for synthetic image(a) Synthetic image; (b) and (c) Results of convolution with first-order derivative of HGFs and E-HGFs with (a)(Papari et al.，2012).

圖4　k=0,l=0的基濾波器(a,b,c,d,e,f分別對應(yīng)Fig.

(3) 根據(jù)噪聲的無向性，在方向維度進(jìn)行方差計(jì)算，方差小于一定門限時(shí)，初步判定為噪聲點(diǎn).

(4) 計(jì)算鄰域局部均值，結(jié)合第(3)步的方差，再次判定，防止誤判.

(5) 對判定的噪聲點(diǎn)進(jìn)行壓制，其余點(diǎn)取其最大的方向?yàn)V波器結(jié)果，最后用帶寬足夠大的低通濾波器去除毛刺.

圖7a繪制了在-15db到5db噪聲下，數(shù)據(jù)間隔為1db，采用三種方法對含噪記錄進(jìn)行處理的結(jié)果曲線，從圖中可以看出，在不同信噪比記錄中，本文方法較傳統(tǒng)小波變換和Curvelet去噪后的記錄的信噪比均有所提高.圖7b給出了三種方法在信噪比分別為-15db到5db的處理結(jié)果的平均幅值保持，從圖中可以看出，本文方法保幅性明顯存在極大優(yōu)勢.從圖7b中可以看出，噪聲對保幅性影響不大，算法決定了幅值保持度.

通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法的有效性及可行性，最后是對實(shí)際地震數(shù)據(jù)的處理，選取一個(gè)共炮點(diǎn)記錄進(jìn)行實(shí)驗(yàn).實(shí)際數(shù)據(jù)一共168道，每一道的采樣點(diǎn)數(shù)為2501，采樣間隔為1ms.圖8a是原始記錄，

圖5　(a)(b)為原始信號和信噪比為-5dB含噪信號; (c)(d)(e)分別為小波變換、Curvelet變換以及本文方法的濾波結(jié)果; (f)(g)(h)分別為小波變換、Curvelet變換以及本文方法的差圖像Fig.5　(a) Raw seismic record with two reflection events; (b) Record with the SNR of -5 dB; (c),(d)and(e) Results after the conventional Wavelet transform, Curvelet transform and steerable filters; (f),(g) and (h) Difference diagrams of conventional wavelet transform, curvelet transform and steerable filters

圖6　(a)單道時(shí)域波形對比(b)單道頻譜對比Fig.6　(a) Waveforms of signal in the 102nd channels. (b) Spectrum of signal in 102 channel

圖7　(a)不同噪聲背景下的去噪信噪比(b)不同噪聲背景下的平均幅值保持Fig.7　(a) SNR after processing by different methods under different background noise， (b) Keeping average amplitudes after processing by different methods under different background noise

圖8　(a)原始地震記錄(b)本文方法處理結(jié)果Fig.8　(a) Original seismic records， (b) Results of processing by proposed method

圖9　(a) 局部原始地震記錄; (b) 本文方法處理結(jié)果Fig.9　(a) Local original seismic records; (b) Results of processing by proposed method

圖10　實(shí)際頻譜與處理后頻譜對比Fig.10　Comparison of spectra of original seismic records and processed signals.

圖8b是本文處理結(jié)果，可以看到，隨機(jī)噪聲已經(jīng)明顯得到壓制(圖中黑色代表噪聲)，第二幅圖像黑色明顯去除，可以看到同相軸信息且更加連續(xù)，一些被強(qiáng)噪聲湮沒的軸經(jīng)過處理也恢復(fù)出來，如圖方框標(biāo)出的區(qū)域.圖9為圖8方框區(qū)域內(nèi)局部第15道到第50道上4000采樣點(diǎn)到5500采樣點(diǎn)的放大圖，圖9a原始記錄中，噪聲湮沒了軸的信息，而經(jīng)過濾波之后的圖9b噪聲受到壓制，能夠直觀看到同相軸.圖10是截取方框內(nèi)第22道記錄中3600～5000點(diǎn)的數(shù)據(jù)做的頻譜圖.從頻譜圖中可以看出，頻率在5～40Hz范圍內(nèi)的信號得到保持，還有一定程度被增強(qiáng)，而頻率超過40Hz之后受到壓制.在實(shí)際中，地震信號頻率主要分布在低頻段，噪聲分布在高頻段，結(jié)合圖10的頻譜圖，可以看出，本文方法能夠有效的壓制噪聲，對信號起到很好的保持作用.

4結(jié)論

本文首次將拉伸厄米特高斯核函數(shù)擬合的方向可控濾波器用于地震信號去噪處理，這種算法出發(fā)點(diǎn)在于根據(jù)同相軸具有空間幾何特性，利用拉伸厄米特高斯核函數(shù)具有明確的方向性，使得構(gòu)造出來的方向可控濾波器具有高方向分辨率并且能夠準(zhǔn)確定位軸的位置，在減少計(jì)算量的同時(shí)沿著軸向進(jìn)行濾波處理，有效地壓制隨機(jī)噪聲，保持信號的幅值.本文算法使處理后的地震記錄信噪比明顯提升，地震同相軸更清晰、連續(xù)性更好.方向?yàn)V波后的數(shù)據(jù)選擇是根據(jù)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行局部閾值處理，今后，將進(jìn)一步研究如何對數(shù)據(jù)進(jìn)行自適應(yīng)選擇，取得更好的濾波效果.

致謝感謝實(shí)驗(yàn)室?guī)熜謳熃愕臒嵝膸椭?，尤其感謝李佳洧師姐的引導(dǎo)，感謝朋友們的鼎力支持,感謝所有給予我無私幫助的人們.

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(本文編輯張正峰)

Suppression of seismic random noise based on steerable filters

HUANG Mei-Hong, LI Yue*

CollegeofTelecommunicationEngineering，JilinUniversity，Changchun130012,China

AbstractFor seismic random noise suppression, this work designs a steerable filter by taking advantage of elongated Hermite-Gauss functions. According to the different directional responses between valid signal and random noise, we can reconstruct signal by the local characteristics of selected data. With the added directional selectivity, the filtering process can be matched with different directions axes, which makes sure that noise is suppressed without reducing the signal fidelity. The property of directional steerability makes computation more efficient and requires less storage space. Simulation results show that we can get a better signal amplitude and denoising effects than traditional wavelet transform and Curvelet transform algorithm by using this method. In -5db SNR, this method can ensure that the average amplitude reaches 92.99% and SNR enhances 221.774%, which can significantly suppress noise as well as keep the useful signal in processing of real seismic signals.

KeywordsElongated Hermite-Gauss functions； Steerable filters； Seismic signal； Random noise suppression

基金項(xiàng)目國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(41130421)資助.

作者簡介黃梅紅，女，1991年生，在讀碩士，主要從事信號與信息處理和地震勘探噪聲壓制研究.E-mail:huangmeihong11@sina.com *通訊作者李月，女，1958年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事信號與信息處理和地震勘探噪聲壓制研究. E-mail: liyue@jlu.edu.cn

doi:10.6038/cjg20160524 中圖分類號P631

收稿日期2015-07-16，2016-02-16收修定稿

黃梅紅, 李月. 2016. 基于方向可控濾波的地震勘探隨機(jī)噪聲壓制.地球物理學(xué)報(bào)，59(5):1815-1823,doi:10.6038/cjg20160524.Huang M H, Li Y. 2016. Suppression of seismic random noise based on steerable filters.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(5):1815-1823,doi:10.6038/cjg20160524.