位移和加速度融合的自適應(yīng)多速率Kalman濾波方法

林旭, 羅志才

1 成都理工大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院， 成都　610059 2 武漢大學(xué)測繪學(xué)院， 武漢　430079 3 武漢大學(xué)地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點實驗室， 武漢　430079 4 測繪遙感信息工程國家重點實驗室， 武漢　430079

位移和加速度融合的自適應(yīng)多速率Kalman濾波方法

林旭1,2, 羅志才2,3,4*

1 成都理工大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院， 成都610059 2 武漢大學(xué)測繪學(xué)院， 武漢430079 3 武漢大學(xué)地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點實驗室， 武漢430079 4 測繪遙感信息工程國家重點實驗室， 武漢430079

摘要多速率Kalman濾波方法可用于低采樣率的位移和高采樣率的加速度數(shù)據(jù)融合，而未知的噪聲協(xié)方差信息則顯著制約著多速率Kalman濾波精度.本文通過將多速率Kalman濾波轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)的單速率Kalman濾波，建立了Kalman濾波增益的自協(xié)方差矢量與未知的加速度譜密度和觀測噪聲參數(shù)間的線性函數(shù)模型，并采用最小二乘估計方法對未知的噪聲協(xié)方差參數(shù)進行估計，進而有效地提高了多速率Kalman濾波精度. 數(shù)值仿真和震動臺實驗結(jié)果驗證了本文方法的正確性和有效性.

關(guān)鍵詞多速率采樣； 位移； 加速度； 自適應(yīng)Kalman濾波； 自協(xié)方差最小二乘法； RTS平滑

1引言

地震數(shù)據(jù)通常是以加速度的形式給出，而速度和位移則是通過加速度的一次積分和二次積分獲得.然而這看似簡單的數(shù)值積分過程，卻由于低頻的儀器和環(huán)境噪聲等原因，使得由加速度積分得到的速度和位移存在漂移現(xiàn)象(Boore, 2001).Iwan等(1985)、Wang等(2011)和Li等(2011, 2012)采用分段擬合的方法去除基線漂移，但其中關(guān)鍵的時間特征點的選擇仍然是制約此方法應(yīng)用的難點問題.

位移作為地震數(shù)據(jù)處理中的重要觀測量，可通過GPS數(shù)據(jù)處理直接得到.日本Kyoto大學(xué)的Hirahara等(1994)提出利用GPS進行地表位移監(jiān)測和地震分析.此后，Ge等(2000)、Larson(2009)、方榮新等(2013)和Chang等(2014)對GPS在地震學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用展開了研究.由于GPS采樣率與加速度計相比仍然較低，GPS監(jiān)測的地表形變對低頻信號更為敏感，相關(guān)的研究結(jié)果也表明，現(xiàn)有的高頻GPS網(wǎng)絡(luò)可用于監(jiān)測由中大型地震引起的地表位移(Larson et al., 2003)，這將是對現(xiàn)有的地震監(jiān)測網(wǎng)絡(luò)的極大補充.

將GPS位移和加速度計獲取的加速度信息進行融合處理，可充分發(fā)揮GPS位移和加速度計的固有特性.Smyth和Wu(2007)提出基于常速度模型的多速率Kalman濾波，將位移作為觀測量，加速度作為控制量，實現(xiàn)不同采樣率下的位移和加速度數(shù)據(jù)融合，聯(lián)合GPS位移及加速度信息后得到的位移精度明顯優(yōu)于僅利用單一傳感器所獲得的位移精度.Bock等(2011)和Melgar等(2013)將此方法用于GPS和強震儀的數(shù)據(jù)融合，并應(yīng)用于地震形變監(jiān)測，取得了較好的狀態(tài)估計精度.考慮到設(shè)備成本，Tu等(2013)采用MESE加速度計替代強震儀，并進行了模擬實驗.Li等(2013)采用此方法進行GPS和加速度信息的緊組合，有效地提高了位移的估計精度.無論是采用GPS和強震儀或者加速度計進行數(shù)據(jù)融合，其本質(zhì)上是將低采樣率的位移數(shù)據(jù)和高采樣率的加速度數(shù)據(jù)進行融合，而采用多速率Kalman濾波方法進行數(shù)據(jù)融合時，則需要解決噪聲協(xié)方差信息未知的問題，先驗噪聲協(xié)方差信息的偏差必然會對多速率Kalman濾波的精度產(chǎn)生影響.

雖然Bock等(2011)也曾對多速率Kalman濾波中噪聲協(xié)方差參數(shù)的選取進行過相關(guān)討論，但其并未給出有效的參數(shù)選取方法，上述文獻均采用經(jīng)驗方法來確定多速率Kalman濾波模型的噪聲協(xié)方差參數(shù).Niu和Xu(2014)雖然提出了一種基于方差分量估計的自適應(yīng)多速率Kalman濾波算法，但其僅能在觀測噪聲協(xié)方差已知的前提下，對未知的狀態(tài)噪聲協(xié)方差進行估計，并非完整意義上的自適應(yīng)算法.自適應(yīng)Kalman濾波是一種噪聲協(xié)方差估計的有效方法，國內(nèi)外眾多學(xué)者也圍繞其展開了豐富的研究，然而相關(guān)的研究僅涉及單速率Kalman濾波，并未給出多速率Kalman濾波的噪聲協(xié)方差估計方法.針對這一問題，本文提出了自適應(yīng)多速率Kalman濾波方法，通過將多速率Kalman濾波轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)的單速率Kalman濾波，建立Kalman濾波增益的自協(xié)方差矢量與未知的加速度譜密度和位移噪聲方差間的線性函數(shù)模型，并采用最小二乘估計方法進行相應(yīng)的噪聲估計.

2多速率Kalman濾波

Smyth和Wu(2007)將位移作為觀測量，加速度作為控制量，采用基于常速度模型的多速率Kalman濾波方法進行低采樣率的位移數(shù)據(jù)和高采樣率的加速度數(shù)據(jù)融合，其狀態(tài)方程如下：

(1)

q為狀態(tài)噪聲的譜密度.將GPS位移作為觀測值，可建立如下的Kalman濾波觀測方程：

(2)

用τa表示加速度觀測值的采樣周期，τd表示位移觀測值的采樣周期，τd=Mτa，M表示加速度觀測值與位移觀測值間的采樣頻率比.則式(1)和(2)的離散形式可表示為

(3)

其中，狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣Qa是關(guān)于譜密度q和采樣周期τa的矩陣.

一步步長為τa的預(yù)測狀態(tài)：

(4)

其對應(yīng)的預(yù)測狀態(tài)協(xié)方差矩陣為

(5)

由式(4)可知，進行M步步長為τa的狀態(tài)預(yù)測后的預(yù)測狀態(tài)為

(6)

(7)

其中，

通過對比式(4)、(5)和式(6)、(7)可知，進行M步步長為τa狀態(tài)預(yù)測等效于進行了一步步長為τd的狀態(tài)預(yù)測，其對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為Ad，系統(tǒng)控制輸入項為uk-1，對應(yīng)的狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣為Qd.通過式(4)、(5)到式(6)、(7)的轉(zhuǎn)換，將多速率Kalman濾波方法轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)的單速率Kalman濾波方法.

進行M步步長為τa的狀態(tài)預(yù)測后，進行一次狀態(tài)更新，此時的Kalman濾波新息為

(8)

則此時的濾波增益矩陣為

(9)

狀態(tài)估值為

(10)

狀態(tài)估值的協(xié)方差矩陣為

(11)

3自適應(yīng)算法

最優(yōu)Kalman濾波方法是建立在函數(shù)模型和隨機模型均精確已知的基礎(chǔ)上，而由于傳感器自身噪聲特性和測量環(huán)境等多方面因素的影響，隨機模型一般難以先驗獲得.而有偏的先驗隨機模型必然會對狀態(tài)估計的精度產(chǎn)生影響，甚至?xí)?dǎo)致濾波發(fā)散.Odelson等(2006)，Rajamani和Rawlings(2009)提出的自協(xié)方差最小二乘噪聲協(xié)方差估計方法是一種自適應(yīng)Kalman濾波算法，其直接建立新息的相關(guān)函數(shù)R(N)s與未知的噪聲協(xié)方差之間的線性函數(shù)模型，并采用最小二乘方法進行參數(shù)估計，噪聲協(xié)方差估計精度較傳統(tǒng)的自適應(yīng)算法有著明顯提高：

+(I?Γ)](Rd)s,

(12)

顧及(Qd)s=Gsq，將其代入式(12)，整理可得

+(I?Γ)](Rd)s,

(13)

因為狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣Qd是關(guān)于譜密度q和采樣周期τd的矩陣，而GPS位移的采樣周期是已知的，因此求解出未知的譜密度q則確定了未知的Qd.通過構(gòu)造基于新息的狀態(tài)空間模型，將{Yk}新息的相關(guān)函數(shù)R(N)表示為譜密度q和觀測協(xié)方差矩陣Rd的函數(shù)，由此可同時對q、Rd進行估計，進而確定Kalman濾波模型的噪聲協(xié)方差矩陣.式(13)可采用最小二乘估計的方法進行求解：

(14)

其中

本文提出的自適應(yīng)算法的本質(zhì)是將多速率Kalman濾波的噪聲估計問題轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)的單速率Kalman濾波的噪聲估計問題，并顧及未知的狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣所具有的特定結(jié)構(gòu)，將狀態(tài)噪聲協(xié)方差估計轉(zhuǎn)換為譜密度的確定，最后采用最小二乘法進行未知參數(shù)估計.

為了提高狀態(tài)估計精度，可對Kalman濾波結(jié)果進行平滑處理.RTS平滑是一種固定區(qū)間最優(yōu)平滑算法，其利用固定時間區(qū)間中的所有觀測值yk來估計區(qū)間內(nèi)每一時刻的狀態(tài)xk，具有較高的計算效率，其具體的公式推導(dǎo)過程可參考Simon(2006).

4仿真與實驗

采用以下兩個算例對本文提出的自適應(yīng)多速率位移和加速度融合的Kalman濾波(AMKF)方法進行驗證.

算例1：帶線性漂移的正弦掃頻信號

假設(shè)位移是帶線性漂移的正弦掃頻信號，其時間序列分別滿足如下等式：

(15)

式中a=π/9，b=2π/5，c=0.1.則其速度和加速度的時間序列為

(16)

(17)

正弦掃頻信號的位移時間序列和僅由加速度信息恢復(fù)的位移時間序列見圖 1.位移中的線性漂移通過微分后，無法被加速度傳感器識別，即將加速度信息進行二次積分后無法恢復(fù)原始信號的線性漂移.為了對本文提出的自適應(yīng)多速率Kalman濾波算法進行驗證，假設(shè)加速度的采樣率為1000 Hz，位移的采樣率為100 Hz，采樣頻率比為10，分別向位移和加速度真值中添加白噪聲，添加噪聲后的位移和加速度的信噪比SNR=5.并采用以下3種方法對觀測值進行處理.

方法1：僅由位移觀測值通過自適應(yīng)Kalman濾波(AKF)對位移和速度進行估計，并對估計結(jié)果進行RTS平滑；

方法2：采用多速率Kalman濾波算法(MKF)進行位移和加速度的融合，其噪聲參數(shù)q=1、R=0.1，并對估計結(jié)果進行RTS平滑；

方法3：采用AMKF進行位移和加速度的自適應(yīng)融合，并對估計結(jié)果進行RTS平滑.

圖1　位移的時間序列Fig.1　Time series of displacement

圖2和圖3分別給出了采用AKF、MKF和AMKF估計的位移及其平滑結(jié)果；圖4和圖5分別給出了采用MKF和AMKF估計的速度及其平滑結(jié)果.以上3種方法的濾波和平滑的統(tǒng)計結(jié)果見表1.

從以上結(jié)果可以看出：

(1) 僅由位移觀測值通過AKF方法得到的位移和速度的估計精度最差，由位移計算速度時會使得速度項的高頻誤差放大，因此其速度項誤差特別大；

(2) 采用MKF方法進行位移和加速度融合，其狀態(tài)估計精度較AKF方法有著明顯提高，其中位移的估計精度較AKF方法提高了40%，由于有了加速度信息的加入，其速度估計精度較AKF方法提高了83%；

(3) 先驗噪聲協(xié)方差參數(shù)對多速率Kalman濾波方法的影響不容忽視，采用AMKF方法其能有效地對未知的噪聲協(xié)方差參數(shù)進行估計，因此由其估計得到的狀態(tài)精度最高.其中位移和速度的估計精度較AKF方法分別提高了73%和98%，較MKF方法分別提高了56%和89%；

圖2　位移的濾波結(jié)果Fig.2　RMS of displacements by forward filter

圖3　位移的平滑結(jié)果Fig.3　RMS of displacements by RTS smoother

圖4　速度的濾波結(jié)果Fig.4　RMS of velocities by forward filter

圖5　速度的平滑結(jié)果Fig.5　RMS of velocities by RTS smoother

濾波RTS平滑AKFMKFAMKFAKFMKFAMKF位移(m)0.2370.1420.0630.1190.0690.032速度(m·s-1)2.8670.4790.0530.9920.2460.025

(4) 采用RTS平滑方法能有效地提高Kalman濾波的估計精度，并能克服Kalman濾波初值所帶來的誤差影響，平滑后AMKF的位移和速度估計精度分別提高了49%和53%.

算例2：震動臺實驗

本算例所用數(shù)據(jù)來自于美國加利福利亞大學(xué)大型高性能室外震動臺進行的一次地震模擬實驗，此次實驗?zāi)M了1994年發(fā)生在美國的Northridge地震.整個系統(tǒng)的核心部件是MTS，用于輸出頻率為1024 Hz的地震位移，其波形見圖6，有2個采樣率為50 Hz的高頻GPS接收機分別布設(shè)在震動臺內(nèi)外，用于記錄整個過程中的位移變化，并在震動平臺上布設(shè)有2個采樣率為240 Hz的加速度計(PA1和PA2)用于記錄整個過程中震動平臺的加速度信息.為了采用多速率Kalman濾波進行50 Hz的高頻GPS和240 Hz的加速度計的數(shù)據(jù)融合，將240 Hz的加速度計輸出重采樣為250 Hz.

圖6　模擬的位移波形圖Fig.6　Displacement waveform

采用常速度模型對震動臺的運動過程進行建模，僅使用GPS位移觀測值通過AKF方法進行位移和速度估計；同時僅使用兩個加速度計的觀測數(shù)據(jù)通過一次積分得到速度，通過兩次積分得到位移，兩種方法得到的位移和速度的均方根誤差見表2.從表中可以看出，僅使用高頻GPS估計得到的位移精度較高，而由加速度計PA1和PA2積分得到的位移精度相對較差，較GPS位移精度低了近一個量級；由加速度計PA1積分得到的速度精度最高，由加速度計PA2積分得到速度精度略差，而由GPS位移通過濾波估計得到的速度精度最差.

表2　僅由GPS或加速度計恢復(fù)的位移和速度的均方根誤差

MKF方法的濾波精度取決于加速度譜密度和觀測噪聲協(xié)方差Rd，其中，加速度譜密度q的計算則顯得尤其復(fù)雜.Bock等(2011)指出，即使是選取極其不合適的加速度譜密度q進行多速率Kalman濾波，在通過RTS平滑后，其位移估計精度均能得到大幅度提高，即RTS方法能有效克服加速度譜密度q對位移估計所帶來的誤差影響.作為一種狀態(tài)估計方法，MKF的狀態(tài)向量不僅包括位移項，還包括速度項，然而，Bock(2011)并未對加速度譜密度q對速度估計的影響進行討論.

為了深入分析加速度譜密度參數(shù)q對MKF方法的影響，首先采用AMKF方法對未知的噪聲協(xié)方差參數(shù)q和Rd進行估計，表3給出了采用AMKF方法估計出的q和Rd，并以GPS/PA1為例，分別選取不同的q值(Rd為AMKF方法得到的估值)進行MKF濾波，其位移項和速度項的RMS見圖7和8.從圖7和8中可以看出，q的選取對MKF的估計精度有著明顯影響，當(dāng)q=3.70×10-3時，位移項和速度項的估計精度最高，這表明本文提出的AMKF方法能有效地估計出未知的噪聲協(xié)方差參數(shù)；當(dāng)q選取偏小，且遠(yuǎn)離最優(yōu)估值時，位移項的估計精度迅速下降，當(dāng)q選取偏大，且遠(yuǎn)離最優(yōu)估值時，速度項的估計精度迅速下降.同時也看出，速度的估計精度對MKF噪聲參數(shù)的選取更為敏感，其原因在于，雖加入了加速度觀測信息后，MKF的狀態(tài)(位移和速度)估計精度均得到提高，但位移項的估計精度主要依賴于原始的GPS位移觀測值，而速度項則受GPS位移和加速度觀測信息的聯(lián)合影響，噪聲協(xié)方差參數(shù)則起著調(diào)制GPS位移和加速度信息權(quán)重的作用，因此速度項的解算精度對噪聲參數(shù)更為敏感.

表3　噪聲協(xié)方差參數(shù)的估值

圖7　位移項的RMSFig.7　The RMS of position with different values of q by MKF

圖8　速度項的RMSFig.8　The RMS of velocity with different values of q by MKF

表4分別給出了AMKF濾波及q=1×10-6和q=1時(Rd為AMKF方法得到的估值)MKF濾波的統(tǒng)計結(jié)果.結(jié)合表4和表2可以看出，當(dāng)選取q=1×10-6時，GPS/PA1和GPS/PA2的位移估計精度分別為0.0108 m和0.0151 m，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于僅使用GPS時的位移估計精度0.0034 m；當(dāng)選取q=1時，其速度估計精度分別為7.69×10-2m·s-1和7.80×10-2m·s-1，也比僅由單一傳感器(GPS或是加速度計)估計得到的速度精度4.94×10-2m·s-1、2.78×10-2m·s-1和4.33×10-2m·s-1差.AMKF方法的位移估計精度分別為0.0032 m和0.0033 m，較q=1×10-6時的位移估計精度提高了70%和78%，較q=1時的提高了16%和13%；同時AMKF方法的速度估計精度分別為1.65×10-2m·s-1和2.13×10-2m·s-1，較q=1×10-6時的位移估計精度提高了75%和60%，較q=1時的提高了79%和73%.采用RTS平滑后，MKF和AMKF方法的估計精度均有著不同程度的提高，當(dāng)q=1時，位移項的估計精度與AMKF的位移估計精度基本相當(dāng)，但速度項的估計精度較差，不僅遠(yuǎn)低于AMKF的速度估計精度，還低于僅由加速度信息積分恢復(fù)的速度精度，這表明RTS平滑算法只能在一定程度上克服未知噪聲協(xié)方差信息帶來的誤差影響，要想提高GPS位移和加速度的融合精度，關(guān)鍵還在確定未知的噪聲協(xié)方差信息.

表4　由MKF和AMKF估計得到的位移和速度的RMS

同時，以加速度計PA2為例，圖9給出了GPS位移、由加速度計PA2積分得到的位移以及采用AMKF并平滑后的位移的誤差時間序列，圖10給出了MTS位移、GPS位移、由加速度計PA2通過積分得到的位移以及采用AMKF并平滑后的位移的功率譜密度.從圖9和10中可以看出，GPS對低頻位移信號較為敏感，雖然由加速度計PA2積分得到的位移誤差相對較大，但其對高頻信息更為敏感，采用AMKF方法進行不同速率的GPS和加速度計的數(shù)據(jù)融合，能充分發(fā)揮GPS對低頻信號更為敏感以及加速度計對高頻信號更為敏感的優(yōu)勢，而采用AMKF并經(jīng)RTS平滑處理后的位移不僅在低頻部分與GPS信息吻合較好，而且在高頻部分與加速度計恢復(fù)的位移也保持較好的一致性.圖11給出了MTS位移、采用AMKF得到的位移及其平滑后的位移的功率譜密度.從圖中可以看出，采用AMKF得到的位移和平滑后的位移均能較好恢復(fù)低頻段的信號，而通過RTS平滑后能有效地抑制高頻噪聲.

從以上結(jié)果可以看出：

(1) 加速度譜密度參數(shù)對MKF方法的影響不容忽視，當(dāng)加速度譜密度參數(shù)選取不恰當(dāng)時，其位移和速度的估計精度將嚴(yán)重退化.特別是速度項的估計精度對加速度譜密度參數(shù)的選取更加敏感，此時的MKF方法不僅無法通過數(shù)據(jù)融合發(fā)揮GPS和加速度計的各自優(yōu)勢，且嚴(yán)重影響了數(shù)據(jù)融合精度；

圖9　位移誤差Fig.9　RMS of displacements

圖10　位移的功率譜密度Fig.10　Power spectral densities of displacement

圖11　Kalman濾波和平滑的功率譜密度Fig.11　Power spectral densities comparisons between AMKF and smoothed AMKF displacement

(2) 不管噪聲參數(shù)如何選取，RTS平滑方法均能在一定程度上提高MKF方法的估計結(jié)果，但當(dāng)加速度譜密度參數(shù)選取不恰當(dāng)時，即使通過RTS平滑，其估計結(jié)果仍然很偏差，這表明MKF方法的估計精度主要依賴于先驗噪聲參數(shù)；

(3) AMKF方法能有效克服未知的加速度譜密度參數(shù)對MKF方法帶來的誤差影響，并充分發(fā)揮GPS傳感器對低頻信號敏感、加速度計對高頻信號更加敏感的特點，AMKF方法估計得到的位移不僅在低頻部分與GPS信息吻合較好，而且在高頻部分與加速度計恢復(fù)的位移也保持較好的一致性.

5結(jié)論

未知噪聲參數(shù)的選擇必然會對多速率Kalman濾波的估計精度產(chǎn)生影響，雖然RTS平滑算法能在一定程度上改善由于先驗噪聲參數(shù)選取所帶來的誤差影響，但多速率Kalman濾波方法的狀態(tài)估計精度更為主要的還是依賴于先驗噪聲參數(shù)，當(dāng)先驗的噪聲偏差較大時，會使得多速率Kalman濾波的狀態(tài)估計精度嚴(yán)重退化.

顧及未知噪聲參數(shù)對多速率Kalman濾波方法帶來的誤差影響，本文提出了一種自適應(yīng)的多速率Kalman濾波方法，通過將多速率Kalman濾波轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)的單速率Kalman濾波，并建立Kalman濾波增益的自協(xié)方差矢量與未知的加速度譜密度參數(shù)和觀測噪聲參數(shù)間的線性函數(shù)模型，采用最小二乘估計方法進行加速度譜密度參數(shù)和觀測噪聲的估計.數(shù)值仿真和震動臺實驗結(jié)果表明，本文提出的自適應(yīng)多速率Kalman濾波算法能克服先驗噪聲偏差對狀態(tài)估計產(chǎn)生的影響，提高狀態(tài)估計精度.

致謝感謝Cecil H. and Ida M. Green Institute of Geophysics and Planetary Physics的Diego Melgar提供的震動臺實驗數(shù)據(jù).

References

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(本文編輯胡素芳)

A new adaptive multi-rate Kalman filter for the data fusion of displacement and acceleration

LIN Xu1,2, LUO Zhi-Cai2,3,4*

1CollegeofEarthSciences,ChengduUniversityofTechnology,Chengdu610059,China2SchoolofGeodesyandGeomatics,WuhanUniversity,Wuhan430079,China3KeyLaboratoryofGeospaceEnvironmentandGeodesy,MinistryofEducation,WuhanUniversity,Wuhan430079,China4StateKeyLaboratoryofInformationEngineeringinSurveying,MappingandRemoteSensing,Wuhan430079,China

AbstractThe multi-rate Kalman filter can be used for the data fusion of displacement and acceleration, which were sampled at different frequencies. However, the noise covariance matrices, especially the process noise covariance matrix, are usually unavailable in the practical applications. With inappropriate noise covariance matrices, the state estimates of multi-rate Kalman filter is suboptimal. In this paper, a new adaptive multi-rate Kalman filter, which is based on the autocovariance least-squares method, is proposed. For a given set of displacement and acceleration data sampled at different frequencies, the data fusion problem is formulated as the single-rate Kalman filter rather than the multi-rate Kalman filter. And the correlations between the innovations were used to establish a relationship to the unknown parameters about the noise covariance matrices. Therefore, the unknown parameters can be estimated by solving the least-squares problem. The validity of the proposed method is demonstrated by a numerical example and an earthquake engineering test from the Large High-Performance Outdoor Shake Table.KeywordsMulti-rate sampling; Displacement; Acceleration; Adaptive Kalman filter; Autocovariance least squares; RTS smoother

基金項目國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)(2013CB733302)，國家自然科學(xué)基金項目(41174062，41131067)，中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金項目(2012214020206)，地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點實驗室開放基金(12-02-09)聯(lián)合資助.

作者簡介林旭，男，1986年生，講師.主要從事航空重力測量數(shù)據(jù)處理與應(yīng)用研究. E-mail：xulin@whu.edu.cn *通訊作者羅志才，男，1966年生，教授.主要從事物理大地測量研究. E-mail：zhcluo@sgg.whu.edu.cn

doi:10.6038/cjg20160506 中圖分類號P223

收稿日期2015-05-14，2015-12-15收修定稿

林旭, 羅志才. 2016. 位移和加速度融合的自適應(yīng)多速率Kalman濾波方法. 地球物理學(xué)報，59(5):1608-1615,doi:10.6038/cjg20160506.

Lin X, Luo Z C. 2016. A new adaptive multi-rate Kalman filter for the data fusion of displacement and acceleration.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(5):1608-1615,doi:10.6038/cjg20160506.